2020届重庆市康德卷高考模拟（二）数学（理）试题（解析版）
展开2020届重庆市康德卷高考模拟（二）数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据先求出，再用集合交集的定义列举出集合的全部元素组成集合，即可得答案.
【详解】
，
且，
因此.
故选：.
【点睛】
本题考查集合的交集的运算，写出集合的交集时注意集合中元素的相同性，是基础题.
2．已知复数，，则的虚部为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】根据复数的除法运算分别求得再求的虚部即可.
【详解】
,.
故.故虚部为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算与虚部的辨析,属于基础题型.
3．已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求的值域,再求的值域即可.
【详解】
设,则,故.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了复合函数的值域,属于基础题型.
4．已知，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据不等式的性质直接求解即可.
【详解】
对A,因为,,故成立.
对B,因为成立故成立.
对C,举反例如当,可知,故C错误.
对D, 因为,故,故成立.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质,属于基础题型.
5．己知命题，，，，则下列命题中真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分别判断命题的真假再利用或且非的关系逐个选项判断即可.
【详解】
易得当时, ,故为假命题.当时, 成立.故为真命题.
故为真命题.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判断,属于基础题型.
6．的展开式中x的系数为（ ）
A．560 B．1120 C．-35 D．280
【答案】A
【解析】根据二项展开式求解即可.
【详解】
,则.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二项式定理确定展开式中某一项的系数.属于基础题型.
7．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是，，，，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为，则第10个梅森数的位数为（ ）（参考数据：）
A．25 B．29 C．27 D．28
【答案】C
【解析】计算判断即可.
【详解】
因为.故.故第10个梅森数的位数为27.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了根据对数运算的应用,属于基础题型.
8．若函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知,再参变分离求实数a的取值范围即可.
【详解】
函数存在单调递减区间即有区间解,则,其中,
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解函数单调性的问题,同时也考查了参变分离求参数最值的问题,属于中等题型.
9．若不等式组，所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分；则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出可行域,再根据面积求解即可.
【详解】
画出可行域,
由图可知,将可行域划分为两块区域,
其中三角形部分.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题,属于中等题型.
10．函数，，的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向右平移
【答案】C
【解析】由函数的最值求出，将点代入函数的解析式求出，再将点代入该函数的解析式求出，得出，并利用诱导公式化为
，再利用函数的图象变化规律得出结论．
【详解】
由函数，，的部分图象，
可得，由，可得，，，
，
故可将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．
故选．
【点睛】
本题考查由三角函数图象求解析式、以及三角函数图象变换，求图象求三角函数
的解析式的步骤如下：
（1）求、：，；
（2）求：（其中为函数的最小正周期）；
（3）求初相：代特殊点（最高点、最低点或对称中心点）求．
11．如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ）
A．12 B．44 C．58 D．76
【答案】B
【解析】由题意分情况讨论尾数分别为1,3,5,7四种情况求总数即可.
【详解】
分类讨论：
尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,045,共,
还可能为234,有种；
尾数为3：则前三位的数字可能为016,025,共,还可能为124,有种；
尾数为5：则前三位的数字可能为014,023,045,共；
尾数为7：则前三位的数字可能为012,共.
综上所述,共有种.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了排列组合的综合运用,属于中等题型.
12．如图，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于点A，的内切圆与边切于点Q，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】利用双曲线的定义以及内切圆中切线等长的性质求解即可.
【详解】
所以,,故离心率.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角形内切圆的的切线性质以及双曲线的定义运用,属于中等题型.
二、填空题
13．脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方.重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________.
【答案】5
【解析】先求渝东南和渝东北地区贫困户占全市的比例,再利用分层抽样抽取的方法列式求解即可.
【详解】
由题, 渝东南和渝东北地区贫困户占全市的48%+32%=80%,故其它地区困户占全市的20%.
故课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是%=5.
故答案为：5
【点睛】
本题主要考查了分层抽样的方法,属于基础题型.
14．在等腰梯形ABCD中，，E为BC的中点，F为DE的中点，记，，若用表示，则________.
【答案】
【解析】利用向量的线性运算求解即可.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,需要用到平行四边形法则与三角形法则.属于中等题型.
15．若直线与曲线相切，则ab的最大值为________.
【答案】
【解析】设切点为,再求出切线方程表达式,进而得出,再求导分析单调性与最大值即可.
【详解】
设切点为,则切线为,
所以,
令,
所以在,,
则.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了切线方程的应用,主要是导数的几何意义求解,同时也考查了根据导数求解函数的最值问题,属于中等题型.
16．设数列满足，若存在常数，使得恒成立，则的最小值是________.
