安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（八）数学（理）试题
展开2020届模拟08
理科数学
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
3．等差数列满足：，若的前项和为，公差为，则下列结论不正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆的方程为 （ ）
A． B． C． D．
5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：
3.1415926＜＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有 （ ）
A．2280 B．2120 C．1440 D．720
6．运行如图所示的程序，输出的结果为 （ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l1:与l2:之间的距离为2，则直线l2被圆截得的弦长为 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．已知实数满足不等式组，且目标函数的最小值为，最大值为n，则 （ ）
A． B． C． D．
10．在边长为1的正中，点在边上，点是中点，若，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知定义在上的函数，满足，且时，，图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的最小正周期为，且，则 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．在正方体中，点是的中点，则与所成角的正切值为 .
14．已知双曲线的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x轴的直线被双曲线截得的弦长为，则 .
15．已知函数，若，且的最小值为，则 .
16．已知数列的前项和为，若且，数列的前项和为，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）已知的三个内角所对的边分别为，若.
（1）若，求；
（2）若的面积为，求的值.
18．（12分）如图，三棱锥中，平面平面，，且.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.
19．（12分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.
（1）若甲公司计划从这10次竞价中随机抽取3次竞价进行调研，其中每小时点击次数超过7次的竞价抽取次数记为，求的分布列与数学期望；
（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x，每小时点击次数为，则点近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y关于x的回归直线.（附：回归方程系数公式：,）.
20．（12分）如图，直线与y轴交于点，与抛物线交于，点与点关于x轴对称，连接并延长分别与x轴交于点.
（1）若，求抛物线的方程；
（2）若直线的斜率分别为.
①求证：为定值；
②若，求.
21．（12分）已知函数.
（1）若在处的切线与轴平行，求的极值；
（2）当或时，试讨论方程实数根的个数.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线l的参数方程为（其中为参数）.
（1）把曲线的极坐标方程化为普通方程；
（2）若直线与曲线有两个公共点，求实数的取值范围.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知函数.
（1）关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围；
（2）求的最小值，及对应的x的取值范围.
2020届模拟08理科数学答案与解析
1．【答案】C【解析】由可得,所以.
2．【答案】B【解析】.
3．【答案】A【解析】由等差数列的性质可知，
，即B,C,D都正确，故错误的只有A.
4．【答案】D【解析】设椭圆的焦距为2c，由条件可得，故，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得，即，所以，，故，故该椭圆的方程为.
5．【答案】A【解析】由于1,4,1,5,9,2,6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有，而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有，故得到的数字大于3.14的不同情况有.
6．【答案】D【解析】所给程序的运行过程如下：b=1,a=3;b=2,a=7;b=3,a=15;b=4,a=31，不满足，输出b的值为4.
7．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的，故表面积为.
8．【答案】A【解析】由条件可知，直线过圆心，则圆心到直线l2的距离等于直线与l2之间的距离2，故直线l2被圆截得的弦长为.
9．【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：
且点，易得目标函数在点处取得最大值5，在点A处取得最小值，故.
10．【答案】C【解析】设,，则
,,
则
，故，即.
11．【答案】B【解析】由条件可知，的图象关于直线对称，结合可得，而，即，解之得，并且由图象可知，当时，单调递减，则为最大值，故，即B正确.
12．【答案】D【解析】，
其中，由可得，即关于对称，而与的距离为个周期，故，所以，，同理，由与的距离为个周期可得，所以，，所以，.
13．【答案】2【解析】即为与所成角，取中点，连接，则，则.
14．【答案】6【解析】设双曲线的焦距为，则，即，则，把代入双曲线可得，故，所以，.
15．【答案】3【解析】由可得，即，
，则，当且仅当，即时，取得最小值2，故.
16．【答案】【解析】当时，由及可得，由①
可得时, ②，由①－② 可得，即，所以，，即是首项为2，公比为2的等比数列，故，
则，则 ③，所以， ④
由可得，所以，，由得，设，
则，易得在时递减，在时递增，且，
故的最小值为，故，故.
17．【解析】（1）由及正弦定理可得，由余弦定理可得，解之得（舍去负值）.（6分）
（2）由的面积为可得，由正弦定理可得，
，由余弦定理可得.（12分）
18．【解析】（1）取的中点，连接. ,,
平面,平面，
又OC平面,，而是的中点，.（6分）
（2）平面平面,平面，
平面平面,平面，
再由（1）可知三条直线两两垂直.
以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由条件可得,.
则，
,,.
设平面的一个法向量为，由可得
，令，则.
同理可得平面的一个法向量为，
则.
由图易知，二面角为锐角，二面角的余弦值为.（12分）
19．【解析】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，
由条件可知，的取值可能为0,1,2,3，且
，
所以，的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
的数学期望为.（6分）
（2）根据折线图可得数据如下：
点击次数y | 2 | 4 | 6 | 8 | 7 |
点击价格x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
则，则，
所求回归直线方程为：.（12分）
20．【解析】（1）由可得，
设点，则，即.，
故.
由可得（舍去负值），抛物线的方程为.（5分）
（2）①由条件可得.
,
（定值）.（8分）
②直线的方程为：，直线的方程为：，
则，则，
由可得,，
,，且,.（12分）
21．【解析】（1）,，
由条件可得，解之得，
,，
令可得或（舍去）.
当时，；当时，.
即在上单调递增，在上单调递减，
故有极大值，无极小值；（4分）
（2）设，
则.
①当时，，当时，，当时，，
故有极大值，此时，方程没有实数根；
②当时，由可得 (*)
由可知，(*)有两个实数根，不妨设为,
则，则必有，
且当时，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故有极大值，
方程没有实数根.（8分）
③当时，,，即在上单调递增,
，,，
设，易得在上递减，且，故.
当时，，
，
即,方程有1个实数根.
综上可知，当时，方程没有实数根，
当时，方程有1个实数根.（12分）
22．【解析】（1）方程可化为，
即，把代入可得，
整理可得.（5分）
（2）把代入可得，
由条件可得，解之得，
即实数的取值范围是.（10分）
23．【解析】（1）当时，不等式可变为，解之得,;
当时，不等式可变为，解之得,不存在.
综上可知，不等式的解集为.
由可得，解之得，
即实数的取值范围是.（5分）
（2），
当且仅当，即时，
取得最小值1，此时，实数的取值范围是[1,2].（10分）
