(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第35讲《等比数列及其前n项和》（讲）（解析版）

第35讲 等比数列及其前n项和（讲）

思维导图

知识梳理

1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．

(2)等比中项

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．

“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：Sn＝

3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)

(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a．

(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．

常用结论

1．正确理解等比数列的单调性

当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时 ，{an}是递增数列；

当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时 ，{an}是递减数列；

当q＝1时，{an}是常数列；

当q＝－1时，{an}是摆动数列．

2．记住等比数列的几个常用结论

(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．

(4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

(5)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.

(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．

题型归纳

题型1    等比数列的基本运算

【例1-1】（2020春•辽源期末）在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝（　　）

A．3 B．27 C． D．243

【分析】由题意利用等比数列的性质，求得a5a6＝的值．

【解答】解：等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝a11•a10＝3，

故选：A．

【例1-2】（2020春•赤峰期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝3，S6＝9，则S9＝（　　）

A．12 B．18 C．21 D．24

【分析】由已知可知S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，从而可求．

【解答】解：等比数列{an}中，S3＝3，S6＝9，

由等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，

即3，6，S9﹣S6成等比数列，

所以36＝3（S9﹣S6），

则S9＝21

故选：C．

【例1-3】（2020•新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m．

【分析】（1）设其公比为q，则由已知可得，解得a1＝1，q＝3，可求其通项公式．

（2）由（1）可得log3an＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，可求Sn，由已知可得，进而解得m的值．

【解答】解：（1）设公比为q，则由，

可得a1＝1，q＝3，

所以an＝3n﹣1．

（2）由（1）有log3an＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，

所以Sn，

所以，m2﹣5m﹣6＝0，

解得m＝6，或m＝﹣1（舍去），

所以m＝6．

【跟踪训练1-1】（2020春•广州期末）已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且，若b5b6＝2，则a11＝（　　）

A．16 B．21 C．31 D．32

【分析】由题意利用等比数列的性质，求得结果．

【解答】解：∵数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且，

∴b1•b2•b3…b10••a11．

∵b5b6＝2，

∴b1•b2•b3…b1025，

∴a11＝25＝32，

故选：D．

【跟踪训练1-2】（2020•新课标Ⅱ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则（　　）

A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1

【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．

【解答】解：设等比数列的公比为q，

∵a5﹣a3＝12，

∴a6﹣a4＝q（a5﹣a3），

∴q＝2，

∴a1q4﹣a1q2＝12，

∴12a1＝12，

∴a1＝1，

∴Sn2n﹣1，an＝2n﹣1，

∴2﹣21﹣n，

故选：B．

【跟踪训练1-3】（2020•山东）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．

【分析】（1）设出等比数列的公比，由已知列式求得公比，进一步求出首项，可得等比数列的通项公式；

（2）由题意求得0在数列{bm}中有1项，1在数列{bm}中有2项，2在数列{bm}中有4项，…，可知b63＝5，b64＝b65＝…＝b100＝6．则数列{bm}的前100项和S100可求．

【解答】解：（1）∵a2+a4＝20，a3＝8，

∴8q＝20，

解得q＝2或q（舍去），

∴a1＝2，

∴an＝2n，

（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，

∴2n≤m，

∴n≤log2m，

故b1＝0，b2＝1，b3＝1，b4＝2，b5＝2，b6＝2，b7＝2，

b8＝3，b9＝3，b10＝3，b11＝3，b12＝3，b13＝3，b14＝3，b15＝3，b16＝4，…，

可知0在数列{bm}中有1项，1在数列{bm}中有2项，2在数列{bm}中有4项，…，

由100，100

可知b63＝5，b64＝b65＝…＝b100＝6．

∴数列{bm}的前100项和S100＝0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37＝480．

【名师指导】

等比数列基本量运算的解题策略

(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．

(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝..

题型2    等比数列的判定与证明

【例2-1】（2019春•玉田县期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Snb（n∈N*，b∈R，b≠0）．

（ I）求证：{an}是等比数列；

（ II）求证：{an+1}不是等比数列．

【分析】（Ⅰ）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可证明，

（Ⅱ）利用反证法证明即可．

【解答】证明：（ I）因为Snb，所以当n≥2时Sn﹣1an﹣1+b，

两式相减得Sn﹣Sn﹣1ban﹣1﹣b，

∴anan﹣1，

∴an＝3an﹣1，

故{an}是公比为q＝3的等比数列．

（ II）假设：{an+1}是等比数列，则有：（an+1）2＝（an+1+1）（an﹣1+1），

即：an2+2an+1＝an+1an﹣1+an+1+an﹣1+1，

由（ I）知{an}是等比数列，所以an2＝an+1an﹣1，

于是2an＝an+1+an﹣1，即6an＝an﹣1+9an﹣1，解得an﹣1＝0，

这与{an}是等比数列相矛盾，

故假设错误，即：{an+1}不是等比数列．

【跟踪训练2-1】（2019•广西二模）已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1，（n∈N*）．

（1）求证：数列{an+1}是等比数列；

（2）求数列{an}的前n项和．

【分析】（1）把所给的递推公式两边加上1后，得到an+1+1＝2（an+1），再变为2，由等比数列的定义得证；

（2）根据（1）的结论和条件，求出{an+1}的通项公式，再求出{an}的通项公式，利用分组求和方法和等比数列的前n项和公式进行求解．

【解答】解：（1）∵an+1＝2an+1，（n∈N*），

∴an+1+1＝2（an+1），

∴2，

∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列，

（2）由（1）知，数列{an+1}是等比数列，且q＝2，首项为a1+1＝2，

∴an+1＝2•2n﹣1＝2n，

∴an＝2n﹣1，

∴数列{an}的前n项和sn＝（2+22+…+2n）﹣nn＝2n+1﹣n﹣2．

【名师指导】

等比数列的4种常用判定方法

题型3    等比数列的性质及应用

【例3-1】（2020春•宣城期末）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（　　）

A． B． C．2 D．3

【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，能求出公比．

【解答】解：各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，

a4•a14＝9，a8+a10＝10，

∴，

解得数列{an}的公比为q＝3．

故选：D．

【例3-2】（2020春•绵阳期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（　　）

A．80 B．120 C．150 D．180

【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．

【解答】解：∵等比数列{an}中S5＝10，S10＝30，

∴q≠1，

，

解可得，10，q5＝2，

则S2010×（1﹣16）＝150．

故选：C．

【跟踪训练3-1】（2020春•五华区校级期末）已知正项等比数列{an}中，a3，若a1+a2+a3＝7，则数列的前十项和S10＝（　　）

A．511 B．512 C．1023 D．1024

【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，

由a2•a3＝a4得，所以a1＝1，

又因为a1+a2+a3＝7，得1+q+q2＝7，所以q＝2，

，

故选：C．

【跟踪训练3-2】（2020春•广东期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若3，则（　　）

A．9 B．7 C．5 D．4

【分析】利用等比数列前n项和的性质，转化求解即可．

【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，所以S1010，S2020﹣S1010，S3030﹣S2020，是等比数列，

由3，不妨设S2020＝3，S1010＝1，则S2020﹣S1010＝2，S3030﹣S2020＝4，

∴S3030＝1+2+4＝7，

则7．

故选：B．

【名师指导】

1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．

3．等比数列{an}中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有的性质，设公比为q.

(1)若共有2n项，则＝q；

(2)若共有2n＋1项，＝q.

4．等比数列{an}中，Sk表示它的前k项和．当q≠－1时，有Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk.