四川省内江市高中2020届高三上学期第一次模拟数学（文）试题

内江市高中2020届第一次模拟考试题数学(文科)

第Ⅰ卷(选择题,共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每个小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．)

1.已知集合，，若，则实数为（    ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】

根据并集的运算结果可得出实数的值.

【详解】集合，，且，或.

故选：D.

【点睛】本题考查利用交并集的运算求参数，在处理有限集的计算时，要注意元素互异性这个特征，考查计算能力，属于基础题.

2.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】，

因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.

3.向量，满足，且，则与的夹角的大小为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析：根据两个向量数量积的定义，求出与的夹角的余弦值，再根据两个向量夹角的范围，求出两个向量的夹角.

详解：,  

又的范围为,  

故选C.

点睛：本题主要考查两个向量数量积的定义，再根据三角函数值和两个向量夹角的范围求角，意在考查学生基本概念、基本知识掌握的准确度.

4.割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为，

所以，半径为圆的内接正十二边形的面积为，

因此，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为.

故选：B.

【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.

5.函数的单调减区间是　　

A.  B.

C. ， D.

【答案】A

【解析】

【详解】求解函数的导数可得，求0，由x>0，解得．所以x的取值范围为．

故选A.

6.已知等比数列是递增数列，，，则数列的前项和为（    ）

A.  B. 或 C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，并确定出等比数列的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列的前项和的值.

【详解】设等比数列的公比为，由题意得，解得或，

由于等比数列是递增数列，则，，，且，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

因此，数列的前项和为.

故选：C.

【点睛】本题考查等比数列的求和，根据题意求出等比数列的首项和公比是解题的关键，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

7.函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

分析函数的奇偶性以及的符号来判断出函数的图象.

【详解】函数的定义域为，关于原点对称，

且，该函数为偶函数，排除C、D选项.

又，排除A选项.

故选：B.

【点睛】本题考查函数图象的识别，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来进行判断，考查推理能力，属于中等题.

8.已知为锐角)，则（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

试题分析：.

考点：三角恒等变换.

9.宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，， 继续循环；结束输出.

点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.

10.将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，则第行从左向右的第个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

归纳出第行最后一个数的表达式，可求出该数阵第行最后一个数的值，再加上即为所求的值.

【详解】第行最后一个数为，第行最后一个数为，第行最后一个数为，

第行最后一个数为，

由上可知，第行最后一个数为，

所以，该数阵第行最后一个数的值为，

因此，第行从左向右的第个数为.

故选：A.

【点睛】本题考查数阵中的归纳推理，解题的关键就是推导出数阵中每一行最后一个数的规律，考查推理能力，属于中等题.

11.定义在上的偶函数满足：对总有，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意知，函数为偶函数，且在区间上为减函数，计算出、、的值，结合偶函数的性质与单调性得出、、的大小关系.

【详解】由题意知，函数为偶函数，且在区间上为减函数，

，，，

则，因此，.

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小，要注意将自变量置于同一单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

12.已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

设切点为，利用导数求出曲线在切点处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.

【详解】设在曲线上切点为，，则，

所以，曲线在点处的切线方程为，

将点的坐标代入切线方程得，即，

解得，，.

因此，过点可向引切线，有三条.

故选：C.

【点睛】本题考查过点引曲线的切线的条数，一般转化为切点个数来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分．)

13.函数的零点为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

解方程，即可得出函数的零点.

【详解】令，即，得，解得，

因此，函数的零点为.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

14.设函数则的值为________．

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用分段函数解析式，先求出的值，从而可得的值.

【详解】因为函数，

所以，

则，故答案为.

【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.

15.已知各项均为正数的等比数列，，，则 _________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用等比中项的性质得出，，，再利用等比中项的性质可得出，即可计算出的值.

【详解】由等比中项的性质得出，，，

易知，、、成等比数列，则、、成等比数列，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查等比数列中项的计算，灵活利用等比中项的性质，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.

16.已知函数，若且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为___________（把你认为正确的结论都填上）.

【答案】②③④

【解析】

【分析】

作出函数图象，并设，则直线与函数图象的四个交点的横坐标分别为、、、，可得出，再结合对称性与对数运算可对四个命题的正误进行判断.

【详解】如下图所示，设，由图象知.

则直线与函数图象的四个交点的横坐标分别为、、、，

二次函数的图象的对称轴为直线，则点、关于该直线对称，

所以，，命题①错误；

由图象知，，，由，得，

，即，解得，命题②正确；

由，可得，.

