山东省青岛市西海岸新区（黄岛区）2019-2020学年高三4月模拟考试数学试题

青岛西海岸新区高中4月模拟试题

数 学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则=(    )

A． (2,+)       B．       C．     D．(3,+)

2. 已知复数，则复数z的虚部是（    ）

1. 4i                B. 2i                C. 2                 D. 4

3．已知向量、均为非零向量，，，则、的夹角为（  ）

A．  B．  C．  D．

4．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（    ）

A．24里 B．48里  C．96里  D．192里

5．在中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若，且a>b,则(     )

A．              B．             C．              D．

6．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点，且,则(     )

1.  2             B．3               C．                  D．

7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字，因为，，…所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：，，…若从，，，，，这个数字中任意取出个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下个数字构成的一个三位数的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8．如图所示的三棱柱，其中，若，当四棱锥体积最大时，三棱柱外接球的体积为（    ）

A．   B．     C．    D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普通人最伟大,同时让我感到幸福都是奋斗出来的”.某企业年个月的收入与支出数据的折线图如下：

已知：利润收入支出,根据该折线图,下列说法正确的是（    ）

A. 该企业年月至月的总利润低于年月至月的总利润

B. 该企业年第一季度的利润约是万元

C. 该企业年月至月的月利润持续增长  D. 该企业年月份的月利润最大

10.声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数,则下列结论正确的是（    ）

A. 是的一个周期 B. 在上有个零点

C. 的最大值为 D. 在上是增函数

11.在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是(     )

A. 函数是奇函数              B. 对任意的，都有

C. 函数的值域为     D. 函数在区间上单调递增

12．如图,正方形中,分别是的中点将分别沿折起,使重合于点.则下列结论正确的是（  ）

A．                       B．平面

C．二面角的余弦值为    D．点在平面上的投影是的外心

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足，则_______

14．已知的展开式中的系数为24，则__________．

15．双曲线的左焦点为，过点作斜率为的直线与轴及双曲线的右支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为         ．

16．已知函数，数列中，，则数列的前100项之和____．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和．

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.

已知的内角,,的对边分别为,,______________,,,求的面积.

19.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率；

（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。

20.已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足＝，D为AB的三等分点（靠近点A），(如图(1))，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B的平面角为90°，连接A1B，A1C(如图(2))．

(1)求证：A1D⊥平面BCED；

(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

21.如图：在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为 ，点在椭圆C上，是椭圆C上的一点，从原点O向圆作两条切线，分别交椭圆于P,Q.

(1)    求椭圆C 的方程；

(2)    若直线OP,OQ的斜率存在，并记为，求的值；

(3)    试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由。

22. 已知函数

(1)    求的极值；

(2)    若对任意的均成立，求K的取值范围；

(3)    已知且，求证：

青岛西海岸新区高中4月模拟试题

数学答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.A  2.D  3. B   4.D   5. A   6. B   7.C   8.C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9. AC       10.ABC       11. BCD        12.ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 0       14. 1或     15.       16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解:（1）设数列的公差为d，则，，

∵，，成等比数列， ，即，

整理得，解得（舍去）或，

.                    ………….........…………3分

当时，，

当时，．

验证：当时，满足上式，

∴数列的通项公式为．              ………….........…………6分

（2）由（1）得，，  ………….........…………7分

∴

………….........…………8分

.   ………….........…………12分

18.解：（1）若选择①,

由余弦定理,………….........4分

因为,所以;………….........………5分

由正弦定理,得,…………........7分

因为,,所以,………….........8分

所以………10分

所以.………….........12分

（2）若选择②,则,………….........3分

因为,所以,………….........4分

因为,所以;………….........5分

由正弦定理,得,………….........7分

因为,,所以,………….........8分

所以,.........10分

所以.…………........12分

（3）若选择③,

则,所以,………….....3分

因为,所以,

所以,所以;………….........5分

由正弦定理,得,………….........7分

因为,,所以,………….........8分

所以,…….......10分

所以.………….........12分

19. 解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.………….........2分

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为.………….........4分

（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2.

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.

由题设知，事件C，D相互独立，且.

所以，………….........5分

=0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6

=0.52，………….........6分

.………….........7分

所以X的分布列为

故X的数学期望E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.………….........9分

（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得.………….........10分

答案示例1：可以认为有变化.理由如下：

P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.………….........12分

答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：

事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.………….........12分

20.(1)证明　由图(1)可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.

从而DE＝＝           …………………………2分

故得AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE.

∴A1D⊥DE，BD⊥DE，                     

∴∠A1DB为二面角A1－DE－B的平面角，               ………………………4分

又二面角A1－DE－B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB，

∵DE∩DB＝D且DE，DB⊂平面BCED，

∴A1D⊥平面BCED.                                       …………………6分

(2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.

以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图，

过P作PH∥DE交BD于点H，

设PB＝2a(0≤2a≤3)，则BH＝a，PH＝a，DH＝2－a，

易知A1(0，0，1)，P(2－a，a，0)，E(0，，0)，所以＝(a－2，－a，1)．

因为ED⊥平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为＝(0，，0)．………8分

因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，所以sin 60°＝＝＝，解得a＝.    ∴PB＝2a＝，满足0≤2a≤3，符合题意．………………………11分

所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝. ---12分

21.解：（1）因为离心率为，所以，所以，…………..1分

椭圆方程可化为，代入点得…………......2分

所以椭圆方程为………….........3分

（2）因为直线和都与圆R相切，

所以，，........4分

所以是方程的两根........5分

所以-------------------------6分

因为点在椭圆上所以---------------7分

所以----------------8分

（3）①当直线OP、OQ不落在坐标轴上时，设，

联立得，-------------9分

所以，同理

因为

所以------------10分

所以------------11分

②当直线OP、OQ落在坐标轴上时，显然有

综上，-----------12分

22.解：（1）-----1分

得，得-----3分

所以在单调递增，在单调递减

所以有极大值，无极小值-----4分

（2）即即-----5分

由（1）知，时，

所以此时最大值为-----------6分

所以--------------7分

（3）因为且

所以

因为在单调递增

所以-------------------8分

即，所以-------------------9分

同理，所以

所以-------------------10分

即-------------------11分

所以------------------12分