2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷（二）数学（文）试题（解析版）

2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷（二）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据先求出，再用集合交集的定义列举出集合的全部元素组成集合，即可得答案.

【详解】

，

且，

因此.

故选：.

【点睛】

本题考查集合的交集的运算，写出集合的交集时注意集合中元素的相同性，是基础题.

2．已知复数，，则的虚部为（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】A

【解析】根据复数的除法运算分别求得再求的虚部即可.

【详解】

,.

故.故虚部为.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了复数的基本运算与虚部的辨析,属于基础题型.

3．甲、乙两名农业技术人员，分别到三个乡村进行“帮扶脱贫”，则这两名技术人员到同一乡村的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出基本事件总数及所求事件所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得解.

【详解】

两名农业技术人员分别到三个乡村的基本事件有个，

两名技术人员到同一乡村所包含的基本事件有3个，

所以这两名技术人员到同一乡村的概率是.

故选：B

【点睛】

本题考查古典概型，属于基础题.

4．已知函数，则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出的值域，再求的范围即可.

【详解】

因为，所以，即函数的值域是.

故选：B

【点睛】

本题考查函数的值域的求法，指数函数的值域，属于基础题.

5．已知，，则下列不等式中不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据不等式的性质直接求解即可.

【详解】

对A,因为,,故成立.

对B,因为成立故成立.

对C,举反例如当,可知,故C错误.

对D, 因为,故,故成立.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了不等式的性质,属于基础题型.

6．己知命题，，，，则下列命题中真命题是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别判断命题的真假再利用或且非的关系逐个选项判断即可.

【详解】

易得当时, ,故为假命题.当时, 成立.故为真命题.

故为真命题.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了命题真假的判断,属于基础题型.

7．已知称为高斯函数或取整函数．其中表示不超过x的最大整数，如,,．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（    ）

A．1225 B．1200 C．1250 D．1500

【答案】A

【解析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，观察找到规律第4k次运行：， 则第次运行：，输出结果.

【详解】

第1次运行：;

第2次运行：；

第3次运行：；

第4次运行：；

第4k-1次运行：；

第4k次运行：；

第4k+1次运行：；

第4k+2次运行：；

第次运行：，结束循环输出1225.

故选：A

【点睛】

本题考查了循环结构的程序框图，归纳总结规律是解题的关键，属于中档题.

8．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是，，，，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为，则第10个梅森数的位数为（    ）（参考数据：）

A．25 B．29 C．27 D．28

【答案】C

【解析】计算判断即可.

【详解】

因为.故.故第10个梅森数的位数为27.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了根据对数运算的应用,属于基础题型.

9．若函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意可知,再参变分离求实数a的取值范围即可.

【详解】

函数存在单调递减区间即有区间解,则,其中,

所以.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了利用导数求解函数单调性的问题,同时也考查了参变分离求参数最值的问题,属于中等题型.

10．若不等式组，所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分；则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】画出可行域,再根据面积求解即可.

【详解】

画出可行域,

由图可知,将可行域划分为两块区域,

其中三角形部分.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了简单的线性规划问题,属于中等题型.

11．设数列满足，若存在常数，使得恒成立，则的最小值是（    ）

A．-3 B．–2 C．-1 D．1

【答案】B

【解析】因为，分类讨论数列的单调性从而求得的取值范围.

【详解】

，

若，则，且，即该数列单调递增，且，

此时若存在常数，使得恒成立，则必有；

若，则，则该数列为常数列，即；

若，显然有。

所以，综上所述，.

故选：B

【点睛】

本题考查了根据递推公式分析前后项的关系，进而求得数列的通项公式范围，属于中档题.

12．设是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C的渐近线上（异于坐标原点O），若且，则双曲线C的离心率为（    ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】D

【解析】由题意知，求出OP,及，在中利用余弦定理求出，由列出关于a,c的齐次式即可求出离心率.

【详解】

由题意知，又，所以，，

因为，所以，，

在中余弦定理可知：，

又因为，

所以.

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，双曲线离心率的求法，涉及三角函数诱导公式，余弦定理，属于中档题.

二、填空题

13．脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方.重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________.

【答案】5

【解析】先求渝东南和渝东北地区贫困户占全市的比例,再利用分层抽样抽取的方法列式求解即可.

【详解】

由题, 渝东南和渝东北地区贫困户占全市的48%+32%=80%,故其它地区困户占全市的20%.

故课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是%=5.

故答案为：5

【点睛】

本题主要考查了分层抽样的方法,属于基础题型.

14．已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的侧面积等于_______

【答案】

【解析】根据正视图可知正三棱锥的高和底面边长，根据正三角形中心的性质及勾股定理可求得，可求得一个侧面三角形的面积，从而可得侧面积.

【详解】

由正视图可知，正三棱锥的图形如下图所示：

则：平面，且，

为正三角形   

该正三棱锥的侧面积为：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查三棱锥侧面积的求解问题，关键是能够通过三棱锥的正视图确定几何体的高和底面三角形边长，属于基础题.

