四川省宜宾市第四中学2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题
展开2020年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则
A． B． C． D．
3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为
A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元
4．等差数列的前项的和等于前项的和，若，则
A． B． C． D．
5．将三个数，，从小到大排列得
A． B． C． D．
6．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于函数以下说法正确的是
A．最大值为1，图象关于直线对称 B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数 D．周期为，图象关于点对称
7．已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；②若，，则；
③若是异面直线，，，，，则；
④若不平行，则与不可能垂直于同一平面.，其中为真命题的是
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
8．岳阳高铁站进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（ ）种
A．24 B．36 C．42 D．60
9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩
10．在正方体中，点为线段的中点，设点在直线上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知直线与椭圆交于两点，且（其中为坐标原点），若椭圆的离心率满足，则椭圆长轴的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若实数满足约束条件，则的最大值为__________.
14．已知随机变量，且，则______.
15．已知，则的值为____________.
16．在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为____.
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
18．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D、E分别是AC、BC的中点，F在SE上，且SF＝2FE.
（Ⅰ）求证：平面SBC⊥平面SAE
（Ⅱ）若G为DE中点，求二面角G﹣AF﹣E的大小.
19．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数.
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，，为椭圆上两点，圆.
（Ⅰ）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；
（Ⅱ）若圆的半径为2，点，满足，求直线被圆截得弦长的最大值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为．
（Ⅰ）求直线l及曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，，且的解集为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求证
2020年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试
理科数学参考答案
1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 9．A 10．A 11．A 12．A
13． 14． 15． 16．
17．解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，
所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，
则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”， 则
因此，至少有一人是“高个子”的概率是
（Ⅱ）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为．
， ，
，．
因此，X的分布列如下：
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
所以X的数学期望.
18．（1）∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC，又∵AC＝AB，且点E是BC的中点，
∴BC⊥AE，∵SA∩AE＝A，∴BC⊥底面SAE，∵BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAE．
（2）以A点为坐标原点，分别以AC，AB，AS为x，y，z轴建立空间坐标系O﹣xyz，
则A（0，0，0），S（0，0，2），E（1，1，0），G（1，，0），C（2，0，0），B（0，2，0），
由SF＝2FE得F（，，），∴＝（1，1，0），＝（，，），＝（1，，0），＝（2，﹣2，0）.
设平面AFG的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝2，得到x＝﹣1，z＝﹣1，
即＝（﹣1，2，﹣1），设平面AFE的法向量为，
由（1）知为平面AES的一个法向量，＝＝（2，﹣2，0），
∴cosα＝＝＝，∵二面角G﹣AF﹣E的平面角
为锐角，∴二面角G﹣AF﹣E的大小为.
19：（1）因为
，
由，得，
所以的单调递减区间为.
（2）由题意，，
原不等式等价于，即恒成立，
令（）
由，所以时，的最大值为，因此.
20．解：（Ⅰ）因为，
①当时，，所以在上是增函数，无最小值；
②当时，又得，由得
∴在上是减函数，在上是增函数，
若，则在上是减函数，则；
若，则在上是减函数，在上是增函数，∴
综上：当时，的最小值为； 当时，的最小值为
（Ⅱ）由得
令，则，由得，由得，所以在上是减函数，在上是增函数，
且，且，当时，，
所以，当时，无有零点；当或时，有1个零点；
当时，有2个零点.
21．解：（1）因为椭圆的方程为，所以，，因为轴，所以，
根据对称性，可取， 则直线的方程为，即.
因为直线与圆相切，得，所以圆的方程为 .
（2）圆的半径为2，可得圆的方程为.
①当轴时，，所以，得，
此时得直线被圆截得的弦长为.
②当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
首先由，得，
即，所以（*）.
联立，消去得，
在时，，代入（*）式，得，
由于圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.综上，因为，
所以直线被圆截得的弦长的最大值为.
22．（1）消去直线l参数方程中的t，得，
由，得直线l的极坐标方程为，故．
由点Q在OP的延长线上，且，得，设，则，
由点P是曲线上的动点，可得，即，所以的极坐标方程为．
（2）因为直线l及曲线的极坐标方程分别为，，
所以，，
所以，
所以当时，取得最大值，为．
23．，，故，由题意可得的解集为，即的解集为，故．
（2）由，，，且，∴
，
当且仅当时，等号成立．所以.
