2020届高考冲刺高考仿真模拟卷（七） 数学（理）（解析版）

2020高考仿真模拟卷(七)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·湖北荆门四校六月考前模拟)已知集合M＝{x|x2<1|，N＝{y|y＝log2x，x>2}，则下列结论正确的是(　　)
A．M∩N＝N B．M∩(∁RN)＝∅
C．M∩N＝U D．M⊆(∁RN)
答案　D
解析　由题意得M＝{x|－11}，因为M∩N＝∅≠N，所以A错误；因为∁RN＝{y|y≤1}，M∩(∁RN)＝{x|－1 2．已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则＝(　　)
A．8－6i B．8＋6i
C．－8＋6i D．－8－6i
答案　B
解析　＝＝(6－8i)i＝8＋6i.
3．(2019·四川宜宾第三次诊断)设a，b是空间两条直线，则“a，b不平行”是“a，b是异面直线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a，b是异面直线⇒a，b不平行．反之，若直线a，b不平行，也可能相交，所以“a，b不平行”是“a，b是异面直线”的必要不充分条件．故选B.
4．设x，y满足约束条件则下列不等式恒成立的是(　　)
A．x≥1 B．y≤1
C．x－y＋2≥0 D．x－3y－6≤0
答案　C
解析　作出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知A(3，－1)，B(0,2)，C(0，－3)．这样易判断x≥1，y≤1都不恒成立，可排除A，B；又直线x－3y－6＝0过点(0，－2)，这样x－3y－6≤0不恒成立，可排除D.故选C.


5．在△ABC中，CA⊥CB，CA＝CB＝1，D为AB的中点，将向量绕点C按逆时针方向旋转90°得向量，则向量在向量方向上的投影为(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
答案　C
解析　如图，以CA，CB为x，y轴建立平面直角坐标系，则＝(1,0)，＝，

且＝，所以向量在向量方向上的投影为＝＝－.
6．(2019·湖南长郡中学考前冲刺)从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标值，其频率分布表如下：
质量指标值分组
[10,30)
[30,50)
[50,70]
频率
0.1
0.6
0.3
则可估计这种产品该项质量指标值的方差为(　　)
A．140 B．142
C．143 D．144
答案　D
解析　＝20×0.1＋40×0.6＋60×0.3＝44，所以方差为×[(20－44)2×1＋(40－44)2×6＋(60－44)2×3]＝144.
7．已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝(　　)
A．32 B．24
C．12 D．6
答案　B
解析　因为(2x－1)4＝[1＋2(x－1)]4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，所以a2＝C·22＝24.
8．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出，则最后输出的结果等于(　　)

A．aN＋1 B．aN＋2
C．aN＋1－1 D．aN＋2－1
答案　D
解析　第一次循环：i＝1，a3＝2，s＝s3＝4；第二次循环：i＝2，a4＝3，s＝s4＝7；第三次循环：i＝3，a5＝5，s＝s5＝12；第四次循环：i＝4，a6＝8，s＝s6＝20；第五次循环：i＝5，a7＝13，s＝s7＝33；…；第N－1次循环：此时i＋2＝N＋1>N，退出循环，故输出s＝sN，归纳可得sN＝aN＋2－1.故选D.
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)的周期为π
B．函数y＝f(x－π)为奇函数
C．函数f(x)在上单调递增
D．函数f(x)的图象关于点对称
答案　C
解析　观察图象可得，函数的最小值为－2，所以A＝2，
又由图象可知函数过点(0，)，，
即结合×<<×和0<φ<π.
可得ω＝，φ＝，则f(x)＝2sin，
显然A错误；
对于B，f(x－π)＝2sin＝2sin，不是奇函数；
对于D，f＝2sin＝2sin≠0，故D错误，由此可知选C.
10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．2 B．
C．4 D．
答案　D
解析　如图，该几何体可由棱长为2的正方体截得，其直观图如图所示，则该几何体的体积V＝VABE－DCF－VF－ADC＝×2×2×2－××2×2×2＝.

11. 如图，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是(　　)

