2020届重庆市高三高考模拟调研（三）（康德卷）数学（理）试题（解析版）
展开2020届重庆市高三高考模拟调研（三）（康德卷）数学（理）试题
一、单选题
1．设集合，集合，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出集合、，利用交集的定义可得出集合.
【详解】
，，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解以及指数函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.
【详解】
命题“，”为全称命题，其否定为“，”，
故选：A.
【点睛】
本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.
3．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用复数的乘法和除法法则可计算出结果.
【详解】
，则，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的计算，涉及复数的乘法和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
4．已知向量，，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．任意实数
【答案】B
【解析】计算出向量的坐标，由得，结合向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】
，，，
，，则，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用向量垂直的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题.
5．已知，且，三个数、、的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】试题分析：令，则，当时，，所以在区间上单调递减，所以当时，恒成立，即恒成立，令得，，即；令，则，所以在区间上单调递增，所以当时，，即，令得，即.综上所述有，故选A.
【考点】1.导数与函数单调性；2.函数与数列不等式.
6．不等式的解集为，则的展开式中常数项为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用一元二次不等式的解可求得实数的值，进而写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解.
【详解】
由题意可知，、是二次方程的两根，由韦达定理得，
所以的展开式通项为，
令，得，因此，二项展开式中常数项为.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于中等题.
7．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求出抛物线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求出的值，再利用离心率公式可求得双曲线的离心率的值.
【详解】
抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，
由题意得，解得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线和双曲线几何性质的应用，在涉及利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于中等题.
8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据程序框图得出，利用裂项相消法可求得输出的的值.
【详解】
，
由程序框图可知，输出的的值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.
9．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．
【详解】
①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；
②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；
③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；
④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.
综上所述，盗窃者是甲.
故选：A.
【点睛】
本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．
10．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为，以为直径的圆的方程为．
由，解得，故点P的坐标为；
由，解得，故点Q的坐标为．
∵，
∴，
∴，整理得，
∴，故得，
解得．选D．
点睛：
求双曲线的离心率时，可将条件中所给的几何关系转化为关于等式或不等式，再由及可得到关于的方程或不等式，然后解方程（或不等式）可得离心率（或其范围）．解题时要注意平面几何知识的运用，如何把几何图形中的位置关系化为数量关系是解题的关键．
11．已知定义域为的函数，对任意有（是函数的导函数），若为奇函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据函数为奇函数推导出，构造函数，利用导数可判断出函数的单调性，将所求不等式变形为，再利用函数的单调性即可得解.
【详解】
由于函数为奇函数，则，可得，
构造函数，则，且，
所以，函数在上单调递增，
由得，即，解得.
因此，满足不等式的的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数不等式的求解，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
12．已知、，，则当取最小值时，的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得出，进而可得出，利用基本不等式求出的值，利用等号成立的条件求得，进而可得出的值.
【详解】
由得，，
，等号成立时，即，
此时.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题
13．不等式组所表示的平面区域的面积为______.
【答案】
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，进而可求得区域的面积.
【详解】
不等式组即为，则不等式组所表示的平面区域由不等式组和所表示的平面区域合并而成，如下图所示：
平面区域为两个全等的等腰直角三角形，且腰长为，
因此，所求平面区域的面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查可行域面积的计算，解答的关键就是根据不等式组画出可行域，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
14．设数列的前项和为，若，则______.
【答案】
【解析】分别计算出、、、，进而得出，再由可得出的值.
【详解】
由题意可得，，，，
，
，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
15．在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，则的值为___________．
【答案】
【解析】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.
【考点】余弦定理及三角形面积公式的运用．
【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.
16．已知直线，及圆，设直线、分别与圆交于点、和点、，现随机向圆内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形内的概率为______.
【答案】
【解析】求出直线、的交点，恰为圆的圆心，且，进而可得知、是圆两条相互垂直的直径，由此计算出四边形的面积以及圆的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
直线的斜率为，直线的斜率为，则，，
将圆的方程化为标准方程得，圆心为，半径为.
联立直线、的方程，解得，两直线的交点为圆心，
所以，、是圆两条相互垂直的直径，
四边形的面积为，
因此，所求的概率为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查几何概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
17．如图，在四边形中，，，，.
