高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式综合与测试导学案及答案

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1　实数大小比较的方法知多少

实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考．
1．利用作差法比较实数大小
方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法．
例1　已知a .
当0abba.
3．构造中间值比较实数大小
方法链接：由传递性知a>b，b>c⇒a>c，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较．
例3　设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
解析　a＝log3π>log33＝1，∴a>1，
b＝log2＝log23，
∴b>c，∴a>b>c.
答案　A
4．特殊值法比较实数大小
方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案．这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解．一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向．
例4　若00，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．
分析　仔细观察题目已知式中x与y都是二次的，而所求式中x是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把x平方，则豁然开朗，思路就在眼前了．
解　(x)2＝x2(6＋2y2)
＝3·2x2
≤3·2＝3·2.
当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．
故x的最大值为.
7．换元法
例7　某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为501.
[错解2]　∵函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R.
∴代数式ax2－2x＋a能取遍一切正值．
∴Δ＝4－4a2≥0，
∴－1≤a≤1.
[点拨]　上述解法1把值域为R误解为定义域为R；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a0，且x＋2y＝1，求＋的最小值．
[错解]　因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，
＋＝(x＋2y)
≥2×2＝4.
所以＋的最小值为4.
[点拨]　上述解答是错误的，错因是连续两次使用基本不等式，忽视了等号成立的一致性．
[正解]　因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，
所以＋＝＋＝1＋2＋＋
≥3＋2＝3＋2.
当且仅当＝且x＋2y＝1，
即x＝－1，y＝1－时，取得等号．
所以＋的最小值为3＋2.
温馨点评　在多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否相同.