四川省泸县第四中学2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题
展开2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，则满足的集合的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
3．若实数满足则的最小值是
A． B． C． D．
4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
5．定义运算，则函数的大致图象是
A．B．C．D．
6．已知，且是第四象限角，则的值是
A． B． C． D．
7．已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．
A． B． C． D．
9．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
10．函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最大值为
A． B． C． D．
11．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
12．已知，则，不可能满足的关系是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，则在方向上的投影为___________.
14．学校艺术节对同一类的，，，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“，两项作品未获得一等奖”； 丁说：“作品获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.
15．若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点，与的一个交点为，若，则____．
16．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，现有如下四个结论：；平面；三棱锥的体积为定值；异面直线所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考
题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）在中，，，.
（I）求角 （II）设为的中点，求中线的长.
18．（12分）在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．
| 女生 | 男生 | 总计 |
获奖 |
|
| |
不获奖 |
|
|
|
总计 |
|
| |
|
|
|
|
附表及公式：
其中,．
19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，，，， ，为的中点.
（I）平面平面
（II）在线段上是否存在点，使二面角的大小
为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
20．（12分）已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足
（I）求动点的轨迹方程；
（II）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.
21．（12分）已知函数，，且点处取得极值．
（Ⅰ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；
（Ⅱ）证明：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（是参数）．
（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值．
（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，.
（Ⅰ）若不等式对恒成立，求正实数的取值范围；
（Ⅱ）设实数为（Ⅰ）中的最大值.若正实数，，满足，求的最小值.
2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试
理科数学参考答案
1．A 2．A 3．B 4．B 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B 11．A12．C
13．1 14．B 15． 16．
17．（1）∵，∴.
由正弦定理，即.
得，∵，∴为钝角，为锐角，故.
（2）∵∴.
由正弦定理得，即得.
在中由余弦定理得：，∴.
18．解：(Ⅰ),
．
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,
列联表如下：
| 女生 | 男生 | 总计 |
获奖 | |||
不获奖 | |||
总计 |
因为,
所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”
19．（1）证明：由题意知，四边形为矩形，所以，
又∵四边形为菱形，为中点，
所以，，，所以，所以，
又，所以平面，又平面，
所以平面平面
（2）假设线段上存在点，使二面角的大小为，在上取一点，连接，.
由于四边形是菱形，且，是的中点，可得.
又四边形是矩形，平面平面，∴平面，
所以建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，
则，，设平面的法向量为，
则，∴，令，则，
又平面的法向量，所以，解得，
所以在线段上存在点，使二面角的大小为，此时.
20．解：（1） 设，由题意得：，由，
可得点是的中点，故，所以，又因为点在圆上，
所以得，故动点的轨迹方程为.
（2）设，则，且，当时，，此时；当时，因为,即故，，
，①，
代入①
设 因为恒成立，在上是减函数，
当时有最小值，即,综上：的最小值为
21．解：（Ⅰ）∵， ∴
∵函数在点处取得极值，
∴，即当时，∴，则得．经检验符合题意 2分
∵，∴， ∴．
令， 则．
∴当时，随的变化情况表：
1 | （1，2） | 2 | （2，3） | 3 | |
+ | 0 | - | |||
↗ | 极大值 | ↘ |
计算得：，，，
所以的取值范围为． 6分
（Ⅱ）证明：令，
则，
令，则，
函数在递增，在上的零点最多一个
又，，存在唯一的使得， 9分
且当时，；当时，．
即当时，；当时，．
在递减，在递增，从而．
由得即，两边取对数得：，，
，从而证得． 12分
考点：1．函数的极值与最值；2．导数的应用；3．函数的单调性．
22．解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为：
直线的直角坐标方程为：
圆心到直线l的距离（弦心距）圆心到直线的距离为 ：
或 5分
（Ⅱ）曲线的方程可化为，其参数方程为
为曲线上任意一点，
的取值范围是 10分
23．（1），当且仅当时等号成立，
，解得，正实数的取值范围为.
（2）由（1）知，，即.
，，
，
当且仅当时取得最小值为8.
