贵州省铜仁市第一中学2020届高三上学期模拟考试数学试题（理科）

铜仁一中2019-2020学年度高三第二次模拟考试

数学试卷（理科）

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两个部分，共150分，考试时间120分钟。

2．请将答案正确填写在答题卡上，否则无效。

第I卷（选择题  共60分）

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.

1.已知集合，，则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

考查集合的基本运算，由条件可计算出A、B两集合，然后计算即可.

【详解】由题可得：；

，故选择D.

【点睛】考查集合的基本运算.属于简单题.

2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（  ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

考查复数基本概念，由可计算出，即可得出选项

【详解】由，选择C.

【点睛】考查复数的基本概念，属于基础题.

3.学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：

将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（  ）

A. 抽样表明，该校有一半学生为阅读霸

B. 该校只有50名学生不喜欢阅读

C. 该校只有50名学生喜欢阅读

D. 抽样表明，该校有50名学生为阅读霸

【答案】A

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.

【详解】根据频率分布直方图可列下表：

抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸.

故选A.

【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.

4.已知为等边三角形，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

判断两向量夹角容易出错，是，而不是

【详解】

由图发现的夹角不是而是其补角，

【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.

5.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（  ）

A. 关于直线对称 B. 关于直线对称

C. 关于点对称 D. 关于点对称

【答案】A

【解析】

【分析】

由的最小正周期，可以求出，从而可以简单的判断出其相关性质

详解】，所以，即，

令关于对称，可判断A正确，B错误；

关于对称，可判断C、D错误.

【点睛】根据三角函数的性质求参数，确定表达式后，再次研究其相关性质（对称性、奇偶性、单调性、周期性等），属于中档题.

6.已知等差数列的前13项之和为，则等于（ ）

A.  B.  C. —1 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差数列的前13项之和 ,求得,则,运算求得结果.

【详解】由题意可得,
则,
故选C.

本题考查等差数列的定义和性质,前n项和公式的应用,求出,是解题的关键.

7.函数的部分图像是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

函数偶函数，排除AD。且

当 排除B。选A。

故答案为A。

点睛：这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图像；一般这种题目是排除法来做的；先找函数的定义域，值域，看是否和解析式相符；再看函数的对称性，奇偶性，看两者是否相符；还有可以判断函数的极限值。

8.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（    ）

A. 13.25立方丈 B. 26.5立方丈 C. 53立方丈 D. 106立方丈

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题目给出的体积计算方法，将几何体已知数据代入计算，求得几何体体积

【详解】由题，刍童的体积为立方丈

【点睛】本题考查几何体体积的计算，正确利用题目条件，弄清楚问题本质是关键。

9.设D为椭圆上任意一点，A（0，－2），B（0，2），延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为（  ）

A. x2＋（y－2）2＝20 B. x2＋（y－2）2＝5

C. x2＋（y＋2）2＝20 D. x2＋（y＋2）2＝5

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意得，从而得到点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，进而可得其轨迹方程．

【详解】由题意得，

又点为椭圆上任意一点，且为椭圆的两个焦点，

∴，

∴，

∴点的轨迹是以点A为圆心，半径为的圆，

∴点的轨迹方程为．

故选C．

【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．

10.已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（   ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

由奇函数性质可以知道，其最大值与最小值互为相反数，本题中可以将转化为，其中为奇函数.

【详解】，令，即

而是在R上的奇函数，设其最大值为,最小值为，由奇函数性质可得，所以，故选择C

【点睛】求函数最大值最小值问题，我们时常会考虑函数是否有奇偶性，值得注意奇函数最大值与最小值的和为0，本题中构造奇函数加常数型的函数，难度较大.

11.已知函数，给定以下命题：

①为偶函数；②为周期函数，且最小正周期为；③若，则恒成立。

正确的命题个数为（   ）个。

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性的定义判断①；根据周期性的定义判断②；利用判断③.

【详解】定义域为R，

因为,所以①正确.

,所以②正确；又所以③错误.故选C.

【点睛】与三角函数为载体，考查函数奇偶性、周期性及恒成立问题，奇偶性、周期性更多直接借助定义来判断，判断恒成立问题，我们可以借助某些特殊值不符合，从而判断其为假命题，本题难度较大.

12.已知函数，若方程有4个不同的实根，且，则(   )

A. 12 B. 16 C. 18 D. 20

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数图象的翻折，做出图象，寻找出相对应的关系

【详解】

可以画出如上图的图象，由性质可知：

，

，

故选择D.

【点睛】本题是一道函数及其图象的综合性考题，难度很大，该类型考题首先考查利用函数的平移、伸缩、翻折得出复杂函数的图象，并根据跟的分布得出对应交点横坐标的关系，而不是蛮干.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).

13.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于________.

【答案】－24

【解析】

【分析】

由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．

【详解】由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=-3，
故此等比数列的前三项分别为-3，-6，-12，故此等比数列的公比为2，故第四项为-24，
故答案为-24.

【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．

14.函数,若，则__________．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据解析式得到a的范围，进而得到，解出参数a=1,代入表达式得到.

【详解】由时是减函数可知，若，则，∴，由得，解得，则.

故答案为：2.