【答案】-2
【解析】根据递推公式推导数列的前后项的关系,进而可判断
【详解】
由题意即可，
,
若,则且,即该数列单增，且,
此时若存在常数,使得恒成立，则必有.
若,则,该数列为常数列,即.
当时，显然有
综上所述,.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了根据递推公式分析数列前后项的关系,进而求得数列的通项范围,需要思考的大小从而分情况讨论,属于难题.
三、解答题
17．已知数列的前n项和为，.
（1）证明：为等比数列；
（2）设，若不等式对恒成立，求t的最小值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)利用得到的递推公式再构造数列证明即可.
(2)根据(1)可求得,进而求得,再用裂项求和求解进而求得t的最小值
【详解】
解：（1）,
故为等比数列.
（2）令,则有,
所以,所以,
令,
令,
所以
.所以.
故t的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了根据递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了裂项相消求和的方法与不等式的范围问题,属于中等题型.
18．为做好创建国家生态文明单位的需要，某地甲、乙两大型企业决定先从本企业的所有员工中随机抽取8名员工，对自己所在企业的生态文明建设状况进行自我内部的评分调查（满分100分），被抽取的员工的评分结果如右表：
（1）若分别从甲、乙两企业被抽取的8名员工中各抽取1名，在已知两人中至少一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲企业员工评分低于80分的概率；
（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲企业的所有员工中，再随机抽取4名员工进行评分细节调查，记抽取的这4名员工中评分不低于90分的人数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）（2）分布列见解析，
【解析】(1)根据条件概率的方法求解即可.
(2)根据二项分布的分布列以及数学期望求解即可.
【详解】
解：（1）设事件A为两人中至少一人评分不低于80,事件B为甲企业评分人员低于80分；
则
（2）由题意知,,
则.
所以其分布列如下：
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
【点睛】
本题主要考查了条件概率与二项分布的问题,属于中等题型.
19．如图，在四边形ABCD中，A为锐角，.
（1）求；
（2）设、的外接圆半径分别为，若恒成立，求实数m的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可.
(2)根据正弦定理参变分离,再利用的取值范围求解
【详解】
（1）由题, ,即,因为.故.
所以.
（2）
,因为,故当时有最大值
所以,即实数m的最小值为
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的运用以及正弦定理与根据角度范围求解三角函数范围的问题,属于中等题型.
20．已知函数，.
（1）当时，求的单调区间
（2）若存在使得成立，求a的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)求导后判断极值点的大小从而分析在定义域内的导函数正负,进而求得单调区间.
(2)分情况讨论的单调区间,进而求得的最小值分析能成立问题即可.
【详解】
（1）,
当时,的单增区间为和,单减区间为；
当时,的单增区间为，无减区间；
当时,的单增区间为和,单减区间为；
（2）由(1) .
故当时, ,所以,；
；
当时,因为当时,所以必然存在.
综上所述.
【点睛】
本题主要考查了含参数讨论函数的单调性问题以及利用导数分析单调性与最值进而解决函数的能成立问题.属于中等题型.
21．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线C上一点，，O为坐标原点，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设Q为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交抛物线C于A，B两点记，的面积分别为，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)根据可知直线的倾斜角为,再利用几何关系求得,代入抛物线方程化简即可.
(2)设直线的方程为,再分别计算关于的表达式,进而求得关于的表达式再求范围即可.
【详解】
解：（1）由题可知,直线的倾斜角为,故,
代入方程可得,化简得,因为所以
故抛物线C的方程为
（2）显然直线斜率不为0,故设直线的方程为,
联立.设.则,.所以
设则因为直线垂直于OQ.故.所以
又到直线：的距离.
故.
故.
设,则
当且仅当即时取等号.又,
所以.
【点睛】
本题主要考查了抛物线中的弦长关系,同时也考查了直线与抛物线中的三角形面积问题,需要根据题意设方程联立,求出对应的面积的表达式再求最值,属于难题.
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点，直线l与曲线C相交于AB两点，求的值.
【答案】（1），；（2）
【解析】(1)消去参数求解直线l的普通方程,再利用极坐标与直角坐标的对应关系与二倍角公式求解曲线C的直角坐标方程.
(2)利用参数的几何意义,联立直线与圆C的方程,利用韦达定理求解即可.
【详解】
(1)由,两式相加可得,即.
又,即
即.
(2)将化简成关于点的参数方程有：,（为参数）,
代入有,
则.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与极坐标化成直角坐标的方法,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中等题型.
23．已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)将写成分段函数，画出图像再求解即可.
(2)利用柯西不等式求解即可.
【详解】
解：（1）,由图当,当
可知解集为
（2）由（1）知：,
由柯西不等式知：,
所以
（当且仅当,；,时分别取等）.
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的求解以及柯西不等式的运用,属于中等题型.
