山西省临汾2020届高三下学期模拟考试（1）数学（理）
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理科数学
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合,，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则在复平面内，复数所对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．随着二胎政策的开放，越来越多中年女性选择放下手中的工作，为二胎做准备.某公司为了使广大中年女性安心备孕，且不影响公司的正常效益，对公司所有中年女性进行生育倾向调查.已知该公司共有6名中年女性，若每名中年女性倾向于生二胎的概率为，且各名中年女性之间不相互影响，则恰有4位中年女性倾向生二胎的概率为 （ ）
A． B．
C． D．
4．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则 （ ）
A． B．
C． D．
7．执行下面的程序框图，若输出的S的值为440，则判断框中可以填（ ）
A． B． C． D．
8．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为 （ ）
A． B．
C． D．
9．已知点是焦点为的抛物线上的一点，且，点是直线与的交点，若，则抛物线的方程为 （ ）
A． B．或
C． D．或
10．三棱锥中，底面为非钝角三角形，其中，
，则三棱锥的外接球体积为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上的点，且，若的面积为16，且双曲线的离心率相同，则双曲线的实轴长为 （ ）
A．4 B．8
C．16 D．32
12．已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．的展开式中，含项的系数为 .
14．已知实数满足，则的取值范围为 .
15．已知正项数列满足，且，其中为数列的前项和，若实数使得不等式恒成立，则实数的最大值是 .
16．已知函数，若方程有四个不等实根，则实数的取值范围为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）如图，中，角成等差数列，，，为的中点.
（1）若，求；
（2）若，记，且，求的值．
18．（12分）随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10~60岁间的位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下所示.
（1）若被调查的人员年龄在20~30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；
（2）若按分层抽样的方法从年龄在以及内的市民中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行调研，记随机抽取的3人中，年龄在内的人数为，求的分布列以及数学期望.
19．（12分）已知四棱柱中，平面，底面
为菱形，,,.
（1）若面，求的值.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）已知椭圆过点.椭圆的右顶点为，为椭圆上关于原点对称的两点，且不与椭圆的顶点重合.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）连接分别交轴于两点，若，满足，求的值.
21．（12分）已知函数.
（1）若，证明：曲线在处的切线与直线垂直；
（2）若，当时，证明：.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为；曲线：，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线的参数方程，以及直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求的值.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
设函数（其中）.
（1）解不等式：；
（2）若，解不等式.
理科数学答案与解析
1．【答案】D【解析】依题意，,，故，故，故选D.
2．【答案】A【解析】依题意，，则在复平面内，复数所对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A.
3．【答案】C【解析】依题意，所求概率，故选C.
4．【答案】B【解析】依题意，记，
则，又
，两式相加可得
，
则，故选B.
5．【答案】A【解析】依题意，，故，故，故选A.
6．【答案】D【解析】依题意，
，故，则，故选D.
7．【答案】C【解析】若判断框中填写“”，运行该程序，第一次，；第二次，；第三次，；第四次，，第五次，，退出循环，此时输出S的值为440，故选C.
8．【答案】D【解析】依题意，该几何体为长方体里面挖掉了一个圆锥，故所求表面积，故选D.
9．【答案】B【解析】依题意，；设，联立，解得，故，则；因为，
故，解得，且；
又由得，，解得或，
故抛物线的方程为或，故选B.
10．【答案】C【解析】因为，为非钝角三角形，故，由余弦定理得，解得，故为直角三角形，其中；故，故，此时，注意到球心即为线段AC的中点O（此时点O到的距离均为4），故所求球体的体积，故选C.
11．【解析】C【解析】依题意，不妨设在上；因为，故为点到直线的距离，故；因为为直角三角形，，
故，故，故 ①，因为双曲线的离心率，解得 ②，联立①②，解得，故双曲线的实轴长为16，故选C.
12．【答案】A【解析】依题意，，，即；要求的解集，即求
的解集；即求的解集；令，故，故在上单调递增，注意到，故当时，，即，即的解集为，故选A.
13．【答案】435【解析】依题意，，故含项的系数为.
14．【答案】【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，，即，故的取值范围为.
15．【答案】9【解析】依题意，数列为等差数列，因为，
即，即，因为，
即，因为在时单调递增，
其最小值为9，所以，故实数的最大值为9.
16．【答案】【解析】有四个不等实根，即，，且，则解得，即实数的取值范围为.
17．【解析】
（1）因为角成等差数列，所以；，即，
又因为，，所以；在中，由余弦定理得，
，即，
解得.（6分）
（2）依题意，；因为，所以．
在中，，在中，，
由正弦定理得，，即，
化简得，于是．
因为，所以，
所以，解得，故．（12分）
18．【解析】
（1）依题意，所求人数为.（5分）
（2）依题意，年龄在以内及以内的人数分别抽取6人和4人；
故的可能取值为0,1,2,3；
，，，；
故的分布列为：
0 | 1 | 2 | 3 | |
故.（12分）
19．【解析】
（1）如图所示，取中点，连接；
，，又面，
分别以为轴正方向建立空间直角
坐标系如图所示.（4分）
，
，
设平面的法向量，则由可得，
不妨令，则解得，为平面的一个法向量；
，则，
面，，即，解得.（9分）
（2）因为，，
故所求线面角的正弦值为（12分）
20．【解析】
（1）依题意，解得，故椭圆的标准方程为.（4分）
（2）依题意，，显然直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，
联立方程组，解得，；
设，又直线的斜率，直线的斜率，
因为三点共线，所以，解得，同理，可得，
依题意，直线的斜率，直线的斜率，
所以，故有，即，
整理，得，解得或.（12分）
21．【解析】
（1）依题意，，故；
则，而直线的斜率为，故两条直线的斜率之积为；
即曲线在处的切线与直线垂直.（4分）
（2）要证，即证，即证；
当时，令，
求导可知在上单调递增，在上单调递减，令；
当时，，所以；
当时，函数单调递减，所以其最小值为，
最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，
其中，令，，令，
则；因为，所以，单调递增；
因为，，故存在，使得，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，
所以时，；即，也即，
综上所述，.（12分）
22．【解析】
（1）依题意，曲线的参数方程为（为参数），
直线，故极坐标方程为，即.（5分）
（2）依题意，可设直线的参数方程为（为参数），
代入并化简，得，；
设两点对应的参数分别为，则，
所以，所以．（10分）
23．【解析】
（1）依题意，，故或，
即或，
所以原不等式的解集为.（4分）
（2）依题意，，
当时，，解得，无解；
当时，，解得，故；
当时，，解得，即；
综上所述，当时，不等式的解集为.（10分）
