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2020届高考冲刺高考仿真模拟卷（五） 数学（理）（解析版）
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2020高考仿真模拟卷(五)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·山东四校联考)已知集合A＝{x|log2x<1}，集合B＝{y|y＝}，则A∪B＝( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(0,2) D．[0，＋∞)
答案 D
解析 由题意得A＝{x|0
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 ∵z＝＝＝＝2＋2i，
∴z在复平面对应的点(2,2)在第一象限．故选A.
3．(2019·北京师范大学附中模拟三)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－ D．＝－＋
答案 D
解析 如图，＝＋＝＋＝＋(＋)＝－.故选D.
4．(2019·广东梅州总复习质检)若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 D
解析 由题意得e＝＝，得＝，又因为双曲线焦点在y轴上，所以渐近线方程为y＝±x＝±x.故选D.
5．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数．素数对(p，p＋2)称为孪生素数．从10以内的素数中任取2个构成素数对，其中能构成孪生素数的概率为( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 10以内的素数有2,3,5,7，共4个，从中任取2个构成的素数对有A个．根据素数对(p，p＋2)称为孪生素数，知10以内的素数组成的素数对(3,5)，(5,7)为孪生素数，所以能构成孪生素数的概率P＝＝，故选D.
6．若正项等比数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N*)，则a6－a5的值是( )
A． B．－16
C．2 D．16
答案 D
解析 因为anan＋1＝22n(n∈N*)，所以an＋1an＋2＝22n＋2(n∈N*)，两式作比可得＝4(n∈N*)，
即q2＝4，又an>0，所以q＝2，
因为a1a2＝22＝4，所以2a＝4，
所以a1＝，a2＝2，
所以a6－a5＝(a2－a1)q4＝16.
7．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．4 B．
C．2 D．
答案 B
解析 由三视图还原几何体如图所示，
该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H－EFG，三角形ABC的面积S＝×2×＝.
∴该几何体的体积V＝×4－××2＝.
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框中可填入的条件是( )
A．i<10? B．i<9?
C．i>8? D．i<8?
答案 B
解析 由程序框图的功能可得S＝1×××…×＝××××…×＝××××…××＝＝，所以i＝8，i＋1＝9，故判断框中可填入i<9？.
9．已知函数f(x)＝－x3－7x＋sinx，若f(a2)＋f(a－2)>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，3)
C．(－1,2) D．(－2,1)
答案 D
解析 因为f′(x)＝－3x2－7＋cosx<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，又因为f(x)是奇函数，所以由f(a2)＋f(a－2)>0得f(a2)>－f(a－2)＝f(2－a)，即a2<2－a，即a2＋a－2<0，解得－2
A．∶ B．1∶
C．1∶3 D．1∶
答案 C
解析 由椭圆的光学性质可知，直线l′平分∠F1PF2，因为＝，
又＝＝，故＝.由|PF1|＝1，|PF1|＋|PF2|＝4，得|PF2|＝3，故|F1M|∶|F2M|＝1∶3.
11．设x1，x2分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零点(其中a>1)，则x1＋4x2的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)
C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
答案 D
解析 令f(x)＝x－a－x＝0，则＝ax，所以x1是指数函数y＝ax(a>1)的图象与y＝的图象的交点A的横坐标，且01)的图象与y＝的图象的交点B的横坐标．由于y＝ax与y＝logax互为反函数，从而有x1＝，所以x1＋4x2＝x1＋.由y＝x＋在(0,1)上单调递减，可知x1＋4x2>1＋＝5.故选D.
12．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论：
①△ABC被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．①②③ D．②③④
答案 B
解析 由已知可设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k>0)，则a＝k，b＝k，c＝k，所以a∶b∶c＝7∶5∶3，所以sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，所以③正确．又a，b，c的值不确定，所以①错误．在△ABC中，cosA＝＝－，A＝，所以②正确．因为b＋c＝8，所以b＝5，c＝3，所以S△ABC＝bcsinA＝，所以④错误．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设某总体是由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619…第1行
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238…第2行
答案 19
解析 由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：18,07,17,16,09,19，…，
故选出来的第6个个体编号为19.
14．在(x2＋2x＋)6的展开式中，x3y2的系数为________(用数字作答)．
答案 60
解析 (x2＋2x＋)6＝[(x2＋2x)＋y]6，它展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C(x2＋2x)6－ry，令＝2，
则r＝4，T5＝C(x2＋2x)2y2＝C(x4＋4x3＋4x2)y2，
∴x3y2的系数为C×4＝60.
