山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试（2）数学（理）
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理科数学
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则（ ）
A． B． C．5 D．3
2．已知全集为，集合,，
则 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知夹角为的向量满足，且，则向量的关系是( )
A．互相垂直 B．方向相同 C．方向相反 D．成角
5．公差不为零的等差数列中，成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
7．已知满足，则 （ ）
A． B． C．3 D．
8．运行如图所示的程序算法，若输入的值为20，则输出的结果为（ ）
A．20 B．10 C．0 D．
9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有4人，第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访，则“第一类”的人数多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有 （ ）
A．3840 B．5040 C．6020 D．7200
10．若不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，,
,的面积为，则该双曲线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，函数，
若方程恰好有4个实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数是确定的奇数(大于1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，称之为“由生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 .
14．已知抛物线的焦点坐标为，则直线与抛物线围成的封闭图形的面积为 .
15．已知的最大值为，则的最小值
为 .
16．设数列的前项和为，已知对于任意正整数，都有，若存在正整数，使得，则实数的取值范围
是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）的内角的对边分别为，
若，且为锐角．
（1）求的值；
（2）当取得最小值时，求的值．
18．(12分)如图，是正方形，平面，平面，
,．
（1）求证:；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
19．(12分)2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：
若根据往年防汛经验，每小时降雨量在时，要保持二级警戒，每小时降雨量在时，要保持一级警戒.
（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量；
（2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且在椭圆上运动，当点恰好在直线l:上时，
的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）作与平行的直线，与椭圆交于两点，且线段的中点为，若的斜率分别为，求的取值范围.
21．（12分）已知函数.
（1）若在处的切线与直线垂直，求的极值；
（2）若函数的图象恒在直线的下方.
①求实数的取值范围；
②求证:对任意正整数，都有.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，以轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为常数，且），直线与曲线交于两点.
（1）若，求实数的值；
（2）若点的直角坐标为，且，求实数的取值范围.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知函数(其中m为常数).
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）求证：对任意实数恒成立.
理科数学答案与解析
1．【答案】C【解析】，则，故.
2．【答案】D【解析】由条件可得，则，而,
故.
3．【答案】A【解析】当时，成立；当时，由，故，综上可知，实数的取值范围是.
4．【答案】C【解析】由可得，即，
即，所以，即，所以方向相反.
5．【答案】B【解析】设的公差为，由成等比数列可得，
即，即，故.
6．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为：.
7．【答案】B【解析】由可得，即，平方可得，即，故.
8．【答案】B【解析】该框图的运行结果是：
.
9．【答案】B【解析】“第一类”抽取3人的采访顺序有种；“第一类”抽取4人的采访顺序有种，故不同的采访顺序有.
10．【答案】D【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示.
图中点，故阴影部分的面积为
，解之得,，
设点,，则m的几何意义是点与点
连线的斜率.而,，由图可知，或，
故的取值范围是.
11．【答案】C【解析】由为的中点，所以，且，故，
，故，设双曲线的焦距为2c，在中，
由余弦定理可得
,，
的面积为，
，双曲线的方程为.
12．【答案】D【解析】当时，，
则，由可得或
（舍去）.当时，，当时，
，故在上单调递增，在
上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数
与曲线的图象如图所示.
由图可知，若函数与恰好有4个公共点，则，即，解之得.
13．【答案】145【解析】由，而，则这组勾股数中的“弦数”为145.
14．【答案】24【解析】由抛物线的焦点坐标可得，故抛物线方程为，把代入抛物线方程可得或，故直线与抛物线围成的封闭图形的面积为.
15．【答案】17【解析】，最大值为，故，整理可得，则
,
当且仅当时，取得等号，故的最小值为17.
16．【答案】【解析】由 ① 可得 ②
由②－①可得，即，
由可得,，
所以,是首项为1，公比为的等比数列，所以，，
即，所以，，设，
则，当，即时，递增，
当，即时，递减，故的最大值为.
故，故实数m的取值范围是.
17．【解析】
（1）由及正弦定理可得
，即，
由可得，而是锐角，所以.（5分）
（2）由余弦定理可得，
则，
当且仅当时，取得最小值.（9分）
此时，所以，
.（12分）
18．【解析】
（1）是正方形，,平面,，
而平面,平面，
又平面,.（6分）
（2）如图，以为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设，则,.则，
,,.
设平面和平面的法向量分别为.
由条件可得，即，令，故.
同理可得.
由条件可得，
即，解之得或(舍去)..（12分）
19．【解析】
（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这100小时的平均降雨量为：
0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25.（3分）
（2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3,
则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.所以，抽取的这10个小时中，
属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.（6分）
从这10小时中抽取3小时，用表示一级警戒的小时数，的取值可能为0,1,2,3.
则,,,.
所以，的分布列为：
0 | 1 | 2 | 3 | |
则的期望值为：（小时）.（12分）
20．【解析】
（1）由可得,.
根据对称性，不妨设点在第一象限，则点的坐标为，
设椭圆的焦距为2c，由条件可得，即，
由椭圆的离心率可得，所以，,，所以，,，
，解之得，故.故椭圆的方程为.（6分）
（2）设直线的方程为.由可得，
由条件可得，即，所以，，或.
设，则.
则,.则，
.
当时，，且在和上的取值范围相同，
故只需求在上的取值范围.
而在和上随的增大而增大.
的取值范围是.（12分）
21．【解析】
（1）由可得，
由条件可得，即.
则,，
令可得，当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，无极小值.（4分）
（2）①由条件可知：只需，即在上恒成立.
即，而,,恒成立.
令，则，令可得.
当时，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为,，即实数的取值范围是.（8分）
②由①可知,时，，即对任意的恒成立.
令，则.，
即,.（12分）
22．【解析】
（1）曲线的极坐标方程可化为，
化为直角坐标系下的普通方程为：，即.
直线的普通方程为：，而点到直线的距离为，
由条件可得，即，结合可得.（5分）
（2）显然点在直线上,把代入并整理可得
，设点对应的参数分别为.
则，解之得或.
则，解之得或.
而,实数m的取值范围是.（10分）
23．【解析】
（1）由条件可知，
①当时，，解之得，所以，；
②当时，，恒成立，所以，；
③当时，，解之得，所以，.
综上可知，实数m的取值范围是．（5分）
（2）,
，而，
对任意实数恒成立.（10分）