（Ⅰ）当的面积最大时，求的面积；
（Ⅱ）若，求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由的面积最大可知，利用勾股定理求出，可判断出的形状，进而可求得的面积；
（Ⅱ）利用二倍角余弦公式求出，在中利用余弦定理求出，然后在中利用余弦定理求出.
【详解】
（Ⅰ）由知当时，的面积最大，
此时，，
此时，为等腰直角三角形，其面积为；
（Ⅱ），
在中，由余弦定理，，
，，则，
在中，由余弦定理得，
因此，.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
18．李华同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行.英语听力一共五题，每题分，李华同学做对一题的概率为，而后又进行了笔试，李华同学在做阅读（共题）时，没有看懂文章，李华同学十分纠结，决定用丢色子的方法选出答案，若丢出、、选，丢出选，丢出选，丢出选（已知道题的正确答案依次为、、、）
（I）求李华同学听力的分的概率；
（II）记随机变量李华做阅读时做对的题数为，求的分布列与期望.
【答案】（I）；（II）分布列见解析，随机变量的期望值为.
【解析】（I）由题意可知，李华同学做对道听力题，利用独立重复试验的概率公式可求出所求事件的概率；
（II）由题意可知随机变量的可能取值有、、、、，分别计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出其分布列，并利用期望公式计算出.
【详解】
（I）根据题意，听力一共五题，每题分，李华同学做对一题的概率为，
则听力得分的概率为；
（II）由题意，随机变量的可能取值为、、、、，
则李华做对道阅读题的概率分别为、、、，
则，
，
，
，
.
所以，随机变量的分布列为：
因此，随机变量的期望值为.
【点睛】
本题考查独立重复试验的概率问题，同时也考查了随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查计算能力，属于中等题.
19．设数列的前项和.已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否对一切正整数，有？说明理由.
【答案】（1）；（2）对一切正整数，有.
【解析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）对一切正整数n，有，
考虑当时，，再由裂项相消求和，即可得证。
【详解】
（1）
当时，
两式做差得
，
，当时，上式显然成立，。
（2）证明：当时，
可得
由
可得
即有<
则当时，不等式成立。
检验时，不等式也成立，综上对一切正整数n，有。
【点睛】
本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．
20．已知椭圆的离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作两直线与分别交椭圆于、两点，若直线与的斜率互为相反数，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据题意得出关于、、的方程组，解出、、的值，即可得出椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的方程为，可得出直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，可求得点的坐标，同理得出点的坐标，利用弦长公式求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】
（Ⅰ）由题意有：，解得，因此，椭圆的方程为；
（Ⅱ）设直线为，则直线为，
联立方程有：，
，解得.
，则.
同理可得：，.
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中弦长最值的计算，考查计算能力，属于中等题.
21．已知定义域为的函数满足（其中是的导函数，），.
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若对于任意正实数、都有成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，进而可求得函数的最大值；
（Ⅱ）利用基本不等式求出的最小值为，可得出，由（Ⅰ）得出，结合得出，进而可得出函数的单调性，由此可得，由此可得出的取值范围.
【详解】
（Ⅰ），.
令，得；令，得.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，；
（Ⅱ），
等号成立时，即，由题意得，①
由（Ⅰ），得，
又得，单调递减，
所以①式等价于，即.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了函数不等式的求解，利用导数分析函数的单调性是解答的关键，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线被曲线所截得的弦长为，求的值.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，将曲线的极坐标方程变形为，利用极坐标方程与普通方程的转换关系可得出曲线的普通方程；
（Ⅱ）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，可求得的值.
【详解】
（Ⅰ）.
所以，曲线的直角坐标方程为，
在直线的参数方程中消去参数，得，即直线的普通方程为；
（Ⅱ）圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
直线被曲线所截得的弦长，
解得.
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于中等题.
23．已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由得出，不等式两边平方，化简后解二次不等式即可；
（Ⅱ）由题意得出对任意的恒成立，利用绝对值三角不等式求得的最大值，可得出关于的不等式，解出即可.
【详解】
（Ⅰ）由得，则，得，
解得或，
因此，不等式的解集为；
（Ⅱ）不等式对恒成立，
即，即恒成立，
由绝对值三角不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，则或.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，涉及绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