15．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－2，点P为抛物线上的一点，则点P到直线y＝x＋3的距离的最小值为________．
答案
解析 由题设得抛物线方程为y2＝8x，
设P点坐标为P(x，y)，
则点P到直线y＝x＋3的距离为
d＝＝
＝＝≥，
当且仅当y＝4时取最小值.
16．(2019·广东深圳外国语学校第一次热身)已知函数f(x)＝x2cos，数列{an}中，an＝f(n)＋f(n＋1)(n∈N*)，则数列{an}的前40项和S40＝________.
答案 1680
解析 由题意得a1＝f(1)＋f(2)＝0－4＝－4，a2＝f(2)＋f(3)＝－4＋0＝－4，
a3＝f(3)＋f(4)＝0＋16＝16，a4＝f(4)＋f(5)＝16，
a5＝f(5)＋f(6)＝0－36＝－36，a6＝f(6)＋f(7)＝－36，…
可得数列{an}为－4，－4,16,16，－36，－36,64,64，－100，－100，…
即有数列{an}的前40项和
S40＝(－4－4＋16＋16)＋(－36－36＋64＋64)＋(－100－100＋144＋144)＋…＋(－1444－1444＋1600＋1600)＝24＋56＋88＋…＋312＝×10×(24＋312)＝1680.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A≠，且3sinAcosB＋bsin2A＝3sinC.
(1)求a的值；
(2)若A＝，求△ABC周长的最大值．
解 (1)由3sinAcosB＋bsin2A＝3sinC，得3sinAcosB＋bsinAcosA＝3sinC，由正弦定理，得3acosB＋abcosA＝3c，由余弦定理，得3a·＋ab·＝3c，整理得(b2＋c2－a2)(a－3)＝0，因为A≠，所以b2＋c2－a2≠0，所以a＝3.
(另解：由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB代入条件变形即可)6分
(2)在△ABC中，A＝，a＝3，由余弦定理得，9＝b2＋c2＋bc，因为b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－2＝(b＋c)2，所以(b＋c)2≤9，即(b＋c)2≤12，所以b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时，等号成立．
故当b＝c＝时，△ABC周长的最大值为3＋2.12分
18．(2019·广东潮州二模)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
解 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，
这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，
所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝.5分
(2)X可能的取值为400,500,800，6分
并且P(X＝800)＝，P(X＝500)＝，P(X＝400)＝1－－＝，故X的分布列如下：
X
400
500
800
P
故E(X)＝400×＋500×＋800×＝506.25.12分
19．(2019·湖南长沙长郡中学一模)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD＝λBC，AD∥BC，∠BCD＝90°，M为线段PB上一点．
(1)若λ＝，则在线段PB上是否存在点M，使得AM∥平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；
(2)已知PA＝2，AD＝1，若异面直线PA与CD成90°角，二面角B－PC－D的余弦值为－，求CD的长．
解 (1)延长BA，CD交于点E，连接PE，则PE⊂平面PCD，若AM∥平面PCD，由平面PBE∩平面PCD＝PE，AM⊂平面PBE，则AM∥PE，2分
由AD＝BC，AD∥BC，则＝＝，故点M是线段PB上靠近点P的一个三等分点.4分
(2)∵PA⊥AD，PA⊥CD，AD∩CD＝D，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
则PA⊥平面ABCD，5分
以点A为坐标原点，以AD，AP所在的直线分别为y轴、z轴，过点A与平面PAD垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设CD＝t，
则P(0,0,2)，D(0,1,0)，C(t,1,0)，B，则＝，＝(t,1，－2)，＝(－t,0,0)，7分
设平面PBC和平面PCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
由n1⊥，n1⊥，得
即令x1＝1，则z1＝，
故n1＝.
同理可求得n2＝(0,2,1)，9分
则cosθ＝，则＝，
解得t＝±2(负值舍去)，
故t＝2.∴CD＝2.12分
20．(2018·北京高考)(本小题满分12分)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
解 (1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.3分
(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)．
设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．
由得x2＋4kx－4＝0.4分
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.
直线OM的方程为y＝x.
令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－.
