2020届重庆市渝中区巴蜀中学高三“一诊”模拟测试题数学（理）试题（解析版）

2020届重庆市渝中区巴蜀中学高三“一诊”模拟测试题数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，则其共轭复数的虚部为（    ）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

【答案】B

【解析】利用复数乘法、除法运算化简，由此求得的共轭复数，进而求得的虚部.

【详解】

依题意，故，其虚部为1.

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题.

2．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解分式不等式求得集合，求函数定义求得集合，由此求得两个集合的交集.

【详解】

由解得，由解得，故，

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查交集的概念和运算，考查分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，属于基础题.

3．设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影.

【详解】

在上的投影为，

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题.

4．已知等差数列满足，则数列中一定为零的项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将已知条件转化为的形式，由此判断出一定为零的项.

【详解】

设公差为，由得，∴，

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.

5．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：

针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（    ）

A．获得A等级的人数减少了 B．获得B等级的人数增加了1.5倍

C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同

【答案】B

【解析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.

【详解】

设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：

由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.

【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.

6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．

【详解】

模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，

由于．

故选：C．

【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

7．设函数，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用诱导公式、辅助角公式化简，求得向左平移个单位后的的解析式，根据为偶函数，求得的表达式，由此求得的最小值.

【详解】

，向左平移，得，又为偶函数，令，得，由于，，∴最小值为，

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查诱导公式、辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.

8．设数列的前项和为，满足，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题目所给已知条件，求得的值，进而求得它们的和.

【详解】

，若为偶数，则，∴（为奇数）.

则，

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查的运用，属于基础题.

9．已知抛物线：，过其焦点的直线与交于，两点，是坐标原点，记的面积为，且满足，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】结合抛物线的定义，计算出三角形的面积，由此列方程，解方程求得的值.

【详解】

设， ，则，根据抛物线的定义可知.依题意，

则，∴，

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查与抛物线有关的三角形面积的计算，考查方程的思想，属于基础题.

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将三视图还原为原图，几何体是底面为边长为的等边三角形，高为的三棱锥.根据等边三角形外接圆的半径，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.

【详解】

将三视图还原为原图如图，可得几何体是底面为边长为的等边三角形，高为的三棱锥.等比三角形的外接圆半径为，所以其外接球的，.则，

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查三视图还原为原图，考查三棱锥外接球体积有关计算，属于基础题.

11．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是(     )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.

【详解】

关于直线对称的直线方程为：

原题等价于与有且仅有四个不同的交点

由可知，直线恒过点

当时，

在上单调递减；在上单调递增

由此可得图象如下图所示：

其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为

由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点

设，，则，解得：

设，，则，解得：

，则

本题正确选项：

【点睛】

本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.

12．在中，、、为其三内角，满足、、都是整数，且，则下列结论中错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先判断出均为锐角，根据、、都是整数，求得、、的值，进而判断出结论错误的选项.

【详解】

由于，所以、都是锐角，又、都是正整数，这样，可见也是锐角.这时，，，.

有，即.但是，，比较可知只可能，，.由可知，选项B是正确的.

至于选项C和D，由，可知，又，故选项C正确；

又由，选项D正确、A选项错误.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查两角和的正切公式，考查三角形内角和定理，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.

二、填空题

13．已知，则______.

【答案】10

【解析】将二项式等价变形为，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得的值.

【详解】

，其通项公式为，故，所以.

故答案为：10

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆交的一条渐近线于点（在第一象限内），若线段的中点在的另一条渐近线上，则的离心率______.

【答案】2

【解析】根据垂直平分线的性质和渐近线的性质，求得，由此求得，进而利用计算出双曲线的离心率.

【详解】

由图可知，是线段的垂直平分线，又是斜边的中线，∴，

且，∴，所以.

故答案为：2

【点睛】

本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的渐近线，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

15．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.

【答案】375

【解析】先求得元件和并联电路正常工作的概率，乘以元件正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出台仪器中该部件的使用寿命超过小时的平均值.

【详解】

由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为，则部件正常工作超过10000小时的概率为，

又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为台.

故答案为：375

【点睛】

本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题.

16．已知正方体的棱长为2，为体对角线上的一点，且，现有以下判断：①；②若平面，则；③周长的最小值是；④若为钝角三角形，则的取值范围为，其中正确判断的序号为______.

【答案】①②④

【解析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得，由此判断②正确.将和展开成平面，由此求得的最小值，进而求得三角形周长的最小值，由此判断③错误.先求得为直角三角形时的值，由此确定的取值范围

【详解】

在正方体中，平面，又平面，故，①正确；

由平面，在中，,由于，由射影定理得,即，,可得，故②正确；

将和展开，可得的最小值为，又，故③错误；

利用平面，可得当为直角三角形时，，故当为钝角三角形时，的取值范围为，④正确.

所以正确判断为①②④.

故答案为：①②④

【点睛】

本小题主要考查正方体中的线线、线面垂直有关命题真假性判断，考查距离和的最值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

三、解答题

17．在中，，是的内角平分线，点在线段上，且.

