安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（八）数学（文）试题
展开2020届模拟08
文科数学
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合,，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆的方程为 （ ）
A． B． C． D．
5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：
3.1415926＜＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6随机选取两位数字，整数部分3不变，那么得到的数字大于3.14的概率为 （ ）
A． B． C． D．
6．运行如图所示的程序,输出的结果为 （ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l1:与l2:之间的距离为2，则直线l2被圆截得的弦长为 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．已知实数满足不等式组，则目标函数的最大值为 （ ）
A．1 B．5 C． D．
10．在边长为1的正中，点在边上，点是中点，若，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知定义在上的函数，满足，且时，，图象如图所示，则满足的实数的取值范围
是 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的最小正周期为，且，则 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．在正方体中，点是的中点，则与所成角的正切值为 .
14．已知双曲线的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x轴的直线被双曲线截得的弦长为，则 .
15．已知函数，若，且的最小值为，则 .
16．已知的三个内角所对的边分别为，且
,，则 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）已知等比数列满足：，且.
（1）求的通项公式及前项和；
（2）若，求的前项和.
18．（12分）如图，三棱锥中，平面平面，，且.
（1）求证：；
（2）若，求三棱锥的体积.
19．（12分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.
（1）试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征；
（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x，每小时点击次数为，则点近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y关于x的回归直线.（附：回归方程系数公式：,）.
20．（12分）如图，直线与y轴交于点，与抛物线交于，点与点关于x轴对称，连接并延长分别与x轴交于点.
（1）若，求抛物线的方程；
（2）若，求外接圆的方程.
21．（12分）已知函数.
（1）若在处的切线与轴平行，求的极值；
（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线l的参数方程为（其中为参数）.
（1）把曲线的极坐标方程化为普通方程；
（2）若直线与曲线有两个公共点，求实数的取值范围.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知函数.
（1）关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围；
（2）求的最小值，及对应的x的取值范围.
2020届模拟08文科数学答案与解析
1．【答案】C【解析】由条件可知为偶数集，故.
2．【答案】B【解析】.
3．【答案】A【解析】.
4．【答案】D【解析】设椭圆的焦距为2c，由条件可得，故，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得，即，所以，，故，故该椭圆的方程为.
5．【答案】A【解析】从1,4,1,5,9,2,6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：
14,11,15,19,12,16,41,45,49,42,46,59,52,56,92,96,26,51,91,21,61,54,94,24,64,95,25,65,29,69,
62，共31种不同情况，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种不同情况，故所求概率为.
6．【答案】D【解析】所给程序的运行过程如下：b=1,a=3;b=2,a=7;b=3,a=15;b=4,a=31，不满足，输出b的值为4.
7．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的，故表面积为.
8．【答案】A【解析】由条件可知，直线过圆心，则圆心到直线l2的距离等于直线与l2之间的距离2，故直线l2被圆截得的弦长为.
9．【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：
且点，易得目标函数在点处取得最大值5.
10．【答案】C【解析】设,，则
,,
则
，故，即.
11．【答案】B【解析】由条件可知，的图象关于直线对称，结合可得，而，即，解之得，由可得，当时，由，解之得，所以，，再结合对称性可得的取值范围是.
12．【答案】B【解析】，
其中，由可得，即关于对称，而与的距离为个周期，故，所以，.
13．【答案】2【解析】即为与所成角，取中点，连接，则，则.
14．【答案】6【解析】设双曲线的焦距为，则，即，则把代入双曲线可得，故，所以，.
15．【答案】3【解析】由可得，即,
，则，当且仅当，即时，取得最小值2，故.
16．【答案】【解析】由及正弦定理
可得，即，
而,.
由可得，由余弦定理可得，
即，解之得(舍去负值).
17．【解析】（1）设的公比为q，由可得，
,..（5分）
（2）由（1）可得.则 ①
所以， ②
由①－②可得，
所以，.（12分）
18．【解析】（1）取的中点，连接.,，
平面，
平面，又OC平面,，
而是的中点,.（6分）
（2）平面平面,平面，平面平面，
平面，由条件可得,.
则，
三棱锥的体积为：.（12分）
19．【解析】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，
乙公司每小时点击次数为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
甲公司每小时点击次数的平均数为：，
乙公司每小时点击次数的平均数为：
甲公司每小时点击次数的方差为：;
乙公司每小时点击次数的方差为：
，
由计算已知，甲、乙公司每小时点击次数的均值相同，但是甲的方差较小，
所以，甲公司每小时点击次数更加稳定.（6分）
（2）根据折线图可得数据如下：
点击次数y | 2 | 4 | 6 | 8 | 7 |
点击价格x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
则，则,
所求回归直线方程为：.（12分）
20．【解析】（1）由可得，
设点，则，即.
，
故.
由可得（舍去负值），
抛物线的方程为.（5分）
（2）设直线的斜率分别为，
.
，
直线的方程为：，直线的方程为：，
则，则，
由可得,，
,，且，故，
即△BMN是等腰三角形，且，则△BMN的外接圆的圆心一定在y轴上，设为，
由圆心到点的距离相等可得，解之得，
外接圆方程为.（12分）
21．【解析】（1）,，
由条件可得，解之得，
,，
令可得或（舍去）.
当时，；当时，.
即在上单调递增，在上单调递减，
故有极大值，无极小值；（5分）
（2），则.
设.
①当时，，当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，不满足条件；
②当时，是开口向下的抛物线，
方程有两个实根，设较大实根为.
当时，有，即,在上单调递减，故不符合条件；（8分）
③当时，由可得在上恒成立.
故只需或，即或，解之得.
综上可知，实数的取值范围是.（12分）
22．【解析】（1）方程可化为，
即，把代入可得，
整理可得.（5分）
（2）把代入可得，
由条件可得，解之得，
即实数的取值范围是.（10分）
23．【解析】（1）当时，不等式可变为，解之得,;
当时，不等式可变为，解之得,不存在.
综上可知，不等式的解集为.
由可得，解之得，
即实数的取值范围是.（5分）
（2），
当且仅当，即时，
取得最小值1，此时，实数的取值范围是[1,2].（10分）
