四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题
展开2020年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
A． B． C． D．
2．下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是
A．2 B． C． D．
3．命题“，”的否定是
A． B．
C． D．
4．已知等差数列的前项和为，，若，则
A．10 B．11 C．12 D．13
5．猜商品的价格游戏， 观众甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众甲：主持人：低了! 则此商品价格所在的区间是
A． B． C． D．
6．“直线与互相垂直”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是
A． B． C． D．
8．对于平面、、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是
A．若，，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
9．已知函数，则下列结论中正确的是
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称
C．由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
D．函数在区间上单调递增
10．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有
1 | 2 | 3 |
4 | 5 | 6 |
7 | 8 | 9 |
A．种 B．种 C．种 D．种
11．函数为上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为
A．等腰锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
12．已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______.
14．已知实数，满足条件，则最大值为__________．
15．化简： ________.
16．已知四面体中，，，为等边三角形，且平面平面，则四面体外接球的表面积为______.
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知等差数列的前项和为，且，.
（I）求数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.
18．（12分）某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.
（I）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；
（II）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方差；
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.
19．（12分）如图，在三棱台中，，G，H分别为，上的点，平面平面，，.
（I）证明：平面平面；
（II）若，，求二面角的大小.
20．（12分）设函数.
（I）讨论函数的单调性；
（II）当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.
21．（12分）已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．
（I）试求抛物线的方程；
（II）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线恒过定点；
②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（I）求曲线的直角坐标方程；
（II）若直线与曲线相交于两点，求的面积.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知为正数,且,证明:
（I）；
（II）.
2020年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试
理科数学参考答案
1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 11．D 12．D
13． 14． 15．－1 16．
17．（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得
（2）由（1）得
18．（1）由题意，当时，利润；
当时，利润；
综上，当天的利润关于当天需求量的函数解析式为；
（2）①由（1）可得，
当时，利润；
当时，利润；
当时，利润；
所以的分布列为：
所以（元）；
；
②由题意，加工个蛋糕时，
当时，利润；当时，利润；
当时，利润；当时，利润；
的分布列如下：
660 | 780 | 900 | 1020 | |
0.1 | 0.2 | 0.16 | 0.54 |
则
从数学期望来看，每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润，应加工17个.
19．（1）因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以.
因为，所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，H为的中点.
同理G为的中点，所以，因为，所以，
又且，所以四边形是平行四边形，所以，
又，所以.
又，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面
（2），，，，，所以.
分别以，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
设平面的一个法向量为，因为，
则，取，得.
设平面的一个法向量为，因为，
则，取，得.
所以，则二面角的大小为
20．（1）函数的定义域为，.
当，即时，，函数在上单调递增.
当时，令，解得，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减.
综上所述：
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当函数有最大值时，，
且最大值， 此时，
即.令.
故在上单调递增，且∴等价于，∴，
故a的取值范围为.
21．（1）解依题意，设，，则由，得，
即，因为，，所以，
故，，则，关于轴对称，所以轴，且，
所以.因为，所以，所以，
故，，故抛物线的方程为.
（2）①证明 由题意可设直线的方程为，
，，由，消去，得，
故，，.因为，所以.
即.整理得，
，即，
得，所以或.
当，即时，直线的方程为，
过定点，不合题意舍去.故直线恒过定点.
②解 设，则，即，得，
即，即轨迹是以为直径的圆（除去点）.
22．解：（1）因为，所以曲线的直角坐标方程为；
（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，
得，设两点对应的参数分别为，则，
于是，
直线的普通方程为，则原点到直线的距离，所以.
23．(1)将a+b+c＝2平方得:，
由基本不等式知:，三式相加得:，
则
所以，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立
(2)由，同理
则，
即当且仅当时等号成立
