山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试（3）数学（理）

理科数学

测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知函数，集合,，则                                                   （     ）

A． B． 

C． D．

2．设是虚数单位，若复数，则                （     ）

A． B． C． D．

3．命题“,”的否定是                         （     ）

A．, B．,

C．, D．,

4．已知,，若，则向量在向量方向的投影为                                                        （     ）

A． B． C． D．

5．在中，“”是“”的             （     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为     （     ）

A． B．6 C． D．

7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为                                        （     ）

A． B． 

C． D．

8．函数的单调递增区间是         （     ）

A． B． C． D．

9．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

10．已知函数的零点为，若存在实数使且，则实数的取值范围是                          （     ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线(a＞0,b＞0)满足以下条件：①双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合；②双曲线与过点的幂函数的图象交于点，且该幂函数在点处的切线过点关于原点的对称点．则双曲线的离心率是                                 （     ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为                                                （     ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）

13．的展开式中的系数为              ．

14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为，则.已知点是边上一点，，则的面积为              ．

15．过直线上一动点向圆引两条切线，切点为，若，则四边形的最小面积的概率为              ．

16．三棱锥中，点是斜边上一点．给出下列四个命题：

①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；

②若，平面，则三棱锥的外接球体积为；

③若，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；

④若，平面，则直线与平面所成的最大角为．

其中正确命题的序号是              ．(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（12分）已知等差数列的前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求．

18．（12分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数(本)，并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．

如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于90本，则称该学生为“书虫”．

（1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？

附：

（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为，求的分布列和数学期望．

19．（12分）如图，己知边长为2的正三角形所在的平面与菱形所在的平面垂直，且，点是的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于两点，的周长为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足.”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数.

（1）求函数在处的切线方程；

（2）若不等式对任意的，都成立，求实数的取值范围.

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数).以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）写出直线的普通方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；

（2）设直线与圆相交于两点，求．

23．（10分）选修4—5不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

理科数学答案与解析

1．【答案】C【解析】,，．故选C．

2．【答案】A【解析】复数,,，

则，故选A．

3．【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题“,”的否定是：,．故选D．

4．【答案】B【解析】,,，

向量在向量方向的投影为．故选B．

5．【答案】D【解析】由正弦定理及大边对大角可得：，而函数在上不是单调函数，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.

6．【答案】D【解析】执行程序框图，可得S=0，n=2，满足条件，，n＝4，满足条件，，n=6，满足条件，，n＝8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故选D．

7．【答案】C【解析】由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，截去的底面弧的圆心角为，底面剩余部分的面积为，故几何体的体积为：，故选C.

8．【答案】D【解析】因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间为，选D.

9．【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：

其中，直线过定点，

当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；

当时，直线的斜率，不等式表示直线下方的区域，不满足题意；

当时，直线的斜率，不等式表示直线上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点，

使不等式成立，只需直线的斜率，

解得．综上可得实数的取值范围为，故选B.

10．【答案】D【解析】因为，且，所以函数单调递增且有惟一的零点为，所以，，问题转化为：使方程在区间[0,2]上有解，即

在区间[0,2]上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间[0,2]的值域为，，故选D．

11．【答案】B【解析】依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是，故选B．

12．【答案】D【解析】函数在内都有两个不同的零点，等价于方程在内都有两个不同的根．

，所以当时，，是增函数；

当时，，是减函数．因此.

设，，

若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解．设其解为，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数．

因为，方程在内有两个不同的根，所以，且．由，即，解得．

由，即，所以．

因为，所以，代入，得.

设，，所以在上是增函数，

而，由可得，得．

由在上是增函数，得．综上所述，故选D.

13．【答案】3【解析】的展开式中的系数为.

14．【答案】【解析】，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.

15．【答案】【解析】由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积，若四边形的最小面积，所以的最小值为，而，即的最小值，此时最小为圆心到直线的距离，此时，因为，所以，所以的概率为．

16．【答案】①②③【解析】对于①，因为平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四个面都是直角三角形，①正确；对于②，若，平面，三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，，，体积为，②正确；对于③，设内心是O，则平面，连接OC，则有，又内切圆半径，所以，，故，三棱锥的体积为，③正确；对于④，若，平面，则直线与平面所成的最大角时，点与点重合，在中，，，即直线与平面所成的最大角为，④不正确，故答案为①②③．

17．【解析】

（1）设数列的公差为d，，，

，，

，.（6分）

（2）由（1）可知，

数列的前项和为，

，

两式作差，得

，

.（12分）

18．【解析】

（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12,38，女生书虫、非书虫的人数分别为4,46，故得如下2×2列联表：

根据列联表中数据可得：

，（4分）

由于4.762＞3.841，

所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．（6分）

（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，的所有可能取值为0，1，2，

则,,，（9分）

故的分布列为

的数学期望为.（12分）

19．【解析】

（1）证明：取的中点，连结，由题意知．

又因为平面平面，所以平面．（2分）

因为平面，所以,

因为四边形为菱形，所以，

又因为，所以，所以平面.（4分）

又平面，所以．（6分）

（2）连结，由题意知，.

又因为平面平面，所以平面，

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则,，

.（8分）

设平面的一个法向量为，则，即，

令，所以.（10分）

又由（1）可知平面，所以平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，则.（12分）

20．【解析】

（1）根据椭圆的定义，可得，，

的周长为，

，得，椭圆的方程为，

将代入椭圆的方程可得，所以椭圆的方程为.（5分）

（2）由（1）可知，得，

依题意可知直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，

由消去，整理得，

设，则，，

不妨设，，

同理，（9分）

所以

即，所以存在实数，

使得成立.（12分）

21．【解析】

（1）设，则，

当时，，，

函数在处的切线方程为，即.（4分）

（2）根据题意可得对任意的，都成立，

当时，不等式即为，显然成立；（5分）

当时，设，则不等式恒成立，

即为不等式恒成立，

(当且仅当时取等号)，由题意可得，即有对恒成立，

令，则，

令，即有，令，则，

当时，，在上单调递增，

又，有且仅有一个根，（9分）

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

当时，取得最小值，为，．

实数的取值范围.（12分）

22．【解析】

（1）将直线l的参数方程（t为参数）消去参数，

可得直线l的普通方程为，即．

由，得，所以,

得，即．（5分）

（2）由得，

将其代入，

得,,，

．（10分）

23．【解析】

（1）)函数=，

当时，不等式即，求得，；

当时，不等式即，求得，；

当时，不等式即，求得，．

综上所述，不等式的解集为或．（5分）

（2）当时,

不等式恒成立，，

或，解得或，

实数的取值范围为.（10分）