安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（六）数学（理）试题
展开2020届模拟06
理科数学
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合,，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知实数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知命题,，则命题的真假以及命题的否定分别为 （ ）
A．真，，
B．真，，
C．假，，
D．假，，
4．已知向量，，若，且，则实数的值为 （ ）
A．2 B．4 C．或2 D．或4
5．运行如下程序框图，若输出的的值为6，则判断框中可以填 （ ）
A． B． C． D．
6． （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则下列说法正确的是 （ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数的图象关于对称
C．函数的图象关于中心对称
D．函数的图象关于中心对称
8．将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则当取到最小值时，函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数满足，若，且恒成立，则实数的取值不可能为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）
A．1 B． C． D．2
11．已知椭圆的离心率为，且是椭圆上相异的两点，若点满足，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的定义域为，若对任意的，
恒成立，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
基于上述规律，可以推测，当时，从左往右第22个数为 .
14．多项式的展开式中，含项的系数为 .
15．已知四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，且，，，，若平面平面，则四棱锥外接球的表面积为 .
第15题图 第16题图
16．如第16题图所示，四边形被线段切割成两个三角形分别为和，若,,，
则四边形面积的最大值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.
（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；
（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为，求的分布列及期望.
19．（12分）如图，三棱锥中，，，分别为的中点，；连接，平面平面.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知斜率存在又不经过原点的直线与圆相切，且与椭圆交于两点.探究：在椭圆上是否存在点，使得，若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数.
（1）若函数的图象在点处的切线的斜率为，求函数在上的最小值；
（2）若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；
（2）将曲线向左平移2个单位，再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，求曲线上的点到直线的距离的最小值.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
2020届模拟06理科数学答案与解析
1．【答案】C【解析】依题意，集合，，
故，故选C.
2．【答案】A【解析】依题意，，故，故，故复数的共轭复数为，故选A.
3．【答案】B【解析】不妨取，此时，故命题为真；特称命题的否定为全称命题，故，，故选B.
4．【答案】253【解析】当时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051，
1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253，故所求数字为253.
5．【答案】B【解析】运行该程序，第一次，；第二次，；第三次，；第四次，；第五次；；第六次，；观察可知，判断框中可以填“”，故选B.
6．【答案】A【解析】依题意，
；
；故原式的值为，故选A.
7．【答案】D【解析】依题意，，将函数的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数的图象，这是一个奇函数，图象关于中心对称，故函数的对称中心为，故选D.
8．【答案】C【解析】依题意，将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，此时，
解得，故，故的最小值为
故；令，解得
，即，故选C.
9．【答案】A【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出；要使恒成立，需且仅需解得；故的取值不可能为7，故选A.
第9题答案图 第10题答案图
10．【答案】B【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为或，均为，故选B.
11．【答案】A【解析】依题意，；因为，故；设，则，
故，，可知，当时，有最大值25，当时，有小值；故的取值范围为，故选A.
12．【答案】B【解析】，可得，令，则，其中，，，又，则，即，因此实数的取值范围是，故选B.
13．【答案】253【解析】当时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.
14．【答案】420【解析】依题意，多项式，要凑出，则必须有四个，两个，以及两个，故所求系数为.
15．【答案】【解析】因为四边形为等腰梯形，
，故；因为,，
，
故；取CD的中点E，则E是等腰梯形
外接圆圆心；F是外心，作平面，平面，则O是四棱锥的外接球的球心，且；设四棱锥的外接球半径，则，所以四棱锥外接球的表面积是.
16．【答案】【解析】因为，故，
故，故是等腰直角三角形；在中，，
由余弦定理，；；
又，；
易知当时，四边形的面积有最大值，最大值为．
17．【解析】（1）依题意，，故，故；
故数列是公比为3的等比数列，因为，故，
解得；故数列的通项公式为；（6分）
（2）依题意，，故数列是以1为首项，为公比的等比数列，
故
故，即实数的取值范围为.（12分）
18．【解析】（1）依题意，甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（4分）
（2）依题意，的可能取值为1,2,3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为；
，，，故的分布列为
1 | 2 | 3 | |
故所求期望.（12分）
19．【解析】（1），平面平面，
平面平面，故底面，
，两两垂直，以
为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知
条件知，，
且，
，
,,平面．（6分）
（2）由（1）可知，平面的法向量为．
令平面的法向量为，故，
即，取．，
二面角的余弦值为.（12分）
20．【解析】（1）依题意，，故.①
将代入椭圆的方程中，可得.②
联立①②，解得，故椭圆的标准方程为.（4分）
（2）假设在椭圆上存在点，使得.
依题意，设直线，圆，即.
直线与圆相切，所以，
整理得.当时，切线的斜率不存在，不合题意，舍去；
当且时，得，把代入椭圆
的方程得：.
易知，圆在椭圆内，所以直线与椭圆相交，设，
则，，
，
.
因为，故，
即的坐标为.
又因为在椭圆上，所以，
得，把代入得；
因为，所以，，于是或，
综上所述.（12分）
21．【解析】（1）依题意，，故，
解得，故；令，故；
因为,,，
故函数在上的最小值为；（4分）
（2）依题意，；
问题转化为在有两个解；
令,．
①当时,,在上单调递增．
由零点存在性定理，在至多一个零点，与题设发生矛盾．
②当时，令，则．
+ | 0 | - | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
因为，当（或），
要使在内有两个零点，则即可，得，
又因为，所以；综上，实数的取值范围为．（12分）
22．【解析】（1）曲线：；直线:；（4分）
（2）依题意，曲线；又曲线的参数方程为为参数)，
设曲线上任一点，
则(其中)，
所以点到直线的距离的最小值为.（10分）
23．【解析】（1）显然；故，
故不等式的解集为；（5分）
（2）依题意，当，，
故，解得；
当时，，
故，解得；
综上所述，实数的值为.（10分）
