2020届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟数学（文）试题（解析版）
展开2020届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，，若，则实数为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】根据并集的运算结果可得出实数的值.
【详解】
集合，，且，或.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用交并集的运算求参数，在处理有限集的计算时，要注意元素互异性这个特征，考查计算能力，属于基础题.
2．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】
，
因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
3．向量，满足，且，则与的夹角的大小为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：根据两个向量数量积的定义，求出与的夹角的余弦值，再根据两个向量夹角的范围，求出两个向量的夹角.
详解：,
又的范围为,
故选C.
点睛：本题主要考查两个向量数量积的定义，再根据三角函数值和两个向量夹角的范围求角，意在考查学生基本概念、基本知识掌握的准确度.
4．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为，
所以，半径为的圆的内接正十二边形的面积为，
因此，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
5．函数的单调减区间是
A． B．
C．， D．
【答案】A
【解析】【详解】
求解函数的导数可得，求0，由x>0，解得．所以x的取值范围为．
故选A.
6．已知等比数列是递增数列，，，则数列的前项和为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，并确定出等比数列的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列的前项和的值.
【详解】
设等比数列的公比为，由题意得，解得或，
由于等比数列是递增数列，则，，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，数列的前项和为.
故选：C.
【点睛】
本题考查等比数列的求和，根据题意求出等比数列的首项和公比是解题的关键，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
7．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】分析函数的奇偶性以及的符号来判断出函数的图象.
【详解】
函数的定义域为，关于原点对称，
且，该函数为偶函数，排除C、D选项.
又，排除A选项.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数图象的识别，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来进行判断，考查推理能力，属于中等题.
8．已知为锐角)，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：.
【考点】三角恒等变换.
9．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由程序框图可得， 时， ，继续循环； 时， ，继续循环； 时， ， 继续循环；结束输出.
点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，则第行从左向右的第个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】归纳出第行最后一个数的表达式，可求出该数阵第行最后一个数的值，再加上即为所求的值.
【详解】
第行最后一个数为，第行最后一个数为，第行最后一个数为，
第行最后一个数为，
由上可知，第行最后一个数为，
所以，该数阵第行最后一个数的值为，
因此，第行从左向右的第个数为.
故选：A.
【点睛】
本题考查数阵中的归纳推理，解题的关键就是推导出数阵中每一行最后一个数的规律，考查推理能力，属于中等题.
11．定义在上的偶函数满足：对总有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，函数为偶函数，且在区间上为减函数，计算出、、的值，结合偶函数的性质与单调性得出、、的大小关系.
【详解】
由题意知，函数为偶函数，且在区间上为减函数，
，，，
则，因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小，要注意将自变量置于同一单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点为，利用导数求出曲线在切点处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.
【详解】
设在曲线上的切点为，，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，即，
解得，，.
因此，过点可向引切线，有三条.
故选：C.
【点睛】
本题考查过点引曲线的切线的条数，一般转化为切点个数来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
二、填空题
13．函数的零点为___________.
【答案】
【解析】解方程，即可得出函数的零点.
【详解】
令，即，得，解得，
因此，函数的零点为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
14．设函数则的值为________．
【答案】
【解析】直接利用分段函数解析式，先求出的值，从而可得的值.
【详解】
因为函数，
所以，
则，故答案为.
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
15．已知各项均为正数的等比数列，，，则 _________.
【答案】
【解析】利用等比中项的性质得出，，，再利用等比中项的性质可得出，即可计算出的值.
【详解】
由等比中项的性质得出，，，
易知，、、成等比数列，则、、成等比数列，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比数列中项的计算，灵活利用等比中项的性质，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.
16．已知函数，若且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为___________（把你认为正确的结论都填上）.
【答案】②③④
【解析】作出函数图象，并设，则直线与函数图象的四个交点的横坐标分别为、、、，可得出，再结合对称性与对数运算可对四个命题的正误进行判断.
【详解】
如下图所示，设，由图象知.
则直线与函数图象的四个交点的横坐标分别为、、、，
二次函数的图象的对称轴为直线，则点、关于该直线对称，
所以，，命题①错误；
由图象知，，，由，得，
，即，解得，命题②正确；
由，可得，.
函数在区间上单调递增，则，又，
，命题③正确；
由图象知，，则，
函数在区间上单调递减，所以，，即.