【点睛】这个题目考查了分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略

(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。

(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。

(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。

15.在△ABC中，若cosA＝，cosB＝，则cosC＝________.

【答案】

【解析】

在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，cosA＝＞0，cosB＝＞0，得0＜A＜，0＜B＜，从而sinA＝，sinB＝，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝×－×＝

16.已知函数．若存在，使得，则实数取值范围是____．

【答案】

【解析】

解答：

∵f(x)=ex(x−b)，

∴f′(x)=ex(x−b+1)，

若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0，

则若存x∈[,2],使得ex(x−b)+xex(x−b+1)>0，

即存在x∈[,2],使得b< 成立，

令 ，

则 ，

g(x)在 递增，

∴g(x)最大值=g(2)= ，

则实数的取值范围是

点睛： (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．

(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．

三、解答题(本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).

17.已知，函数

 (1)求的最小正周期；

(2)当时，求函数的值域．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用向量数量积的坐标表示公式，写出函数的表达式，利用正弦的二倍角公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式化简函数的解析式，最后利用最小正周期公式求出最小正周期；

（2）根据的取取值范围，求出的取取值范围，利用正弦函数的图象性质，求出函数的值域.

【详解】（1）

，

，所以的最小正周期为；

（2）

的值域为.

【点睛】本题考查了求正弦型函数的周期和闭区间上的值域问题，利用二倍角的正弦、余弦公式、辅助角公式是解题的关键.

18.已知公差不为0的等差数的前3项和＝9，且成等比数列

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前n项和，求证 .

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）    考查等差数列通项公式的计算，我们可以直接设，通过方程算出

（2）    考查裂项相消法，在计算中要注意提取相应倍数

【详解】（1）由＝9得：①；

成等比数列得：②；

联立①②得；  故

（2）∵    

 ∴

【点睛】以等差数列为载体，考查等差数列通项公式的计算，裂项相消法求新数列的前n相和，并且考查了分离参数方法判断值小于，属于常规题，难度不大.

19.在中，角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）已知外接圆半径,求的周长.

【答案】（1）（2）3+3

【解析】

【分析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周长．

【详解】（1）

，

即

又    

（2） ,

∵，

∴由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccosA，

∴，

∵c＞0，所以得c=2,

∴周长a+b+c=3+3．

【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．

20.设函数，其中.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若，求函数的极值.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）具体函数求在某点处切线问题，对函数求导确定直线斜率求出切线方程

（2）求极值步骤：求根，比较根大小（如果根大小关系不确定）进行讨论，依据不同情况列表，根据表格得出结论

【详解】（1）当时，

  且，∴切线方程为

 （2），令

        ①若，列表如下

因此，函数的极小值为，函数的极大值为.

   ②若，列表如下

因此，函数的极小值为，函数的极大值为.

【点睛】（1）求切线方程要区分“过某点”与“在某点处”的切线方程

（2）求极值并不只是考虑，还需要考虑根两侧导函数值是否编号；当根大小不能确定，我们还需要有效的讨论.

21.已知函数，且.

（1）判断函数的单调性；

（2）若方程有两个根为，，且，求证：.

【答案】（1）在上是单调递减，在上是单调递增；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）定积分为载体，可求解的值，从而不含有参数，求其单调性，变为常规题.

（2）可以通过比值代换法，经过代数变形，将所证的双变量的不等式化为单变量的函数不等式，再次构造关于的函数，研究最值从而得证.

【详解】（1）函数的定义域：.

 ，∴，∴，

令，解得，故在上是单调递减；

令，解得，故在上是单调递增．

（2）由，为函数的两个零点，得，，

两式相减，可得，即，，

因此，，令，

由，得．则，

构造函数， 则，

∴函数在上单调递增，故，

即，可知．故命题得证．

【点睛】不含参函数单调性研究，属于简单题

该类型考题在前几年高考中出现过——极值点偏移问题；本题中运用做差法去除参数m的干扰，搭建起关于双变量的等量关系（并且还是其次），可以通过比值代换法将双变量变为单变量函数，从双变量到单变量，达到划归的思想.从而得证.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点，直线和曲线交于两点，求的值．

【答案】（1）曲线的普通方程为,直线的直角坐标方程为;（2）.

【解析】

【分析】

（1）考察参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化，常规化考题

（2）该类型考题多注意恰好在直线上，从而将直线直角坐标方程化为过P的参数方程，利用参数方程及参数几何意义就可以完成本题。

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线C的普通方程为.

因为，所以.

所以直线的直角坐标方程为.

（2）由题得点在直线l上，直线的参数方程为，

代入椭圆的方程得，所以，

∴.

【点睛】属于常规考题，考察了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化。属于简单题，多注重直线的参数方程及其几何意义的运用，常见的问题有求，， 等值.

23.已知函数.

（I）求不等式；

（II）若不等式的解集包含，求实数的取值范围..

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

分析】

（Ⅰ）利用零点分类讨论法解不等式；（Ⅱ）即在恒成立，

即，即，再化为在恒成立解答即可.

【详解】解：（Ⅰ）.

当时，，即，解得；

当时，，即，解得；

当时，，即，解得.

综上，不等式的解集为.

（Ⅱ）对，恒成立，

即在恒成立，

即，

，

在恒成立，

.

【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.