15．在等腰梯形ABCD中，，E为BC的中点，F为DE的中点，记，，若用表示，则________.

【答案】

【解析】利用向量的线性运算求解即可.

【详解】

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,需要用到平行四边形法则与三角形法则.属于中等题型.

16．若直线与曲线相切，则ab的最大值为________.

【答案】

【解析】设切点为,再求出切线方程表达式,进而得出,再求导分析单调性与最大值即可.

【详解】

设切点为,则切线为,

所以,

令,

所以在,,

则.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了切线方程的应用,主要是导数的几何意义求解,同时也考查了根据导数求解函数的最值问题,属于中等题型.

三、解答题

17．已知公比大于1的等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列.

（1）求；

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1）（2）

【解析】(1)由列出关于q的方程，解出q，即可得到数列的通项公式；(2)列出及的表达式，利用错位相减法及等比数列的前n项和公式即可得解.

【详解】

（1），，

，化简得，解得或2，

又，所以，则.

（2），，

，

两式相减，

.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式及前n项和，错位相减法求数列的和，属于中档题.

18．某生产厂家为了调查某商品的日销售价格（单位：元）对当日销售量（单位：件）的影响，下面给出了5组销售价格与销售量的统计表格：

用日销售价格x作为解释变量，日销售量y作为预报变量．

（1）根据这组数据，建立y与x的回归方程；

（2）如果每件产品的成本价格为9元，根据（1）中所求回归方程，求：当日销售价格x为何值时，日销售利润Q的预报值最大．

附：对一组数据，其回归方程，其中

【答案】（1）（2）15元

【解析】(1)首先求出，代入求出，再由求出，即可得解；(2) ，利用二次函数的单调性即可求得最大值.

【详解】

解：（1），

，所以.

（2），所以当时，.

【点睛】

本题考查利用所给数据建立线性回归方程，数据预报和最值，考查数据处理能力，属于基础题.

19．如图，在直三棱柱中，，，点D在边BC上，且.

（1）求证：D是线段BC的中点；

（2）若，求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】(1)证明面，推出，由等腰三角形三线合一的性质即可得证；(2) 作，由求出DE，然后利用等体积法即可求出到平面的距离.

【详解】

解：（1）面ABC，所以，

又因为，且，所以面，

所以，又因为，所以D为BC的中点.

（2）作，易知面，

在中，

由等体积法有：，

.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，等体积法求点到面的距离，涉及等腰三角形的性质，属于基础题.

20．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线C上一点，，O为坐标原点，的面积为1.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设Q为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交C于A，B两点，记，的面积分别为，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)由轴且P为抛物线C上一点求出点P的坐标，由的面积为1列出方程求出p的值，即可得解；(2)设直线的倾斜角为()，利用焦点弦的性质表示出AB，OD，QD，，由正弦函数的值域即可求出的范围.

【详解】

解：（1）由题可知，，因为且P为抛物线C上一点

所以，则，

所以抛物线方程为；

（2）设直线的倾斜角为()，直线AB与OQ交于点D，

则有，，，

所以，

所以，

所以，因为，所以，

.

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程，焦点弦性质的应用，利用三角函数的性质来求范围简化了计算过程，属于中档题.

21．已知函数（a为常数）的最大值为0.

（1）求实数a的值；

（2）设函数，当时，求证：函数有两个不同的零点，（），且.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】(1)求出导数，分与两种情况讨论函数的单调性与最大值，列出方程求解即可；(2)求出函数的一阶导数与二阶导数，由二阶导数的符号判断一阶导数的单调性，再由一阶导数的符号判断的单调性，因为，，可得函数有两个不同的零点，，即可得解.

【详解】

解：（1）函数的定义域为：，

当时，，则函数在上单调递增，无最大值；

当时，令，即，解得，

所以函数在上单调递增，上单调递减，

，易知函数与函数的图像相交于点，所以方程的解为；

（2）

当时，则在上单调递增，

又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，

又，，

所以函数有两个不同的零点，，

故.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，零点存在定理的应用，利用函数图像的交点求方程的根，属于较难题.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点，直线l与曲线C相交于AB两点，求的值.

【答案】（1），；（2）

【解析】(1)消去参数求解直线l的普通方程,再利用极坐标与直角坐标的对应关系与二倍角公式求解曲线C的直角坐标方程.

(2)利用参数的几何意义,联立直线与圆C的方程,利用韦达定理求解即可.

【详解】

(1)由,两式相加可得,即.

又,即

即.

(2)将化简成关于点的参数方程有：,（为参数）,

代入有,

则.

【点睛】

本题主要考查了参数方程与极坐标化成直角坐标的方法,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中等题型.

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）若对任意恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)将写成分段函数，画出图像再求解即可.

(2)利用柯西不等式求解即可.

【详解】

解：（1）,由图当,当

可知解集为

（2）由（1）知：,

由柯西不等式知：,

所以

（当且仅当,；,时分别取等）.

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的求解以及柯西不等式的运用,属于中等题型.