贵州省贵阳市第三十八中学2020届高三上学期模拟考试数学（文）试题

文科数学

满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，集合，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（    ）

A． B． C． D．

4．已知命题；命题．

则下列命题中是真命题的为（    ）

A． B． 

C． D．

5．如图所示，线段是正方形的一条对角线，现以为一条边，作正方形BEFD，记正方形与BEFD的公共部分为（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD中投掷一点，该点落在内的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知某几何体的顶点满足，

则下列图形中，该几何体的三视图不可能为（    ）

7．运行如图所示的程序框图，则输出的的值为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

8．已知中，分别是的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

9．《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（    ）

A．66立方尺 B．78立方尺 C．84立方尺 D．92立方尺

10．已知函数在上仅有1个最值，且为最大值，则实数的值不可能为（    ）

A． B． C． D．

11．已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在准线上，若，且（表示直线的斜率），则的面积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数的图象与函数的图象关于对称，若，则（    ）

A． B．2 C． D．3

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）

13．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且双曲线的焦距为8，则双曲线的方程为              ．

14．已知实数满足，则的取值范围为          ．

15．已知，若，则          ．

16．已知数列的前项和为，且，

则              ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知中，，若，．

（1）证明：为等边三角形；

（2）若的面积为，求的正弦值．

18．（12分）共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了21人进行问卷调查，得到这21人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分100分）：

（1）找出居民问卷得分的众数和中位数；

（2）请计算这21位居民问卷的平均得分；

（3）若在成绩为70~80分的居民中随机抽取3人，求恰有2人成绩超过77分的概率．

19．（12分）在四棱锥中，，平面平面，，点分别在线段上，且，为棱上一点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）求三棱锥的体积．

20．（12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，直线与椭圆相交于两点，圆是以为直径的圆．

（1）求椭圆的方程；

（2）记为坐标原点，若点不在圆内，求实数的取值范围．

21．（12分）已知函数．

（1）若曲线在与曲线在处有公切线，求的值；

（2）证明：当时，．

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的斜率．

23．（10分）选修4—5不等式选讲

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）记的最小值为，若正实数满足，求的最小值．

选题题号（请在所选的题号后√）：22□    23□

选考题答题区：

答案

1．答案：A

解析：依题意，，故，

即，故选A．

2．答案：B

解析：依题意，，，故，故选B．

3．答案：D

解析：依题意，，故，故，故

，故选D．

4．答案：C

解析：取，可知，故命题为真；因为，当且仅当时等号成立，故命题为真；故为真，故选C．

5．答案：B

解析：依题意，不妨设，故五边形ABEFD的面积，阴影的面积为，故所求概率为，故选B．

6．答案：D

解析：在正方体模型中作出该几何体的直观图如下所示，可知A，B，C分别是正视图、侧视图以及俯视图，观察可知，故选D．

7．答案：C

解析：运行该程序，第一次是，，第二次是，，第三次是，，第四次是，，第五次是，，第六次，否，跳出循环，输出a＝1．故选C．

8．答案：A

解析：：依题意，，故，故选A．

9．答案：C

解析：如图，在上取,使得，连接，故多面体的体积

，故选C．

10．答案：C

解析：依题意，，故，解得，且，故，故，观察可知，故选C．

11．答案：C

解析：依题意，抛物线；因为，故直线与x轴正半轴所成角为120°，故为等边三角形，则，则的面积为，故选C．

12．答案：D

解析：因为，故函数的图像关于对称，因为与的图象关于y＝x对称，所以，的图象关于点对称，又，其对称中心为，依题意得，解得，故选D．

13．答案：或

解析：依题意，设双曲线的方程为，故，则或；解得或，故双曲线的方程为或．

14．答案：

解析：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线过点时，z有最小值0，当直线过点时，z有最大值，故的取值范围为．

15．答案：

解析：因为，所以是第二象限角；因为，所以，故,，故．

16．答案：1302

解析：依题意，，因为，故，，，以此类推，发现数列每间隔4项呈现出一定的规律，即第1项、第5项、第9项…都是2，第2项、第6项、第10项…成等差数列，第3项、第7项、第11项…都是0，第4项、第8项、第12项…成等差数列，故．

17．解析：

（1）在中，，

由余弦定理得，

所以，解得．

又，所以是等边三角形．（6分）

（2）因为，且，故，

所以，解得，

在中，，所以．

在中，由正弦定理得，

所以．（12分）

18．解析：

（1）依题意，居民问卷得分的众数为99，中位数为88；（4分）

（2）依题意，所求平均得分为

（8分）

（3）依题意，从5人中任选3人，可能的情况为（73,74,75）,（73,74,78）,（73,74,79），（73,75,78）,（73,75,79）,（73,78,79）,（74,75,78）,（74,75,79）,（74,78,79）,（75,78,79），其中满足条件的为3种，故所求概率；（12分）

19．解析：

（1）因为点分别在线段上，且，

故，又平面，平面，故平面；

因为，故，因为，

故四边形为平行四边形，故；

又平面,平面，故平面

因为平面,EG平面，

所以平面平面；（6分）

（2）由已知可得，，

由.（12分）

20．解析：

（1）依题意，，解得，

故椭圆的方程为；（4分）

（2）联立消去并整理得：（*），

因直线与椭圆有两个交点，即方程（*）有不等的两实根，

故，解得，

设，由根与系数的关系得，

点不在圆内，即，

又由

解得，故，则或．

则满实数的取值范围为．（12分）

21．解析：

（1）依题意，，故，

故，故；（4分）

（2）令，则．

当时，；当时，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

当时，．于是，当时，  ①

令，则．

当时, ；当时, ．

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

当时，，于是，当时，   ②

显然，不等式①②中的等号不能同时成立．故当时，．

因为，所以．所以．（12分）

22．解析：

（1）依题意，直线，可知直线是过原点的直线，

故其极坐标方程为；曲线，

故曲线的直角坐标方程为．（5分）

（2）依题意，直线的极坐标方程为；

设对应的极径分别为，将代入曲线的极坐标可得

；故，

故，故，则，

，故直线的斜率为．（10分）

23．解析：

（1）依题意，，

当时，，解得，

当时，，故；

当时，，故；

综上，所求不等式的解集为{x|}．（5分）

（2）依题意，，故，

故

当且仅当时等号成立，故的最小值为．（10分）