A． B．
C． D．2
答案　C

解析　设抛物线C：y2＝4x的准线为l1：x＝－1.
直线y＝k(x＋1)(k>0)恒过点P(－1，0)，
过点A，B分别作AM⊥l1于点M，BN⊥l1于点N，
由|AM|＝2|BN|，所以点B为|AP|的中点．
连接OB，则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，
点B的横坐标为，所以点B的坐标为.
把代入直线l：y＝k(x＋1)(k>0)，
解得k＝.
12．已知函数f(x)＝－8cosπ，则函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和为(　　)
A．6 B．7
C．9 D．12
答案　A
解析　设函数h(x)＝，则h(x)＝＝的图象关于x＝对称，
设函数g(x)＝8cosπ，由π＝kπ，k∈Z，可得x＝－k，k∈Z，令k＝－1 可得x＝，所以函数g(x)＝8cosπ，也关于x＝对称，由图可知函数h(x)＝＝的图象与函数g(x)＝8cosπ的图象有4个交点，
所以函数f(x)＝－8cosπ在x∈(0，＋∞)上的所有零点个数为4，所以函数f(x)＝－8cosπ在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和为4×＝6.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在△ABC中，若4cos2－cos2(B＋C)＝，则角A＝________.
答案　
解析　∵A＋B＋C＝π，即B＋C＝π－A，
∴4cos2－cos2(B＋C)＝2(1＋cosA)－cos2A
＝－2cos2A＋2cosA＋3＝，
∴2cos2A－2cosA＋＝0，∴cosA＝，
又0 14．欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为b＝2sinxdx cm的圆面，中间有边长为a＝dx cm的正方形孔，油滴是直径0.2 cm的球，随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体正好落入孔中的概率是________．
答案　
解析　因为直径为b＝2sinxdx＝(－2cosx)＝4 cm的圆中有边长为a＝dx＝×＝1 cm的正方形，由几何概型的概率公式，得
“正好落入孔中”的概率为P＝＝＝.
15．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF＝16，则双曲线C的离心率为________．
答案　
解析　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为16，所以2a＝16，a＝8，
设F(－c,0)，双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，
可得|MF|＝＝b，
即有|OM|＝＝a，
由S△OMF＝16，可得ab＝16，所以b＝4.
又c＝＝＝4，
所以a＝8，b＝4，c＝4，
所以双曲线C的离心率为＝.
16．(2019·贵州凯里一中模拟)已知函数f(x)＝ex在点P(x1，f(x1))处的切线为l1，g(x)＝ln x在点Q(x2，g(x2))处的切线为l2，且l1与l2的斜率之积为1，则|PQ|的最小值为________．
答案　
解析　对f(x)，g(x)分别求导，得到f′(x)＝ex，g′(x)＝，所以kl1＝e，kl2＝，则e·＝1，即e＝x2，x1＝ln x2，又因为P(x1，e)，Q(x2，ln x2)，所以由两点间距离公式可得|PQ|2＝(x1－x2)2＋(e－ln x2)2＝2(x2－ln x2)2，
设h(x)＝x－ln x(x>0)，则h′(x)＝1－，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
所以x＝1时，h(x)取极小值，也是最小值，最小值为h(1)＝1，
所以|PQ|2的最小值为2，即|PQ|的最小值为.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若3S3＝2S2＋S4，且a5＝32.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)由3S3＝2S2＋S4，可得2S3－2S2＝S4－S3.
所以公比q＝2，又a5＝32，故an＝2n.4分
(2)因为bn＝＝，6分
所以Tn＝9分
＝＝－－.12分
18．(2019·安徽马鞍山一模)(本小题满分12分)已知三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，A1B⊥AC1，AC＝AA1＝4，BC＝2.

