高中数学高考第3讲　等比数列及其前n项和

第3讲　等比数列及其前n项和

一、选择题

1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　)

A.{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列

B.{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列

C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列

D.{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列

解析　两个等比数列的积仍是一个等比数列.

答案　C

2.(2017·华师附中调研)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)

A.1   B.±1   C.2   D.±2

解析　由a2a3a4＝a＝8，得a3＝2，所以a7＝a3·q4＝2q4＝8，则q2＝2，因此a1＝＝1.

答案　A

3.(必修5P67A1(2)改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂(　　)

A.55 986   B.46 656   C.216   D.36

解析　设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B.

答案　B

4.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)

A.21   B.42   C.63   D.84

解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.

答案　B

5.(2017·石家庄质检)设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)

A.150   B.－200

C.150或－200    D.400或－50

解析　依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20).

即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，

又S20＞0，

因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，

故S40－S30＝80.

S40＝150.故选A.

答案　A

二、填空题

6.(2017·肇庆模拟)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________.

解析　两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3.

答案　3

7.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________.

解析　因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1舍去，a6＝a2q4＝1×22＝4.

答案　4

8.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________.

解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以＝，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.

答案　8

三、解答题

9.在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.

(1)求an；

(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.

解　(1)设{an}的公比为q，依题意得

解得

因此，an＝3n－1.

(2)因为bn＝log3an＝n－1，

所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.

10.(2017·合肥模拟)设{an}是公比为q的等比数列.

(1)推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列.

解　(1)设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

∴Sn＝，∴Sn＝

(2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，

(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，

∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.

∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾.

故数列{an＋1}不是等比数列.

11.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于(　　)

A.12   B.13   C.14   D.15

解析　设数列{an}的公比为q，

由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，

可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，

因此q3n－6＝81＝34＝q36，

所以n＝14，故选C.

答案　C

12.(2017·临沂模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　)

A.(3n－1)2    B.(9n－1)

C.9n－1    D.(3n－1)

解析　∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，

∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，

又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，

故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列.

因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1).

答案　B

13.(2017·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是________.

解析　当q>0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≥1＋2＝1＋2＝3，当且仅当a1＝a3＝1时等号成立.

当q<0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≤1－2＝1－2＝－1，当且仅当a1＝a3＝－1时等号成立.

所以，S3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).

答案　(－∞，－1]∪[3，＋∞)

14.(2015·四川卷)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值.

解　(1)由已知Sn＝2an－a1，

有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，

即an＝2an－1(n≥2)，所以q＝2.

从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，

又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，

所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，

所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，

故an＝2n.

(2)由(1)得＝，

所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.

由|Tn－1|＜，得＜，

即2n＞1 000，

因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n≥10，

于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值为10.