第1讲 空间几何体（知识点串讲）（复习讲义）
展开第一讲 空间几何体
【知识梳理】
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
几何体 | 旋转图形 | 旋转轴 |
圆柱 | 矩形 | 任一边所在的直线 |
圆锥 | 直角三角形 | 任一直角边所在的直线 |
圆台 | 直角梯形 | 垂直于底边的腰所在的直线 |
球 | 半圆 | 直径所在的直线 |
【考点精炼】
考点一：空间几何体的结构特征
例1．（2019年温州月考）下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
练习．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【知识梳理】
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
“三变”
“三不变”
(3)平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图．
【考点精炼】
考点二：空间几何体的直观图
例2、（2019年金台区月考）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．一般的平行四边形
练习、如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A．2＋ B．1＋
C．4＋2 D．8＋4
考点三：空间几何体的平面展开图
例3、(2018·全国卷Ⅰ改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2 B．2
C．3 D．2
[训练] (2019·山东潍坊检测)如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离为________.
【知识梳理】
4．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
| 圆柱 | 圆锥 | 圆台 |
侧面展 开图 | |||
侧面积 公式 | S圆柱侧＝2πrl | S圆锥侧＝πrl | S圆台侧＝π(r1＋r2)l |
6．柱、锥、台和球的表面积和体积
名称 几何体 | 表面积 | 体积 |
柱体 (棱柱和圆柱) | S表面积＝S侧＋2S底 | V＝Sh |
锥体 (棱锥和圆锥) | S表面积＝S侧＋S底 | V＝Sh |
台体 (棱台和圆台) | S表面积＝S侧＋S上＋S下 | V＝(S上＋S下＋)h |
球 | S＝4πR2 | V＝πR3 |
【考点精炼】
考点四：空间几何体的表面积
例4．(2019·山东泰安检测)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为________.
练习．(2019·广东湛江月考)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.
【知识梳理】
7.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
【考点精炼】
考点五：空间几何体的体积
例5、(2018·天津卷)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为________.
练习、(2019·山东青岛月考)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A． B．
C． D．
【知识梳理】
8．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
9.空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
【考点精炼】
考点六：与球有关的切接问题
例6、(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B．
C．6π D．
[变式探究1] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．
[变式探究2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
练习、(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A．12 B．18
C．24 D．54