(1)求证：平面A1ACC1⊥平面ABC；
(2)若∠A1AC＝60°，在线段AC上是否存在一点P，使二面角B－A1P－C的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．
解　(1)证明：∵AC＝AA1，∴四边形AA1C1C为菱形，连接A1C，则A1C⊥AC1，又A1B⊥AC1，且A1C∩A1B＝A1，∴AC1⊥平面A1CB，2分
则AC1⊥BC，又∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴BC⊥平面A1ACC1，而BC⊂平面ABC，
∴平面A1ACC1⊥平面ABC.4分
(2)以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AC＝AA1＝4，BC＝2，
∠A1AC＝60°，
∴C(0,0,0)，B(0,2,0)，A(4，0,0)，A1(2,0,2)．
设线段AC上存在一点P，满足＝λ(0≤λ≤1)，使得二面角B－A1P－C的平面角的余弦值为，
则＝(－4λ，0,0)，＝＋＝(4，－2,0)＋(－4λ，0,0)＝(4－4λ，－2,0)，＝＋＝(2,0，－2)＋(－4λ，0,0)＝(2－4λ，0，－2)，＝(2,0,2)，6分
设平面BA1P的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由取x1＝1，得
m＝，8分
又平面A1PC的一个法向量为n＝(0,1,0)，
由|cos〈m，n〉|＝
＝＝，
解得λ＝或λ＝，因为0≤λ≤1，所以λ＝.
故在线段AC上存在一点P，满足＝，
使二面角B－A1P－C的平面角的余弦值为.12分
19．(2019·山东威海二模)(本小题满分12分)某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表：
甲市场
需求量(吨)
8
9
10
频数
30
40
30
乙市场
需求量(吨)
8
9
10
频数
20
50
30
以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两市场的需求量，T(单位：元)表示下个销售周期两市场的销售总利润．
(1)当n＝19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；
(2)以销售利润的期望为决策依据，判断n＝17与n＝18应选用哪—个．
解　(1)由题意可知，当X≥19时，T＝500×19＝9500；
当X<19时，T＝500×X－(19－X)×100＝600X－1900，
所以T与X的函数解析式为T＝3分
由题意可知，一个销售周期内甲市场的需求量为8,9,10的概率分别为0.3,0.4,0.3；乙市场的需求量为8,9,10的概率分别为0.2,0.5,0.3.
设销售的利润不少于8900元的事件记为A，
当X≥19时，T＝500×19＝9500>8900，
当X<19时，600X－1900≥8900，
解得X≥18，所以P(A)＝P(X≥18)．
由题意可知，P(X＝16)＝0.3×0.2＝0.06；
P(X＝17)＝0.3×0.5＋0.4×0.2＝0.23；
所以P(A)＝P(X≥18)＝1－0.06－0.23＝0.71.
所以销售利润不少于8900元的概率为0.71.6分
(2)由题意得P(X＝16)＝0.06，
P(X＝17)＝0.23，
P(X＝18)＝0.4×0.5＋0.3×0.3＋0.3×0.2＝0.35，
P(X＝19)＝0.4×0.3＋0.3×0.5＝0.27，
P(X＝20)＝0.3×0.3＝0.09.8分
①当n＝17时，E(T)＝(500×16－1×100)×0.06＋500×17×0.94＝8464；10分
②当n＝18时，E(T)＝(500×16－2×100)×0.06＋(500×17－1×100)×0.23＋18×500×0.71＝8790.
因为8464<8790，所以应选n＝18.12分
20．(2019·山东聊城二模)(本小题满分12分)已知以椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(km≠0)与椭圆E交于异于椭圆顶点的A，B两点，O为坐标原点，直线AO与椭圆E的另一个交点为C点，直线l和直线AO的斜率之积为1，直线BC与x轴交于点M.若直线BC，AM的斜率分别为k1，k2，试判断k1＋2k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
解　(1)由题意得解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.4分
(2)设A(x1，y1)(x1y1≠0)，B(x2，y2)(x2y2≠0)，
则C(－x1，－y1)，kAO＝，
因为kAO·k＝1，所以k＝，联立
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，6分
所以k1＝＝－＝－，
因为直线BC的方程为y＋y1＝－(x＋x1)，
令y＝0，由y1≠0，得x＝－3x1，9分
所以M(－3x1,0)，k2＝＝，
所以k1＋2k2＝－＋2×＝0.
所以k1＋2k2为定值0.12分
21．(2019·辽宁沈阳一模)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－1)2＋mln x，m∈R.
(1)当m＝2时，求函数f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程；
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1 解　(1)当m＝2时，f(x)＝(x－1)2＋2ln x，
其导数f′(x)＝2(x－1)＋，
所以f′(1)＝2，即切线斜率为2，又切点为(1,0)，
所以切线的方程为2x－y－2＝0.4分
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2(x－1)＋＝，
因为x1，x2为函数f(x)的两个极值点，所以x1，x2是方程2x2－2x＋m＝0的两个不等实根，由根与系数的关系知x1＋x2＝1，x1x2＝，(*)
又已知x1 ＝，
将(*)式代入得＝＝1－x2＋2x2ln x2，8分
令g(t)＝1－t＋2tln t，t∈，
则g′(t)＝2ln t＋1，令g′(t)＝0，解得t＝，
当x∈时，g′(t)<0，g(t)在上单调递减；
当x∈时，g′(t)>0，g(t)在上单调递增；
所以g(t)min＝g＝1－＝1－，
因为g(t) g＝－ln 2<0＝g(1)，所以g(t)<0.
所以的取值范围是.12分
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
(2)若直线l经过点M(1,0)且与曲线C交于A，B两点，求|AB|.
解　(1)对于曲线C：ρ＝，可化为ρsinθ＝.
把互化公式代入，得y＝，即y2＝4x，为抛物线．(可验证原点也在曲线上)5分
(2)根据已知条件可知直线l经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为x＋y＝1.
由消去x并整理得y2＋4y－4＝0，7分
令A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4.
所以|AB|＝·
＝×＝8.10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；
(2)若关于x的不等式f(x) 解　(1)由f(x)－f(x＋1)≤1可得
|2x－1|－|2x＋1|≤1.
所以或
或2分
于是x≥或－≤x<，即x≥－.4分
所以原不等式的解集为.5分
(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．
由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋2x＋1|＝2，8分
当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，
即x∈时等号成立，故m>2.
所以m的取值范围是(2，＋∞).10分