2020届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则实数为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】D

【解析】根据并集的运算结果可得出实数的值.

【详解】

集合，，且，或.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用交并集的运算求参数，在处理有限集的计算时，要注意元素互异性这个特征，考查计算能力，属于基础题.

2．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】

，

因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.

3．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】

圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为，

所以，半径为的圆的内接正十二边形的面积为，

因此，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.

4．在二项式的展开式中，含的项的系数是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析：先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数.

详解：的展开项，

、令，可得，

∴．

故选．

点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

5．函数在处的切线如图所示，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】A

【解析】由切线经过坐标轴上的两点求出切线的斜率和切线方程,然后求出,即可得到的值.

【详解】

解:因为切线过和,所以,

所以切线方程为,取,则,所以,

所以.

故选:A.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义,考查了数形结合思想,属基础题.

6．已知等比数列是递增数列，，，则数列的前项和为（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】C

【解析】设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，并确定出等比数列的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列的前项和的值.

【详解】

设等比数列的公比为，由题意得，解得或，

由于等比数列是递增数列，则，，，且，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

因此，数列的前项和为.

故选：C.

【点睛】

本题考查等比数列的求和，根据题意求出等比数列的首项和公比是解题的关键，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据,求出,即可排除错误选项.

【详解】

解:因为,所以,排除ACD.

故选:B.

【点睛】

本题考查了根据函数解析式选择函数的图象,解题关键是特殊值的选取,属基础题.

8．已知向量， ，，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】直接用向量的夹角公式求出两向量的夹角即可.

【详解】

解:因为,,

所以,

因为,所以,

所以向量与的夹角为.

故选:C.

【点睛】

本题考查了向量夹角的求法和诱导公式,属基础题.

9．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】由程序框图可得， 时， ，继续循环； 时， ，继续循环； 时， ， 继续循环；结束输出.

点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.

10．定义在上的偶函数满足：任意，，有，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根据条件可知在上单调递减,然后结合的奇偶性比较函数值的大小即可.

【详解】

解:由任意,,有,

知在上单调递减,又为上的偶函数,

所以<<,

即.

故选:A.

【点睛】

本题考查了函数单调性的定义,函数的奇偶性和利用单调性比较函数值的大小,属基础题.

11．函数，其中为数列的前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先利用裂项相消法求出,再求出,进一步求出的值.

【详解】

解:因为,所以,

所以=.

由,

得,

所以.

故选:D.

【点睛】

本题考查了导数的运算和利用裂项相消法求数列的前项和,属中档题.

12．已知函数，若，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数是(   )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质可得，，数形结合求出,，进而可得结果.

【详解】

画出函数的大致图象如下图，

得出，，①错、②正确；

且，，

，

则，③正确；

因为，

所以④正确.故选C.

【点睛】

数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

二、填空题

13．已知随机变量服从正态分布，则___________.

【答案】

【解析】根据正态曲线的对称性,直接求解即可.

【详解】

解:因为随机变量服从正态分布,

所以正态曲线关于对称,所以.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了由正态曲线的对称性求概率,属基础题.

14．设函数，则函数的定义域为___________.

【答案】（-9，1）

【解析】先求出,然后根据对数函数的真数大于0,求出其值域.

【详解】

解:因为,所以.

由,得,所以,

所以函数的定义域为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了函数定义域的求法和解对数不等式,属基础题.

15．已知函数是定义域为的奇函数满足.若，则___________.

【答案】0

【解析】根据是定义域为的奇函数满足,得到和的周期,再结合,求出,,和的值,进一步得到答案.

【详解】

解:因为是定义域为的奇函数满足,

所以,,

则,所以的周期,

又,所以,,

令,则,所以,所以,

所以,

所以.

故答案为:0.

【点睛】

本题考查了函数奇偶性和周期性的应用,考查了转化思想和计算能力,属中档题.

16．对于函数（其中）：①若函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则；②若函数在上单调递增，则的范围为；③若，则在点处的切线方程为 ；④若，，则的最小值为；⑤若，则函数的图象向右平移个单位可以得到函数的图象.其中正确命题的序号有_______.（把你认为正确的序号都填上）

【答案】①④

【解析】①根据条件,可得,然后利用周期公式求出;②根据在上单调递增,可得,然后求出的范围;③当时,求出f(0)和f(x)的导函数,然后求出处的切线方程的斜率,再求出切线方程即可;④根据,直接利用整体法求出f(x)的值域,从而得到f(x)的最小值;⑤直接求出函数的图象向右平移个单位的解析式即可.