则，命题④正确.
因此，正确命题的序号为②③④.
故答案为：②③④.
【点睛】
本题考查函数零点和与积的范围有关的命题的判断，解题时要充分利用函数的对称性以及对数的运算来进行求解，考查函数思想的应用，属于中等题.
三、解答题
17．的内角、、的对边分别为、、，设.
（1）求；
（2）当时，求其面积的最大值，并判断此时的形状.
【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时为等边三角形.
【解析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出，再结合角的取值范围可得出角的值；
（2）对利用余弦定理，利用基本不等式求出的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出，可判断出此时的形状.
【详解】
（1），，，
由余弦定理得，，；
（2）由余弦定理和基本不等式得，
，当且仅当时，等号成立，
的面积.
此时，由于，，则是等边三角形.
【点睛】
本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
18．某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于分为“成绩优良”.
（1）由以上统计数据填写下面列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？
| 甲班 | 乙班 | 总计 |
成绩优良 |
|
|
|
成绩不优良 |
|
|
|
总计 |
|
|
|
（2）从甲、乙两班个样本中，成绩在分以下（不含分）的学生中任意选取人，求这人来自不同班级的概率.
附：，其中）
【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）.
【解析】（1）根据茎叶图中的数据结合题中的信息完善列联表，计算出的观测值，然后比较的观测值与的大小，即可对题中结论的正误进行判断；
（2）将甲班成绩在分以下的个同学分别记为、、、，乙班成绩在分以下的各同学分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽取的人来自不同班级”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
（1）由题意可知，列联表如下：
| 甲班 | 乙班 | 总计 |
成绩优良 | |||
成绩不优良 | |||
总计 |
，
因此，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；
（2）将甲班成绩在分以下的个同学分别记为、、、，乙班成绩在分以下的各同学分别记为、，
从这名同学中任意抽取人，所有的基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、，共种.
其中，事件“所抽取的人来自不同班级”所包含的基本事件有：、、、、、、、，共种.
因此，所抽取的人来自不同班级的概率为.
【点睛】
本题考查独立性检验思想的基本应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率，解题的关键就是利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中等题.
19．设函数，已知和为的极值点.
（1）求和的值；
（2）讨论的单调性.
【答案】（1），；（2）在和上单调递增；在和上单调递减.
【解析】（1）求出函数的导数，由和得出关于与的方程组，即可解出和的值；
（2）分别解出不等式和，即可得出函数的单调递增区间和递减区间.
【详解】
（1），，
由题意得，解得；
（2）由（1）可得.
解不等式，解得或；
解不等式，解得或.
因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和.
【点睛】
本题考查利用极值点求参数，同时也考查了利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，属于中等题.
20．已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，利用、求出的值，可求出数列的通项公式，再利用对数式化指数式可求出；
（2）求出数列的通项公式，利用定义判断数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出，可求出的取值范围，即可得出关于的不等式，解出即可.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，，，
；
（2），，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
由于数列单调递增，，，
对任意，总有，，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查数列通项的求解，同时也考查了等比数列前项和的计算，涉及对数的运算以及数列不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
21．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明对一切，都有成立.
【答案】（1）的递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析.
【解析】（1）求出函数的定义域和导数，然后分别解不等式和，可得出函数的递增区间和递减区间；
（2）要证，即证，构造函数，证明出，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可.
【详解】
（1）函数的定义域为，且.
令，即，解得；令，即，解得.
因此，函数的递增区间是，递减区间是；
（2）要证，即证，构造函数，其中.
由（1）知，函数在处取得极大值，亦即最大值，即.
，.
令，得；令，得.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
则函数在处取得极小值，亦即最小值，即.
，所以，，因此，.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等等式，一般转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
22．已知直线经过点P（1，1），倾斜角．
（1）写出直线的参数方程；
（2）设 与圆 相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
【答案】（1）（2）2
【解析】【详解】
（1）直线的参数方程为，即(t为参数)
（2）把直线代入
得
，则点到两点的距离之积为
23．函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）将代入函数的解析式，然后分、、三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式，即可得出该不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式求出函数的最小值为，由题意可得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，.
当时，，解得，此时；
当时，成立，此时；
当时，，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
（2）由于不等式在上恒成立，则.
由绝对值三角不等式可得，
，即或，解得或.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，一般转化为函数的最值来处理，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.
