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    2020年江苏省常州外国语学校中考数学模拟试卷(5月份) 解析版

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    2020年江苏省常州外国语学校中考数学模拟试卷(5月份)
    一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的)
    1.(2分)2的相反数是(  )
    A. B.﹣ C.2 D.﹣2
    2.(2分)计算+,正确的结果是(  )
    A.1 B. C.a D.
    3.(2分)如图是一个几何体的表面展开图,该几何体是(  )

    A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱柱 D.圆锥
    4.(2分)如图,△ABC中,AC=BC<AB.若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角,则下列角度关系何者正确(  )

    A.∠1<∠2 B.∠1=∠2 C.∠A+∠2<180° D.∠A+∠1>180°
    5.(2分)若式子有意义,则x满足(  )
    A.x≥1 B.x>1 C.x≤1 D.x≠1
    6.(2分)如图,CD∥AB,点O在AB上,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,则∠AOF的度数是(  )

    A.20° B.25° C.30° D.35°
    7.(2分)如图,D、E分别是△ABC边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是(  )

    A.1 B.2 C.3 D.4
    8.(2分)如图,C是线段AB上一点,AC=CB=2,以CB为直径作半圆O,P是半圆O上一动点,以AP为斜边向上作Rt△APQ,使得∠PQA=90°,∠PAQ=30°.若点P从点C沿半圆弧运动到点B,则点Q在运动中经过的路径长是(  )

    A.π B.π C.2π D.π
    二、填空题(本大题共10小,每小题2分,共20分。不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上)
    9.(2分)计算:a•a2=   .
    10.(2分)实数9的平方根是   .
    11.(2分)分解因式:2x2﹣2y2=   .
    12.(2分)如果∠α=30°,那么∠α的补角等于   .
    13.(2分)如果a+b﹣3=0,那么代数式1﹣2a﹣2b的值是   .
    14.(2分)在平面直角坐标系中有一点P(5,﹣12),则点P到原点O的距离是   .
    15.(2分)若是关于x、y的二元一次方程mx﹣y=2的解,则m=   .
    16.(2分)如图所示,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD=   度.

    17.(2分)如图,在△ABC中,CA=CB=4,cosC=,则sinB的值为   .

    18.(2分)如图,在由边长相等的小正三角形组成的网格中,A、B、C为格点,则=   .

    三、解答题(本大题共10小题,共84分。请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
    19.(8分)计算:
    (1)()2﹣()﹣1﹣(+1)0;
    (2)(x+1)2﹣(x+1)(x﹣1).
    20.(6分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
    21.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,AC⊥DE,AE=AD,AE交BC于O.
    (1)求证:∠BCA=∠EAC;
    (2)若CE=3,AC=4,求△COE的周长.

    22.(8分)在开展“学雷锋社会实践”活动中,某校为了解全校1200名学生参加活动的情况,随机调查了50名学生每人参加活动的次数,并根据数据绘成条形统计图如图.
    (Ⅰ)求这50个样本数据的平均数、众数和中位数;
    (Ⅱ)根据样本数据,估算该校1200名学生共参加了多少次活动?

    23.(8分)不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(除颜色外其余都相同),其中红球2个(分别标有1号、2号),蓝球1个.若从中任意摸出一个球,它是蓝球的概率为.
    (1)求袋中黄球的个数;
    (2)第一次任意摸出一个球(不放回),第二次再摸出一个球,请求两次摸到不同颜色球的概率.
    24.(8分)甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元.已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%,乙公司比甲公司人均多捐20元.甲、乙两公司各有多少人?
    25.(8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+m的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于A,B两点,与x轴交于点C,已知A(2,4).
    (1)求一次函数和反比例函数的表达式;
    (2)连接BO,求△BOC的面积.

    26.(10分)在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点分别为A(1,1),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣1),D(1,﹣1),对于图形M,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为正方形ABCD边上任意一点,如果P,Q两点之间的距离有最大值,那么称这个最大值为图形M的“正方距”,记作d(M).已知点E(3,0).
    (1)直接写出d(点E)的值;
    (2)过点E画直线y=kx﹣3k与y轴交于点F,当d(线段EF)取最小值时,求k的取值范围;
    (3)设T是直线y=﹣x+3上一点,以为T圆心,长为半径作⊙T,若d(⊙T)满足d(⊙T)>+,直接写出圆心T的横坐标x的取值范围.