【详解】

解:①若函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为,则

,所以,所以,故①正确;

②当,则,

因为,所以若函数在上单调递增,则,

所以,又,所以,故②错误;

③当时,,则,

,所以切线的斜率,

所以在点处的切线方程为,故③错误;

④当时,,当时,,

所以当,所以,故④正确;

⑤当时,,若的图象向右平移个单位,

则,故⑤错误.

故答案为:①④.

【点睛】

本题考查了三角函数图象与性质,曲线切线方程的求法和三角函数的平移变换,考查了数学结合思想和转化思想,属中档题.

三、解答题

17．的内角、、的对边分别为、、，设.

（1）求；

（2）当时，求其面积的最大值，并判断此时的形状.

【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时为等边三角形.

【解析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出，再结合角的取值范围可得出角的值；

（2）对利用余弦定理，利用基本不等式求出的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出，可判断出此时的形状.

【详解】

（1），，，

由余弦定理得，，；

（2）由余弦定理和基本不等式得，

，当且仅当时，等号成立，

的面积.

此时，由于，，则是等边三角形.

【点睛】

本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.

18．某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.

（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？

（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为，求的分布列与数学期望.

附：（其中）

【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）分布列见解析，.

【解析】(1)根据茎叶图中的数据填写列联表,然后计算,再对照表得出结论;

(2)先确定甲班人数的所有可能取值,然后分别求其概率,再得到X的分布列和数学期望.

【详解】

解:(1)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示,

根据列联表中的数据,得,

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.

(2)甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生人数为6.

由题意可知X的取值分别为,,,则

；；.

∴的分布列为

其数学期望.

【点睛】

本题考查了独立性检验,离散随机变量的分布列和数学期望,考查了计算能力,属中档题.

19．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明对一切，都有成立.

【答案】（1）的递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析.

【解析】（1）求出函数的定义域和导数，然后分别解不等式和，可得出函数的递增区间和递减区间；

（2）要证，即证，构造函数，证明出，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可.

【详解】

（1）函数的定义域为，且.

令，即，解得；令，即，解得.

因此，函数的递增区间是，递减区间是；

（2）要证，即证，构造函数，其中.

由（1）知，函数在处取得极大值，亦即最大值，即.

，.

令，得；令，得.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

则函数在处取得极小值，亦即最小值，即.

，所以，，因此，.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等等式，一般转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

20．已知数列为等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设等差数列的公差为，利用、求出的值，可求出数列的通项公式，再利用对数式化指数式可求出；

（2）求出数列的通项公式，利用定义判断数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出，可求出的取值范围，即可得出关于的不等式，解出即可.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，

则，解得，

，，，

；

（2），，且，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

由于数列单调递增，，，

对任意，总有，，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查数列通项的求解，同时也考查了等比数列前项和的计算，涉及对数的运算以及数列不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

21．已知函数满足：.

（1）求的解析式；

（2）若，且当时，，求整数k的最大值.

【答案】（1）；（2）2.

【解析】(1)直接对f(x)求导,然后令x=1,求出,再令x=0,求出,从而得到f(x)的解析式;

(2)先求出g(x)的解析式,然后利用分离参数法求出k的范围,进一步得到整数k的最大值.

【详解】

解:(1)∵,

∴,

令得,,即,

令得, ,

∴函数的解析式为.

(2)由(1)有,则,

∴,

故当时,等价于①,

令,则,

令函数,易在上单调递增,

而,,所以在内存在唯一的零点,

故在内存在唯一的零点,设此零点为,则.

当时,；当时,.

∴在内的最小值为.又由可得

∴,∴,

∴恒成立,则整数的最大值为2.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,不等式恒成立问题,考查了转化思想和函数思想,属难题.

22．在平面直角坐标系中，圆的参数方程（为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）中，直线的方程为.

（1）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；

（2）若圆心到直线的距离等于2，求的值.

【答案】（1）圆的普通方程为；；（2）.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)消去参数可得圆的普通方程及直线的直角坐标方程分别为, ；

(Ⅱ)由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得

试题解析：

（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为.

由，得

.

所以直线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）依题意，圆心到直线的距离等于2，

即，

解得.

23．函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）将代入函数的解析式，然后分、、三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式，即可得出该不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式求出函数的最小值为，由题意可得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.

【详解】

（1）当时，.

当时，，解得，此时；

当时，成立，此时；

当时，，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为；

（2）由于不等式在上恒成立，则.

由绝对值三角不等式可得，

，即或，解得或.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，一般转化为函数的最值来处理，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.