函数在区间上单调递增，则，又，

，命题③正确；

由图象知，，则，

函数在区间上单调递减，所以，，即.

则，命题④正确.

因此，正确命题的序号为②③④.

故答案为：②③④.

【点睛】本题考查函数零点和与积的范围有关的命题的判断，解题时要充分利用函数的对称性以及对数的运算来进行求解，考查函数思想的应用，属于中等题.

三、解答题(共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答．)

（一）必考题：共60分

17.的内角、、的对边分别为、、，设.

（1）求；

（2）当时，求其面积的最大值，并判断此时的形状.

【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时为等边三角形.

【解析】

【分析】

（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出，再结合角的取值范围可得出角的值；

（2）对利用余弦定理，利用基本不等式求出的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出，可判断出此时的形状.

【详解】（1），，，

由余弦定理得，，；

（2）由余弦定理和基本不等式得，

，当且仅当时，等号成立，

的面积.

此时，由于，，则是等边三角形.

【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.

18.某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于分为“成绩优良”.

（1）由以上统计数据填写下面列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？

（2）从甲、乙两班个样本中，成绩在分以下（不含分）的学生中任意选取人，求这人来自不同班级的概率.

附：，其中）

【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据茎叶图中的数据结合题中的信息完善列联表，计算出的观测值，然后比较的观测值与的大小，即可对题中结论的正误进行判断；

（2）将甲班成绩在分以下的个同学分别记为、、、，乙班成绩在分以下的各同学分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽取的人来自不同班级”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】（1）由题意可知，列联表如下：

，

因此，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；

（2）将甲班成绩在分以下的个同学分别记为、、、，乙班成绩在分以下的各同学分别记为、，

从这名同学中任意抽取人，所有的基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、，共种.

其中，事件“所抽取的人来自不同班级”所包含的基本事件有：、、、、、、、，共种.

因此，所抽取的人来自不同班级的概率为.

【点睛】本题考查独立性检验思想的基本应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率，解题的关键就是利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中等题.

19.设函数，已知和为的极值点.

（1）求和的值；

（2）讨论的单调性.

【答案】（1），；（2）在和上单调递增；在和上单调递减.

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，由和得出关于与的方程组，即可解出和的值；

（2）分别解出不等式和，即可得出函数的单调递增区间和递减区间.

【详解】（1），，

由题意得，解得；

（2）由（1）可得.

解不等式，解得或；

解不等式，解得或.

因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和.

【点睛】本题考查利用极值点求参数，同时也考查了利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，属于中等题.

20.已知数列为等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为，利用、求出的值，可求出数列的通项公式，再利用对数式化指数式可求出；

（2）求出数列的通项公式，利用定义判断数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出，可求出的取值范围，即可得出关于的不等式，解出即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

则，解得，

，，，

；

（2），，且，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

由于数列单调递增，，，

对任意，总有，，解得.

因此，实数取值范围是.

【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了等比数列前项和的计算，涉及对数的运算以及数列不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

21.已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明对一切，都有成立.

【答案】（1）的递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出函数的定义域和导数，然后分别解不等式和，可得出函数的递增区间和递减区间；

（2）要证，即证，构造函数，证明出，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可.

【详解】（1）函数的定义域为，且.

令，即，解得；令，即，解得.

因此，函数的递增区间是，递减区间是；

（2）要证，即证，构造函数，其中.

由（1）知，函数在处取得极大值，亦即最大值，即.

，.

令，得；令，得.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

则函数在处取得极小值，亦即最小值，即.

，所以，，因此，.

【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等等式，一般转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

(二)选考题：共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分

22.已知直线经过点P（1，1），倾斜角．

（1）写出直线的参数方程；

（2）设 与圆 相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

【答案】（1）（2）2

【解析】

【详解】（1）直线的参数方程为，即(t为参数)

（2）把直线代入

得

，则点到两点的距离之积为

23.函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）将代入函数的解析式，然后分、、三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式，即可得出该不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式求出函数的最小值为，由题意可得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，.

当时，，解得，此时；

当时，成立，此时；

当时，，解得，此时.

综上所述，不等式解集为；

（2）由于不等式上恒成立，则.

由绝对值三角不等式可得，

，即或，解得或.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，一般转化为函数的最值来处理，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.