    27.(10分)如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A,点B(3,0),交y轴于点C,点M(m,0)是线段OB上一点(与点O、B不重合),过点M作MP⊥x轴,交BC于点P,交抛物线于点Q,连接OP,CQ.
    (1)求二次函数的表达式;
    (2)若∠COP=∠QCP,求QP的长;
    (3)若△CPQ是以CP为底边的等腰三角形,点N是线段OC上一点,连接MN,求MN+CN的最小值.

    28.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,点C从点B出发沿射线BO运动,点D在射线BA上,且BD=OC,以CD为直径作⊙Q,设点C(0,m).
    (1)求线段AB的长;
    (2)当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时,求m的值;
    (3)若直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时(含角的边上),直接写出m的取值范围.


    2020年江苏省常州外国语学校中考数学模拟试卷(5月份)
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的)
    1.【解答】解:2的相反数是﹣2,
    故选:D.
    2.【解答】解:原式==1.
    故选:A.
    3.【解答】解:∵三棱柱的展开图是两个三角形和三个长方形组成,
    ∴该几何体是三棱柱.
    故选:B.
    4.【解答】解:∵AC=BC<AB,
    ∴∠A=∠ABC<∠ACB,
    ∵∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角,
    ∴∠2=∠A+∠ABC,
    ∴∠A+∠2=∠A+∠A+∠ABC<∠ACB+∠A+∠ABC=180°,
    故选:C.
    5.【解答】解:由题意,得x﹣1≥0.
    解得x≥1.
    故选:A.
    6.【解答】解:∵CD∥AB,
    ∴∠AOD+∠D=180°,
    ∴∠AOD=70°,
    ∴∠DOB=110°,
    ∵OE平分∠BOD,
    ∴∠DOE=55°,
    ∵OF⊥OE,
    ∴∠FOE=90°,
    ∴∠DOF=90°﹣55°=35°,
    ∴∠AOF=70°﹣35°=35°,
    故选:D.
    7.【解答】解:∵∠ADE=∠ACB,∠A=∠A,
    ∴△ADE∽△ACB,
    ∴=,即=,
    解得,AE=3,
    故选:C.
    8.【解答】解:如图,过点A作⊙O的切线AR,R为切点,连接CR,OR,OQ,QR,OP.

    ∵AR是⊙O的切线,
    ∴AR⊥OR,
    ∴∠ARO=90°,
    ∵AC=BC,
    ∴AC=OC=OR,
    ∴AO=2OR,
    ∴∠OAR=30°,
    ∵∠QAP=30°=∠OAR,∠AQP=∠ARO=90°,
    ∴△OAR∽△PAQ,
    ∴=,
    ∴==,
    ∵∠OAP=∠RAQ,
    ∴△CAP∽△RAQ,
    ∴==,
    ∴RQ=,
    ∴点Q的运动轨迹是以R为圆心,为半径的半圆,
    ∴Q在运动中经过的路径长是π,
    故选:B.
    二、填空题(本大题共10小,每小题2分,共20分。不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上)
    9.【解答】解:a•a2=a1+2=a3.
    故答案为:a3.
    10.【解答】解:∵±3的平方是9,
    ∴9的平方根是±3.
    故答案为:±3.
    11.【解答】解:2x2﹣2y2=2(x2﹣y2)=2(x+y)(x﹣y).
    故答案为:2(x+y)(x﹣y).
    12.【解答】解:根据题意,∠α=30°,
    则∠α的补角=180°﹣30°=150°;
    故答案为:150°.
    13.【解答】解:∵a+b﹣3=0,
    ∴a+b=3,
    则原式=1﹣2(a+b)
    =1﹣2×3
    =1﹣6
    =﹣5,
    故答案为:﹣5.
    14.【解答】解:点P到原点O的距离是=13.
    故答案为:13.
    15.【解答】解:把代入方程mx﹣y=2得:m+1=2,
    解得:m=1,
    故答案为:1.
    16.【解答】解:连接OD,如图:
    ∵OC⊥AB,
    ∴∠COE=90°,
    ∵∠AEC=65°,
    ∴∠OCE=90°﹣65°=25°,
    ∵OC=OD,
    ∴∠ODC=∠OCE=25°,
    ∴∠DOC=180°﹣25°﹣25°=130°,
    ∴∠BOD=∠DOC﹣∠COE=40°,
    ∴∠BAD=∠BOD=20°,
    故答案为:20.

