山东省青岛市西海岸新区（黄岛区）2019-2020学年高三4月模拟考试数学试题

青岛西海岸新区高中4月模拟试题数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则=(    )A． (2,+)       B．       C．     D．(3,+)2. 已知复数，则复数z的虚部是（    ） 4i                B. 2i                C. 2                 D. 43．已知向量、均为非零向量，，，则、的夹角为（  ）A．  B．  C．  D．4．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（    ）A．24里 B．48里  C．96里  D．192里5．在中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若，且a>b,则(     )A．              B．             C．              D．6．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点，且,则(     )  2             B．3               C．                  D．7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字，因为，，…所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：，，…若从，，，，，这个数字中任意取出个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下个数字构成的一个三位数的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 8．如图所示的三棱柱，其中，若，当四棱锥体积最大时，三棱柱外接球的体积为（    ）A．   B．     C．    D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普通人最伟大,同时让我感到幸福都是奋斗出来的”.某企业年个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润收入支出,根据该折线图,下列说法正确的是（    ） A. 该企业年月至月的总利润低于年月至月的总利润B. 该企业年第一季度的利润约是万元C. 该企业年月至月的月利润持续增长  D. 该企业年月份的月利润最大10.声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数,则下列结论正确的是（    ）A. 是的一个周期 B. 在上有个零点C. 的最大值为 D. 在上是增函数11.在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是(     )A. 函数是奇函数              B. 对任意的，都有C. 函数的值域为     D. 函数在区间上单调递增12．如图,正方形中,分别是的中点将分别沿折起,使重合于点.则下列结论正确的是（  ）A．                       B．平面C．二面角的余弦值为    D．点在平面上的投影是的外心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足，则_______14．已知的展开式中的系数为24，则__________．15．双曲线的左焦点为，过点作斜率为的直线与轴及双曲线的右支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为         ．16．已知函数，数列中，，则数列的前100项之和____．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和．（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．  18.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知的内角,,的对边分别为,,______________,,,求的面积.     19.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。 20.已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足＝，D为AB的三等分点（靠近点A），(如图(1))，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B的平面角为90°，连接A1B，A1C(如图(2))．(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．      21.如图：在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为 ，点在椭圆C上，是椭圆C上的一点，从原点O向圆作两条切线，分别交椭圆于P,Q. (1)    求椭圆C 的方程；(2)    若直线OP,OQ的斜率存在，并记为，求的值；(3)    试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由。          已知函数(1)    求的极值；(2)    若对任意的均成立，求K的取值范围；(3)    已知且，求证：
青岛西海岸新区高中4月模拟试题数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A  2.D  3. B   4.D   5. A   6. B   7.C   8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9. AC       10.ABC       11. BCD        12.ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 0       14. 1或     15.       16. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:（1）设数列的公差为d，则，，∵，，成等比数列， ，即，整理得，解得（舍去）或，.                    ………….........…………3分当时，，当时，．验证：当时，满足上式，∴数列的通项公式为．              ………….........…………6分（2）由（1）得，，  ………….........…………7分∴………….........…………8分.   ………….........…………12分18.解：（1）若选择①,由余弦定理,………….........4分因为,所以;………….........………5分由正弦定理,得,…………........7分因为,,所以,………….........8分所以………10分所以.………….........12分（2）若选择②,则,………….........3分因为,所以,………….........4分因为,所以;………….........5分由正弦定理,得,………….........7分因为,,所以,………….........8分所以,.........10分所以.…………........12分（3）若选择③,则,所以,………….....3分因为,所以,所以,所以;………….........5分由正弦定理,得,………….........7分因为,,所以,………….........8分所以,…….......10分所以.………….........12分19. 解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.………….........2分所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为.………….........4分（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知，事件C，D相互独立，且.所以，………….........5分=0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6=0.52，………….........6分.………….........7分所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.………….........9分（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得.………….........10分答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.………….........12分答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.………….........12分20.(1)证明　由图(1)可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.从而DE＝＝           …………………………2分故得AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE.∴A1D⊥DE，BD⊥DE，                      ∴∠A1DB为二面角A1－DE－B的平面角，               ………………………4分又二面角A1－DE－B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB，∵DE∩DB＝D且DE，DB⊂平面BCED，∴A1D⊥平面BCED.                                       …………………6分 (2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图，过P作PH∥DE交BD于点H，设PB＝2a(0≤2a≤3)，则BH＝a，PH＝a，DH＝2－a，易知A1(0，0，1)，P(2－a，a，0)，E(0，，0)，所以＝(a－2，－a，1)．因为ED⊥平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为＝(0，，0)．………8分因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，所以sin 60°＝＝＝，解得a＝.    ∴PB＝2a＝，满足0≤2a≤3，符合题意．………………………11分所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝. ---12分21.解：（1）因为离心率为，所以，所以，…………..1分椭圆方程可化为，代入点得…………......2分所以椭圆方程为………….........3分（2）因为直线和都与圆R相切，所以，，........4分所以是方程的两根........5分所以-------------------------6分因为点在椭圆上所以---------------7分所以----------------8分（3）①当直线OP、OQ不落在坐标轴上时，设，联立得，-------------9分所以，同理因为所以------------10分所以------------11分②当直线OP、OQ落在坐标轴上时，显然有综上，-----------12分22.解：（1）-----1分得，得-----3分所以在单调递增，在单调递减所以有极大值，无极小值-----4分（2）即即-----5分由（1）知，时，所以此时最大值为-----------6分所以--------------7分（3）因为且所以因为在单调递增所以-------------------8分即，所以-------------------9分同理，所以所以-------------------10分即-------------------11分所以------------------12分