四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题
展开2020年春四川省叙州区第二中学高三三诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题，则为
A． B．
C． D．
4．对于是任意非零实数，且，又，则有
A． B． C． D．
5．已知数列为等差数列，且，则的值为
A． B．45 C． D．
6．若直线与平行，则与间的距离为
A． B． C． D．
7．函数，的零点个数有
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．．设是不同的直线，是不同的平面,下列四个命题中，正确的是
A．若,则 B．若则
C．若则 D．若则
9．已知函数，则下列结论错误的是
A．的一个周期为 B．的图像关于点对称
C．的图像关于直线对称 D．在区间的值域为
10．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是
A． B． C． D．
11．已知定义在上的函数，若是奇函数， 是偶函数，当时，，则
A． B． C．0 D．
12．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F作斜率为的直线l与C及其准线分别相交于A，B，D三点，则的值为
A．2或 B．3或 C．1 D．4或
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知变量，且，，则__________.
14．若实数，满足不等式组，则的最大值为____________.
15．若，，则的值为__________．
16．四棱锥中，底面为矩形，，，且，当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_________.
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且.
（I）求角的值；
（II）若，且为锐角三角形，求的取值范围.
18．（12分）槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解，两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，经他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.
（I）你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？
（II）在被抽取的10名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中随机抽取3名学生，求抽到班学生人数的分布列和数学期望.
19．（12分）如图，四棱锥中，侧棱垂直于底面，，，为的中点，平行于，平行于面，.
(I)求的长；
(II)求二面角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长半径的圆与直线相切．
（I）求与；
（II）设该椭圆的左、右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与轴垂直，交与点．求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程，并指明曲线类型．
21．（12分）已知函数．
（I）当时，判断函数的单调性；
（II）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中, 直线经过点,倾斜角．
（I）写出曲线直角坐标方程和直线的参数方程；
（II）设与曲线相交于两点, 求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知．
（I）求不等式的解集；
（II）设为正实数，且，求证：.
2020年春四川省叙州区第二中学高三三诊模拟考试
理科数学参考答案
1．A 2．D 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．B 9．D 10．C 11．A 12．D
13．. 14．5 15． 16．
17．（1）由题意知，∴，
由余弦定理可知，，
又∵，∴.
（2）由正弦定理可知，，即
∴
，
又∵为锐角三角形，∴，即，
则，所以，综上的取值范围为.
18．（1）班样本数据的平均值为，
由此估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17颗，
班样本数据的平均值为，
由此估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19颗.
故估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多
（2）∵平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中，班有2人，班有3人，共有5人，
∴的可能取值为1，2，3，
，，，
∴的分布列为：
1 | 2 | 3 | |
∴.
19.解：(1)取的中点，连接、，
因为平行于，平行于，所以平行于，
所以四点共面，
因为平行于面，面与面交与，所以平行于，
所以为平行四边形.
所以，.
(2取中点，则垂直于，因为平行于，所以垂直于，于是以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由垂直于，垂直于知面法向量为，
通过计算得面的法向量为.
经判断知二面角为钝角，于是其余弦为.
20．解：（1），，．
（2），两点分别为，，由题意可设
那么线段中点为，设是所求轨迹上的任意点
由于，即，所以．又因为，消参得轨迹方程为.该曲线为抛物线（除掉原点）．
21．解：（1）时，，故，
在上单调递增．
（2）由题意可知有两解，设直线与相切，切点坐标为，
则，解得，，即．
∴实数的取值范围是．
不妨设，则，
两式相加得：，两式相减得：，
，故，
要证，只需证，即证，
令，故只需证在恒成立即可．令，
则，∴在上单调递增，
，即在恒成立．．
22．（1）曲线化为，再化为直角坐标方程为，化为标准方程为，直线的参数方程为（为参数）．
（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得，
，则，，所以．
23．（1）不等式等价于不等式组或或，
所以不等式的解集为；
（2）证明：因为，
所以，
因为为正实数，所以由基本不等式（当且仅当时等号成立），
同理，所以，
所以，
所以.