同理得点B的横坐标xB＝－.7分
设点D(0，n)，则＝，
＝，
·＝＋(n＋1)2
＝＋(n＋1)2
＝＋(n＋1)2
＝－4＋(n＋1)2.9分
令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3).12分
21．(2019·山东潍坊一模)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln x－ax－x(a∈R)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设函数g(x)＝emx＋x2－mx(x>0，m∈R)，若存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，证明：g(x1·x2)
所以x＝ea，当0
所以f(x)在(0，ea)上单调递减，在(ea，＋∞)上单调递增，
所以f(x)极小值＝f(ea)＝－ea，
所以函数f(x)的极小值为－ea，无极大值.4分
(2)证明：g′(x)＝memx＋2x－m＝m(emx－1)＋2x，
当m>0时，由于x>0，所以emx>1，emx－1>0，
即g′(x)>0，
当m<0时，由于x>0，所以emx<1，emx－1<0，
即g′(x)>0，
当m＝0时，g′(x)＝2x>0，综上，g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，6分
故只须证明x1x2
即证ln x1＋ln x2<2×－2，
即ln x1＋ln x2－2×<－2，即
<－2，
即<－2，
即<－2，
即ln ·<－2，
即ln ·<－2.9分
不妨设x1>x2，t＝>1，即证ln t·<－2，
ln t>－2×，即证ln t＋2×>0，
设h(t)＝ln t＋2×(t>1)，
则h′(t)＝＋2×
＝－＝>0，
故h(t)在(1，＋∞)上单调递增．
因而h(t)>h(1)＝0，即ln t＋2×>0，因此结论成立.12分
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为＋y2＝1，曲线C2的参数方程为(φ为参数)，曲线C3的方程为y＝xtanα，曲线C3与曲线C1，C2分别交于P，Q两点．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)求|OP|2·|OQ|2的取值范围．
解 (1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，即ρ2＝，2分
由(φ为参数)，消去φ，
即得曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入化简，
可得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.5分
(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝α.6分
由(1)得|OP|2＝，|OQ|2＝4sin2α，
即|OP|2·|OQ|2＝＝，8分
因为0<α<，所以0
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－5|－|x＋3|.
(1)解关于x的不等式f(x)≥x＋1；
(2)记函数f(x)的最大值为m，若a>0，b>0，ea·e4b＝e2ab－m，求ab的最小值．
解 (1)当x≤－3时，由5－x＋x＋3≥x＋1，得x≤7，所以x≤－3；当－3
(2)因为|x－5|－|x＋3|≤|x－5－x－3|＝8，所以函数f(x)的最大值m＝8.6分
因为ea·e4b＝e2ab－8，所以a＋4b＝2ab－8.
又a>0，b>0，所以a＋4b≥2＝4，当且仅当a＝4b时，等号成立，7分
所以2ab－8－4≥0，即ab－4－2≥0.
所以有(－1)2≥5.8分
又>0，所以≥1＋或≤1－(舍去)，
ab≥6＋2，即ab的最小值为6＋2.10分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·山东四校联考)已知集合A＝{x|log2x<1}，集合B＝{y|y＝}，则A∪B＝( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(0,2) D．[0，＋∞)
答案 D
解析 由题意得A＝{x|0
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 ∵z＝＝＝＝2＋2i，
∴z在复平面对应的点(2,2)在第一象限．故选A.
3．(2019·北京师范大学附中模拟三)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－ D．＝－＋
答案 D
解析 如图，＝＋＝＋＝＋(＋)＝－.故选D.
4．(2019·广东梅州总复习质检)若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 D
解析 由题意得e＝＝，得＝，又因为双曲线焦点在y轴上，所以渐近线方程为y＝±x＝±x.故选D.
5．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数．素数对(p，p＋2)称为孪生素数．从10以内的素数中任取2个构成素数对，其中能构成孪生素数的概率为( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 10以内的素数有2,3,5,7，共4个，从中任取2个构成的素数对有A个．根据素数对(p，p＋2)称为孪生素数，知10以内的素数组成的素数对(3,5)，(5,7)为孪生素数，所以能构成孪生素数的概率P＝＝，故选D.
6．若正项等比数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N*)，则a6－a5的值是( )
A． B．－16
C．2 D．16
答案 D
解析 因为anan＋1＝22n(n∈N*)，所以an＋1an＋2＝22n＋2(n∈N*)，两式作比可得＝4(n∈N*)，
即q2＝4，又an>0，所以q＝2，
因为a1a2＝22＝4，所以2a＝4，
所以a1＝，a2＝2，
所以a6－a5＝(a2－a1)q4＝16.
