2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（九）数学（理）试题
展开2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（九）
理科数学
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设复数满足（为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的真子集个数为 （ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
3．已知，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．用表示中的最大值，若，则的最小值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，圆过正六边形的两个顶点，记圆与正六边形的公共部分为，则往正六边形内投掷一点，该点不落在内的概率为
（ ）
A． B． C． D．
6．已知正项等比数列的前项和为，且，若，，则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
8．已知单位向量的夹角为，若向量，且，则
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．执行如图所示的程序框图，若输出的的值是35，则判断框内应补充的条件为
（ ）
A． B． C． D．
10．过椭圆一个焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，是原点，若是等边三角形，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是 （ ）
A． B．
C． D．
12．若函数在区间上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．已知函数，则函数图象的对称轴为 .
14．展开式中的系数为2016，则展开式中常数项为 .（用数字作答）
15．已知点满足，则的取值范围为 .
16．设是数列的前项的和，，如果是与的等差中项，则的最小值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求.
18．（12分）每逢节日，电商之间的价格厮杀已经不是什么新鲜事，今年的6月18日也不例外.某电商在6月18日之后，随机抽取100名顾客进行回访，按顾客的年龄分成6组，得到如下频数分布表：
顾客年龄 | [5,15) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) |
频数 | 4 | 24 | 32 | 20 | 16 | 4 |
（1）在下表中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）用分层抽样的方法从这100名顾客中抽取25人，再从抽取的25人中随机抽取2人，求年龄在内的顾客人数的分布列、数学期望．
19．（12分）如图1，平面五边形是由边长为2的正方形与上底为1，高为的直角梯形组合而成，将五边形沿着折叠，得到图2所示的空间几何体，其中.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
图1 图2
20．（12分）已知抛物线，不与坐标轴垂直的直线与抛物线交于两点，当且时，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过定点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出定点坐标.
21．（12分）已知.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).
（1）求曲线的直角坐标系方程和直线的普通方程；
（2）点在曲线上，且到直线的距离为，求符合条件的点的直角坐标.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知定义在上的函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
2020届模拟09理科数学答案
1．【答案】B
2．【答案】C【
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】D
11．【答案】B
12．【答案】C
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16.【答案】、
17【解析】
（1）由得，
即，解得或（舍去），由正弦定理得.（6分）
（2）由余弦定理得，将代入，得，
解得，由余弦定理得，
则,，
从而.（12分）
18．【解析】
（1）频率分布直方图如下图所示
（6分）
（2）由题意，抽取25人中，有8人的年龄在内，的可能取值为，
且，，，
故随机变量的分布列为
0 | 1 | 2 | |
X的数学期望为.（12分）
19．【解析】
（1）以为原点，以平行于的方向为轴，平行于的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
过点作的高，交于点.由于，
所以平面，所以，又因为，
所以平面.设，由题设条件可得下列坐标：
.
，由于，
所以，解得，
故.可求，且，，从而，.
因为平面，且，故平面.（6分）
（2）由（1）得.设平面的法向量，由及得令，由此可得.设平面的法向量，由及得令，由此可得.则，因为二面角大于，则二面角的余弦值为.（12分）
另解：取中点，连接，可证是二面角的平面角．易求，由余弦定理得．（12分）
20．【解析】
（1）将抛物线方程和直线方程联立，得，
消去得，由根与系数关系可得，
则，
则，化简得，解之得或（舍去），
故抛物线的标准方程为.（6分）
（2）直线方程为，设坐标分别为．因为点与点关于轴对称,所以坐标为，显然点也在抛物线上.设直线与轴交点的坐标为.由消去得.
所以.由于三点共线，则，
从而，化简得，
又，
，则，
故过定点.（12分）
21．【解析】
（1）的定义域为，
.
令，可得或.
当时，，由得，由得，
由此可得的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，，由得，由得，
由此可得的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，，由得，由得或，由此可得的单调递增区间为，
单调递减区间为，.
当时，，可得，故的单调递减区间为.
当时，，由得，
由得或，由此可得的单调递增区间为，
单调递减区间为,.（6分）
（2）当时，由（1）得在区间单调递减，
由此可得当时，即.
令，则，从而
，由此得,.（12分）
22．【解析】
（1）由曲线的极坐标方程为，则，即，
得其标准方程为.直线参数方程为(为参数)，
则其普通方程为.（5分）
（2）由（1）得曲线为圆心为，半径为5的圆，曲线的参数方程为
(为参数)，由题设条件及点到直线的距离公式可得，
化简的，可得或.
当时，注意到，联立方程组，
得或，此时对应的点坐标为.
当时，注意到，
联立方程组，得或，
此时对应的点坐标为.
综上，符合条件的点坐标为.（10分）
23．【解析】
（1）当时，.当时，原不等式可化为，
解得，结合得此时.当时，原不等式可化为，
解得，结合得此时不存在.当时，原不等式可化为，解得，结合得此时.综上，原不等式的解集为.（5分）
（2）由于对任意恒成立，
故当时，不等式对任意恒成立，此时.
当，即或时，由于，记，
下面对分三种情况讨论.
当时，，
在区间内单调递减.
当时，，
在区间内单调递增.
当时，，
在区间内单调递增.综上，可得，
要使得对任意恒成立，只需，即，得，
结合或，得.
综上，的取值范围为.（10分）
