2019-2020学年浙江省宁波市奉化区八年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年浙江省宁波市奉化区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣3 B．（2）2＝6 C．+＝ D．×＝
3．某足球队12名队员的年龄如表所示，则这12名队员年龄的众数和中位数是（　　）
年龄/岁
18
19
20
21
人数
5
4
1
2
A．18，19 B．19，19 C．18，19.5 D．19，19.5
4．矩形具有而一般菱形不具有的性质（　　）
A．对角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
5．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
6．已知反比例函数y＝﹣的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
7．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE，若∠COE＝35°，∠ADC＝45°，则∠BAC＝（　　）

A．70° B．90° C．100° D．110°
8．某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2
9．如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（　　）

A．16 B．8 C．8 D．16
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+1分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数y1＝（k＜0，x＜0），y2＝（k＜0，x＞0）于点C，D两点，连接OC，OD，过点D作DE⊥x轴于点E，若△ODE的面积与△OCB的面积相等，则k的值是（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．﹣2 D．﹣
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．要使二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．若n边形的每一个外角都是72°，则边数n为　 　．
13．一组数据1，3，2，5，x的平均数为3，那么这组数据的中位数是　 　．
14．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．
15．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝3，则该矩形的面积为　 　．

16．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）计算：
（1）（﹣）÷；
（2）（+2）（﹣2）+．
18．（8分）解下列方程：
（1）3（5﹣x）2＝2（x﹣5）；
（2）x2﹣4x+2＝0．
19．（8分）某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（1）
85
b
c
22.8
八（2）
a
85
85
d
（1）直接写出表中a，b，c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）求d的值，并根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．
20．（9分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
21．（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形OCFD是矩形．

22．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2＝的图象于C，D两点，A（﹣2，0），C（1，3）．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求△COD的面积．
（3）观察图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．

23．（10分）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？
24．（12分）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是　 　．
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上．
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形．
（4）如图3，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，以AC为边在AC的右上方作等腰三角形，使四边形ABCD是垂等四边形，请直接写出四边形ABCD的面积．


2019-2020学年浙江省宁波市奉化区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．解：第二个、第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，共2个．
故选：C．
2．解：A．＝|﹣3|＝3，此选项计算错误；
B．（2）2＝12，此选项计算错误；
C．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
D．×＝＝，此选项计算正确；
故选：D．
3．解：18岁出现了5次，次数最多，因而众数是18；
12个数，处于中间位置的两个数都是19，因而中位数是19．
故选：A．
4．解：矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；
菱形的性质：对角相等，对角线互相垂直平分；
∴矩形具有而一般菱形不具有的性质为：对角线相等，
故选：B．
5．解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．
假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，
则a+b+c＜60°+60°+60°，
即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c＝180°矛盾．
所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．
故选：B．
6．解：∵反比例函数y＝﹣的k＝﹣2＜0，可见函数位于二、四象限，
∵x1＜x2＜0，可见A（x1，y1）、B（x2，y2）位于第二象限，
由于在二四象限内，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2．
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝OB，∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵DO＝OB，DE＝EC，
∴OE∥BC，
∴∠ACB＝∠COE＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣35°＝100°，
故选：C．
8．解：依题意，得：x（x﹣1）＝1260．
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，
∵四边形EDFG为矩形，
∴∠EDF＝∠F＝90°，
∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∴△ADF∽△CDE，
∴，即 ，
∴DF＝，
∴矩形EDFG的面积为：DE•DF＝DE•＝16．
故选：D．
10．解：设点C（m，），
∵直线y＝﹣x+1交y轴于点B，则OB＝1，
∵△ODE的面积与△OCB的面积相等，
即（﹣k）＝×OB×（﹣m），解得：m＝k，
将点C的坐标代入一次函数表达式得：＝﹣m+1，
解得：m＝﹣2＝k，
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．解：由题意，得x﹣2020≥0，
解得x≥2020，
故答案为：x≥2020．
12．解：∵多边形的每一个外角都是72°，
∴此多边形是正多边形，
360°÷72°＝5，
所以，它的边数是5．
故答案为：5．
13．解：由题意得，＝3，
解得：x＝4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，3，4，5，
则中位数为：3．
故答案为：3．
14．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故答案为 m≤3且m≠2．
15．解：设小正方形的边长为x，
∵a＝2，b＝3，
∴AB＝2+3＝5，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（2+x）2+（x+3）2＝52，
整理得，x2+5x﹣6＝0，
而矩形面积为（2+x）（3+x）＝x2+5x+6＝12，
即该矩形的面积为12，
故答案为：12．
16．解：如图，连接BE，BD，

∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴AB＝3＝BC＝CD，∠A＝60°＝∠C，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD中点，
∴DE＝＝CE，BE⊥CD，∠EBC＝30°，
∴BE＝CE＝，
∵CD∥AB，
∴∠ABE＝∠CEB＝90°，
由折叠可得AF＝EF，
∵EF2＝BE2+BF2，
∴EF2＝+（3﹣EF）2，
∴EF＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．解：（1）原式＝；
（2）原式＝3﹣4+＝﹣2．
18．解：（1）∵3（5﹣x）2＝2（x﹣5），
∴3（5﹣x）2﹣2（x﹣5）＝0，
则（x﹣5）（3x﹣17）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣17＝0，
解得x＝5或x＝；

（2）∵x2﹣4x＝﹣2，
∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
则x﹣2＝，
∴x＝2±．
19．解：（1）八（2）班的平均分a＝（79+85+92+85+89）÷5＝86，
将八（1）班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：77，85，85，86，92，第三个数是85，所以中位数b＝85，
85出现了2次，次数最多，所以众数c＝85．
故答案为86，85，85；

（2）∵八（2）班的方差e＝[（79﹣86）2+（85﹣86）2+（92﹣86）2+（85﹣86）2+（89﹣86）2]÷5＝19.2．
∴由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八（2）班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定，
∴八（2）班前5名同学的成绩较好；
20．（1）证明：△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；

（2）解：依题意有△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
故△ABC的周长＝2+2+1＝5．
21．证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD＝FC，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
22．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数表达式为：y＝x+2①，
将点C的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝3，
故反比例函数表达式为：y＝②；

（2）联立①②并解得：x＝1或﹣3，
故点C、D的坐标分别为（1，3）、（﹣3，﹣1）；
∵点B（0，2），
∴△COD的面积＝S△OBC+S△OBD＝×OB×（xC﹣xD）＝×2×4＝4；

（3）由图象可知，当y1≥y2时x的取值范围为﹣3≤x＜0或x≥1．
23．解：（1）设月平均增长率为x，
依题意，得：1440（1+x）2＝2250，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是25%．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出200+＝（200+50y）千克，
依题意，得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，
整理，得：y2﹣4y+3＝0，
解得：y1＝1，y2＝3．
∵要尽量减少库存，
∴y＝3．
答：售价应降低3元．
24．解：（1）正方形，矩形是垂等四边形．
故答案为正方形，矩形．

（2）如图1中，四边形ABCD即为所求．


（3）在正方形ABCD中，
∵AF＝CG，AB＝BC，
∴FB＝BG，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∠BFG＝∠BGF＝45°，
∴∠EFG＝90°，
∵∠A＝∠C＝90°，DA＝DC，AF＝CG，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF＝DG，
∵AD∥CB，
∴∠EDG＝∠DGC，
∵∠DGC＝∠DEG，
∴∠GDE＝∠GED，
∴DG＝EG，
∴DF＝EG，
∴四边形DEFG是垂等四边形．

（4）①如图4﹣1中，当AD＝AC时，连接BD，过点D作DH⊥AB于H．

∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，
∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴BD＝AC＝4，
∴AD＝BD＝4，AH＝BH＝1，
∴DH＝＝，
∴S四边形ABCD＝S△ADB+S△BCD＝×2×+×2×1＝+．

②如图4﹣2中，当CA＝CD时，连接BD，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H，DT⊥BC于T．

同法可得，S四边形ABCD＝S△DCB+S△ABD＝×2×+×2×＝+．

③如图4﹣3中，当DA＝DC时，取AC的中点H，连接DH，BH，过点D作DT⊥BH交BH的延长线于T．

设DH＝y，
∵AB＝AH＝BH＝2，
∴∠CHT＝∠AHB＝60°，
∵DA＝DC，AH＝HC，
∴DH⊥AC，
∴∠DHC＝90°，
∴∠DHT＝30°，
∴DT＝DH＝y，HT＝DT＝y，
在Rt△BDT中，∵BD＝AC＝4，
∴42＝（y）2+（2+y）2，
解得y＝﹣，
∴S四边形ABCD＝S△ACB+S△ADC＝×2×2+×4×（﹣）＝2．