（1）求的值；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用正弦定理列方程，求得，两边平方后利用同角三角函数的基本关系式求得的值.

（2）首先求得的值，利用两角和的正弦公式求得，然后求得，进而求得，从而求得三角形的面积.

【详解】

（1）在中，由正弦定理得，即，

在中，由正弦定理得，即，

两式相除得，即，

∴，即，又，所以，故.

（2）由，得是锐角，于是，

所以，

在中，由正弦定理得，于是，

所以.

【点睛】

本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.

18．如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

【答案】（I）见解析；（II）.

【解析】（I）先证明，再证明；（II）在平面POB内作PQ⊥OB,垂足为Q，

证明OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.

【详解】

（I）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，

∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，

∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，，,

∴在等腰中，

∴,即BD⊥BC，

∴BD⊥AE，

翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又，，

；

（II）解：在平面POB内作PQ⊥OB,垂足为Q，

因为AE⊥平面POB，∴AE⊥PQ，

因为OB平面ABCE, AE平面ABCE,AE∩OB=O

∴PQ⊥平面ABCE，∴直线PB与平面ABCE夹角为，

又因为OP=OB，∴OP⊥OB，

∴O、Q两点重合，即OP⊥平面ABCE，

以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为,

设平面PCE的一个法向量为，

则

设，则y=-1,z=1，

∴，

由题意得平面PAE的一个法向量，

设二面角A-EP-C为，.

易知二面角A-EP-C为钝角，所以.

【点睛】

本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.

19．已知点在椭圆：上，且点到的左、右焦点的距离之和为.

（1）求的方程；

（2）设为坐标原点，若的弦的中点在线段（不含端点，）上，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的标准方程.

（2）设出的坐标，求得中点的坐标，由的斜率得到，利用点差法求得的斜率，设出直线的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得的取值范围.

【详解】

（1）由条件知，，所以，，

∴椭圆的方程为.

（2）设点、的坐标为，，则中点在线段上，且，

∴，又，，两式相减得，

易知，，所以，即.

设方程为，代入并整理得.

由解得，又由，∴.

由韦达定理得，，

故

.

而，所以的取值范围是.

【点睛】

本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.

20．武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.

（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：

现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求；

（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：

以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.

该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：

若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？

【答案】（1）；（2）投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大

【解析】（1）首先计算出在，内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出.

（2）分别计算出投入艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.

【详解】

（1）年龄在内的游客人数为150，年龄在内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，年龄在内的人数为4人.

可得.

（2）①当投入1艘型游船时，因客流量总大于1，则（万元）.

②当投入2艘型游船时，

若，则，此时；

若，则，此时；

此时的分布列如下表：

此时（万元）.

③当投入3艘型游船时，

若，则，此时；

若，则，此时；

若，则，此时；

此时的分布列如下表：

此时（万元）.

由于，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.

【点睛】

本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

21．已知函数.

(1)讨论极值点的个数；

(2)若是的一个极值点，且，证明: .

【答案】(1) 当时，无极值点；当时，有个极值点；当或时，有个极值点；(2)证明见解析

【解析】（1）求导得到；分别在、、和四种情况下根据的符号确定的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；（2）由（1）的结论和可求得，从而得到，代入函数解析式可得；令可将化为关于的函数，利用导数可求得的单调性，从而得到，进而得到结论.

【详解】

（1）

①当时，

当时，；当时，

在上单调递减；在上单调递增

为的唯一极小值点，无极大值点，即此时极值点个数为：个

②当时，令，解得：，

⑴当时，

和时，；时，

在，上单调递增；在上单调递减

为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个

⑵当时，，此时恒成立且不恒为

在上单调递增，无极值点，即极值点个数为：个

⑶当时，

和时，；时，

在，上单调递增；在上单调递减

为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个

综上所述：当时，无极值点；当时，有个极值点；当或时，有个极值点

（2）由（1）知，若是的一个极值点，则

又，即   

令，则    ，

则

当时，，

当时，；当时，

在上单调递增；在上单调递减

，即   

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；本题中证明不等式的关键是能够通过换元的方式将转化为关于的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点 ，直线和曲线交于两点，求的值．

【答案】（1），；（2）.

【解析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C的普通方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程；（2）先证明点P在直线l上，再利用直线参数方程t的几何意义解答.

【详解】

（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线C的普通方程为.

因为，

所以.

所以直线的直角坐标方程为.

（2）由题得点在直线l上，直线l的参数方程为，

代入椭圆的方程得，

所以，

所以.

【点睛】

本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用零点分段法去绝对值，将不等式转化为不等式组来求解得不等式的解集.

（2）化简不等式为，由此得到或，结合恒成立知识的运用，求得的取值范围.

【详解】

（1）当时，，

故等价于或或，解得或.

故不等式的解集为.

（2）当时，由得，

即，即或对任意的恒成立.

又，，故的取值范围为.

又，所以，

综上，的取值范围为.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.