第4讲 等比数列及其前n项和（知识点串讲）（复习讲义）

第4讲 等比数列及其前n项和

【知识梳理】

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.

(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.

(2)前n项和公式：Sn＝

【考点精炼】

考点一　等比数列的基本运算

例1、(2019·甘肃兰州诊断)在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.

解　(1)设等差数列{an}的公差为d，

则依题意有

解得d＝1或d＝0(舍去)，∴an＝1＋(n－1)＝n.

(2)由(1)知an＝n，∴bn＝2n，∴＝2，

∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴Tn＝＝2n＋1－2.

练习1．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)

A．f B．f

C．f D．f

【答案】D　[由题知，这十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，则第八个单音的频率为()7f＝f.]

练习2．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)

A． B．－

C． D．－

【答案】C　[由题知q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝.]

练习3．(全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.

【答案】－8　[设等比数列{an}的公比为q，

∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，

∴a1(1＋q)＝－1，①

a1(1－q2)＝－3.②

②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2.∴a1＝1，

∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.]

练习4．(2019·山东沂水月考)在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为(　　)

A．7　　 B．8　　

C．9　　 D．16

【答案】B　[∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，

∴an＋1＝2an.∵a1＝1≠0，∴an≠0，

∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8.]

解决等比数列有关问题的两种常用思想

(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．

(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.

考点二　等比数列的判定与证明

例2、(2019·山东潍坊质检)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

【答案】(1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，

得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.

∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.

又

由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，

∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．

∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，

故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．

(2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，

∴－＝，

故是首项为，公差为的等差数列．

∴＝＋(n－1)·＝，

故an＝(3n－1)·2n－2.

[变式探究]　若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式．

解　由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.

∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，

∴an＋1＝2an＋1，

∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，(*)

又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)，

∴当n＝1时(*)式也成立，

故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，

∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.

等比数列的三种常用判定方法

(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

练习3、(全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5＝，求λ.

【答案】(1)证明　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，故a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1(λ－1)＝λan.

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.

因此{an)是首项为，公比为的等比数列，

于是an＝n－1.

(2)解　由(1)得Sn＝1－n.

由S5＝得1－5＝，即5＝.

解得λ＝－1.

【知识梳理】

3．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，

则am·an＝ap·aq＝a.

(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

4．等比数列{an}的单调性

(1)满足或时，{an}是递增数列．

(2)满足或时，{an}是递减数列．

(3)当时，{an}为常数列．

(4)当q<0时，{an}为摆动数列．

5．与等比数列前n项和Sn相关的几个结论

(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.

①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；

②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)，＝q.

(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)．

【考点精炼】

考点三 等比数列的性质及应用

例3、(2019·山东日照检测)已知等比数列{an}中，an＞0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80＝(　　)

A．32 B．64

C．256 D．±6

【答案】B　[因为a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1·a99＝16，又数列{an}是等比数列，则a20·a80＝a＝a1·a99＝16，又an＞0，所以a20·a50·a80＝64.]

练习、(2019·河南郑州调研)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　)

A．40 B．60

C．32 D．50

【答案】B　[由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.]

等比数列常见性质的应用

等比数列性质的应用可以分为三类：

(1)通项公式的变形．

(2)等比中项的变形．

(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．