    17.【解答】解:过点A作AD⊥BC,垂足为D,如图所示.
    在Rt△ACD中,CD=CA•cosC=4×=1,
    ∴AD===;
    在Rt△ABD中,BD=CB﹣CD=4﹣1=3,AD=,
    ∴AB===2,
    ∴sinB===.
    故答案为:.

    18.【解答】解:如图取格点D,连接AD,
    设小等边三角形的边长为a,则AD=a.CD=a,DB=3a.

    ∴AD2=DC•DB,
    ∴=,
    ∵∠ADC=∠ADB,
    ∴△ADC∽△BDA,
    ∴===,
    故答案为:.
    三、解答题(本大题共10小题,共84分。请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
    19.【解答】解:(1)原式=2﹣3﹣1
    =﹣2;
    (2)原式=x2+2x+1﹣(x2﹣1)
    =x2+2x+1﹣x2+1
    =2x+2.
    20.【解答】解:解不等式x﹣1≤0,得:x≤1,
    解不等式3x>﹣6+x,得:x>﹣3,
    则不等式组的解集为﹣3<x≤1,
    将不等式组的解集表示在数轴上如下:

    21.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,
    ∴∠BCA=∠DAC,
    ∵AC⊥DE,AE=AD,
    ∴∠EAC=∠DAC,
    ∴∠BCA=∠EAC;
    (2)解:∵AC⊥DE,
    ∴∠ACE=90°,
    ∴AE===5,
    由(1)得:∠BCA=∠EAC,
    ∴OA=OC,
    ∴△COE的周长=OE+OC+CE=OE+OA+CE=AE+CE=5+3=8.
    22.【解答】解:(Ⅰ)观察条形统计图,可知这组样本数据的平均数是:==3.3次,
    则这组样本数据的平均数是3.3次.
    ∵在这组样本数据中,4出现了18次,出现的次数最多,
    ∴这组数据的众数是4次.
    ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处在中间的两个数都是3,=3次,
    ∴这组数据的中位数是3次;

    (Ⅱ)∵这组样本数据的平均数是3.3次,
    ∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3次,
    3.3×1200=3960.
    ∴该校学生共参加活动约为3960次.
    23.【解答】解:(1)由题意可知:袋中共有个球,
    则黄球的个数=4﹣2﹣1=1;

    (2)如下表所示:

    红1
    红2


    红1
    ﹣﹣﹣
    (红1,红2)
    (红1,黄)
    (红1,蓝)
    红2
    (红2,红1)
    ﹣﹣﹣
    (红2,黄)
    (红2,蓝)

    (黄,红1)
    (黄,红2)
    ﹣﹣﹣
    (黄,蓝)

    (蓝,红1)
    (蓝,红2)
    (蓝,黄)
    ﹣﹣﹣
    所有等可能的情况有12种,其中不同颜色的情况有10种,
    则两次摸到不同颜色球的概率为P==.
    24.【解答】解:设乙公司有x人,则甲公司有1.2x人,
    根据题意得:﹣=20,
    解得:x=250,
    经检验,x=250是原方程的解,且符合题意,
    ∴1.2x=300.
    答:甲公司有300人,乙公司有250人.
    25.【解答】解:(1)把A(2,4)代入y=﹣x+m得﹣2+m=4,解得m=6,
    ∴一次函数解析式为y=﹣x+6;
    把A(2,4)代入y=得k=2×4=8,
    ∴反比例函数解析式为y=;
    (2)解方程组得或,
    ∴B点坐标为(4,2),
    当y=0时,﹣x+6=0,解得x=6,
    ∴C点坐标为(6,0),
    ∴S△OBC=×6×2=6.
    26.【解答】解:(1)∵E(3,0),B(﹣1,1),
    观察图象可知,d(点E)=BE或EC,
    ∴d(点E)==.

    (2)如图1中,

    ∵当d(线段EF)取最小值,
    ∴d(线段EF)的最小值=d(点E)=,
    ∴d(点F)≤,
    当d(点F)=时,F(0,3),或F′(0,﹣3),
    将F代入y=kx﹣3k,得k=﹣1,
    将F′代入y=kx﹣3k,得k=1,
    观察图形可知,满足条件的k的值为:k≤1或k≥﹣1.

