贵州省贵阳市第三十八中学2020届高三上学期模拟考试数学（理）试题
展开理科数学
满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题；命题．
则下列命题中是真命题的为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，线段是正方形的一条对角线，现以为一条边，作正方形BEFD，记正方形与BEFD的公共部分为（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD中投掷一点，该点落在内的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知某几何体的顶点满足，
则下列图形中，该几何体的三视图不可能为（ ）
7．运行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．已知等腰梯形中，，若
，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．8
9．《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（ ）
A．66立方尺 B．78立方尺 C．84立方尺 D．92立方尺
10．已知函数在上仅有1个最值，且为最大值，则实数的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在准线上，若，且（表示直线的斜率），则的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上的所有实数根之和为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）
13．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且双曲线的焦距为8，则双曲线的方程为 ．
14．二项式的展开式中，含的项的系数为 ．
15．已知实数满足，则的取值范围为 ．
16．已知数列满足，且．等比数列的通项公式为．若数列的满足，则数列的前项和为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知中，,，．
（1）证明：为等边三角形；
（2）若的面积为，求的正弦值．
18．（12分）共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了21人进行问卷调查，得到这21人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分100分）：
（1）请计算这21位居民问卷的平均得分；
（2）若成绩在80分以上问卷中从中任取3份，求这3份试卷的成绩都在85以上（含85分）的概率；
（3）从成绩在90分以上（含90分）的居民中挑选4人参加深入探讨，记抽取的4个居民中成绩为99分的人数为，求的分布列与期望．
19．（12分）已知四棱锥中，，，平面平面．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，且，直线与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为直线与的交点，若是一个与k无关的常数，过点且与直线垂直的直线交椭圆于两点，求四边形的面积的最小值．
21．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立，
求实数的取值范围．
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的斜率．
23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）记的最小值为，若正实数满足，求的最小值．
选题题号（请在所选的题号后√）：22□ 23□
选考题答题区：
答案
1．答案：A
解析：依题意，，故，
即，故选A．
2．答案：B
解析：依题意，，，故，故选B．
3．答案：D
解析：依题意，，故，故，故，故选D．
4．答案：C
解析：取，可知，故命题为真；因为，当且仅当时等号成立，故命题为真；故为真，故选C．
5．答案：B
解析：依题意，不妨设，故五边形ABEFD的面积，阴影的面积为，故所求概率为，故选B．
6．答案：D
解析：在正方体模型中作出该几何体的直观图如下所示，可知A，B，C分别是正视图、侧视图以及俯视图，观察可知，故选D．
7．答案：C
解析：运行该程序，第一次是，，第二次是，，第三次是，，第四次是，，第五次是，，第六次，否，跳出循环，输出a＝1．故选C．
8．答案：C
解析：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易求，∠DAB＝60°，
则，因为，所以，则
，故选C．
9．答案：C
解析：如图，在上取,使得，连接，故多面体的体积
，故选C．
10．答案：C
解析：依题意，，故，解得，且，故，故，故选C．
11．答案：C
解析：依题意，抛物线；因为，故直线与x轴正半轴所成角为120°，故为等边三角形，则，则的面积为，故选C．
12．答案：C
解析：因为，故，故函数的一个对称轴为；且，故函数的周期为8，作出函数的图像如下所示；联立解得，故，由周期性可得所有实数根之和为，故选C．
13．答案：或
解析：依题意，设双曲线的方程为，故，则或；解得或，故双曲线的方程为或．
14．答案：
解析：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，故所求系数为．
15．答案：
解析：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，表示平面区域内的点与点之间连线的斜率，观察可知
16．答案：
解析：依题意，，故，故，故．故数列是以3为首项，3为公差的等差数列；故，故，令，故数列的前项和为，而数列的前项和为，由分组求和法可知，数列的前项和为．
17．解析：
（1）在中，，
由余弦定理得，
所以，解得．
又，所以是等边三角形．（6分）
（2）因为，且，t所以，
故，解得，
在中，，所以．
在中，由正弦定理得,
所以．（12分）
18．解析：
（1）依题意，所求平均得分为
．（4分）
（2）设事件：80分以上问卷中任取3份，成绩都在85以上，则所求概率
．（7分）
（3）依题意，的可能取值为；故，，
故的分布列为：
0 | 1 | 2 | 3 | |
故．（12分）
19．解析：
（1）因为，所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以CE⊥平面，而平面，故．（4分）
（2）取BE的中点，因为，故，
因为平面平面，平面平面，故平面．
以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．
不妨设，则,.
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
，观察图形知二面角为钝二面角，
则二面角的余弦值．（12分）
20．解析：
（1）联立解得，故，又，
，联立三式，解得，
故椭圆的方程为．（4分）
（2）联立，解得；设，
联立方程组消去得，
，
，
又是一个与k无关的常数，，即，
；， ，适合，
同理，
故，
当且仅当时等号成立，故四边形的面积的最小值为．（12分）
21．解析：
（1），令，得，故，
故，解得．令f ′(x)＞0得，令f ′(x)＜0得，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（4分）
（2）令，
；令，则，
（ⅰ）当时，因为当时，,，所以，
所以即在上单调递增．
又因为，所以当时，，从而在上单调递增，
而，所以，即成立；
（ⅱ）当时，可得在上单调递增．
因为，，
所以存在，使得，且当时，，
所以即在上单调递减，又因为，所以当时，，从而在上单调递减，而，
所以当时，，即不成立；
综上所述，的取值范围是．（12分）
22．解析：
（1）依题意，直线，可知直线是过原点的直线，
故其极坐标方程为；曲线，
故曲线的直角坐标方程为．（5分）
（2）依题意，直线的极坐标方程为；
设对应的极径分别为，将代入曲线的极坐标可得
；故，
故，故，则，
，故直线的斜率为．（10分）
23．解析：
（1）依题意，，
当时，，解得，
当时，，故；
当时，，故；
综上，所求不等式的解集为{x|}．（5分）
（2）依题意，，故，
故
当且仅当时等号成立，故的最小值为．（10分）