    (3)如图2中,设直线y=﹣x+3交x轴于E,交y轴于F.

    ∵d(点E)=d(点F)=<,
    ∴点T在第二象限或第四象限,设T(m,﹣m+3),
    当T在第二象限,TD=时,(m﹣1)2+(﹣m+3+1)2=,
    解得m=或(舍弃),
    当T在第四象限,TB=时,(m+1)2+(﹣m+3﹣1)2=,
    解得m=或(舍弃),
    观察图象可知满足条件的圆心T的横坐标x的取值范围为:x≤或x≥.
    27.【解答】解:(1)将点B的坐标代入抛物线表达式得:0=﹣9+3b+3,解得:b=2,
    故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3;

    (2)对于y=﹣x2+2x+3,令x=0,则y=3,故点C(0,3),
    则OB=OC=3,故∠OCB=∠OBC=45°,
    设直线BC的表达式为:y=kx+b,则,解得:,
    故直线BC的表达式为:y=﹣x+3,
    点M的坐标为:(m,0),则点P、Q的坐标分别为:(m,3﹣m)、(m,﹣m2+2m+3),
    则PQ=(﹣m2+2m+3)﹣(3﹣m)=﹣m2+3m;
    ∵PQ∥y轴,
    ∴∠OCP=∠CPQ,
    ∵∠COP=∠QCP,
    ∴△OPC∽△CQP,
    ∴,即PC2=OC•PQ,
    ∴2m2=3(﹣m2+3m),
    解得:m=0(舍去)或,
    故PQ=﹣m2+3m=;

    (3)∵PQ∥y轴,
    ∴∠OCP=∠CPQ,
    ∵△CPQ是以CP为底边的等腰三角形,
    ∴∠QCP=∠QPC,
    ∴∠QCP=∠PCO=45°,
    ∴∠OCQ=90°,即CQ∥x轴,
    故点C、Q关于函数对称性直线x=1对称,故点Q的坐标为:(2,3);
    过点C作直线l,过点M作MH⊥l交于点H,交y轴于点N,则点M、N为所求点,

    设直线l与y轴负半轴夹角的正弦值为,即sin∠HCN==sin∠NMO,则tan∠NMO=,
    则NH=CN,
    ∴MN+CN=MN+NH为最小,
    ∵tan∠NMO=,
    ∴设直线MH的表达式为:y=﹣x+t,
    将点M(2,0)的坐标代入上式并解得:t=,
    故点N(0,),
    则CN=OC﹣ON=3﹣,
    ∴MN+CN的最小值=MN+NH=MN+CN=+×(3﹣)=.
    28.【解答】解:(1)对于y=﹣x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=4,
    即点A、B的坐标分别为:(4,0)、(0,3),
    ∴AB==5;

    (2)由点A、B的坐标知,OA=4,OB=3,
    tan∠ABO==,则sin∠ABO=,cos∠ABO=,
    ∵BD=OC=m,
    ∴xD=BDsin∠ABO=m×=m,同理yD=3﹣BDcos∠ABO=3﹣m,
    故点D(m,3﹣m);
    ∵点Q是CD的中点,
    ∴由中点公式得,点Q的坐标为(m,),
    ∵当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时,yQ=CD=,
    ∴CD=3,
    故(m)2+(3﹣m﹣m)2=9,
    解得:m=;

    (3)∵AB与BC交圆Q在直径CD的上方,
    ∴CD上方的半圆与∠ABO必有第三个交点(设为E),即只有CD下方的半圆可能在∠ABO的内部,
    ∴∠OCD≥90°,∠ADC≥90°,
    ∴∠BCD≤90°,∠BDC≤90°,
    连接CE、DF,

    ∵CD是直径,
    ∴DF⊥OB,CE⊥AB,
    ∴BE≤BD,BF≤BC,
    在Rt△BCE中,BC=3﹣m,BE=BCcos∠OBC=(3﹣m),
    ①当m≥0时,
    BD=m,BF=BDcos∠OBC=m,
    ∵BE≤BD,BF≤BC,
    ∴(3﹣m)≤m且m≤3﹣m,
    解得:≤m≤;
    ②当m<0时,
    BD=﹣m,BF=﹣m,
    ∵BE≤BD,BF≤BC,
    ∴(3﹣m)≤﹣m且﹣m≤3﹣m,
    解得:m≤﹣;
    综上,≤m≤或m≤﹣.


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