7．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．4 B．
C．2 D．
答案 B
解析 由三视图还原几何体如图所示，
该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H－EFG，三角形ABC的面积S＝×2×＝.
∴该几何体的体积V＝×4－××2＝.
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框中可填入的条件是( )
A．i<10? B．i<9?
C．i>8? D．i<8?
答案 B
解析 由程序框图的功能可得S＝1×××…×＝××××…×＝××××…××＝＝，所以i＝8，i＋1＝9，故判断框中可填入i<9？.
9．已知函数f(x)＝－x3－7x＋sinx，若f(a2)＋f(a－2)>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，3)
C．(－1,2) D．(－2,1)
答案 D
解析 因为f′(x)＝－3x2－7＋cosx<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，又因为f(x)是奇函数，所以由f(a2)＋f(a－2)>0得f(a2)>－f(a－2)＝f(2－a)，即a2<2－a，即a2＋a－2<0，解得－2
A．∶ B．1∶
C．1∶3 D．1∶
答案 C
解析 由椭圆的光学性质可知，直线l′平分∠F1PF2，因为＝，
又＝＝，故＝.由|PF1|＝1，|PF1|＋|PF2|＝4，得|PF2|＝3，故|F1M|∶|F2M|＝1∶3.
11．设x1，x2分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零点(其中a>1)，则x1＋4x2的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)
C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
答案 D
解析 令f(x)＝x－a－x＝0，则＝ax，所以x1是指数函数y＝ax(a>1)的图象与y＝的图象的交点A的横坐标，且0
12．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论：
①△ABC被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．①②③ D．②③④
答案 B
解析 由已知可设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k>0)，则a＝k，b＝k，c＝k，所以a∶b∶c＝7∶5∶3，所以sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，所以③正确．又a，b，c的值不确定，所以①错误．在△ABC中，cosA＝＝－，A＝，所以②正确．因为b＋c＝8，所以b＝5，c＝3，所以S△ABC＝bcsinA＝，所以④错误．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设某总体是由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619…第1行
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238…第2行
答案 19
解析 由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：18,07,17,16,09,19，…，
故选出来的第6个个体编号为19.
14．在(x2＋2x＋)6的展开式中，x3y2的系数为________(用数字作答)．
答案 60
解析 (x2＋2x＋)6＝[(x2＋2x)＋y]6，它展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C(x2＋2x)6－ry，令＝2，
则r＝4，T5＝C(x2＋2x)2y2＝C(x4＋4x3＋4x2)y2，
∴x3y2的系数为C×4＝60.
15．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－2，点P为抛物线上的一点，则点P到直线y＝x＋3的距离的最小值为________．
答案
解析 由题设得抛物线方程为y2＝8x，
设P点坐标为P(x，y)，
则点P到直线y＝x＋3的距离为
d＝＝
＝＝≥，
当且仅当y＝4时取最小值.
16．(2019·广东深圳外国语学校第一次热身)已知函数f(x)＝x2cos，数列{an}中，an＝f(n)＋f(n＋1)(n∈N*)，则数列{an}的前40项和S40＝________.
答案 1680
解析 由题意得a1＝f(1)＋f(2)＝0－4＝－4，a2＝f(2)＋f(3)＝－4＋0＝－4，
a3＝f(3)＋f(4)＝0＋16＝16，a4＝f(4)＋f(5)＝16，
a5＝f(5)＋f(6)＝0－36＝－36，a6＝f(6)＋f(7)＝－36，…
可得数列{an}为－4，－4,16,16，－36，－36,64,64，－100，－100，…
即有数列{an}的前40项和
S40＝(－4－4＋16＋16)＋(－36－36＋64＋64)＋(－100－100＋144＋144)＋…＋(－1444－1444＋1600＋1600)＝24＋56＋88＋…＋312＝×10×(24＋312)＝1680.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A≠，且3sinAcosB＋bsin2A＝3sinC.
(1)求a的值；
(2)若A＝，求△ABC周长的最大值．
解 (1)由3sinAcosB＋bsin2A＝3sinC，得3sinAcosB＋bsinAcosA＝3sinC，由正弦定理，得3acosB＋abcosA＝3c，由余弦定理，得3a·＋ab·＝3c，整理得(b2＋c2－a2)(a－3)＝0，因为A≠，所以b2＋c2－a2≠0，所以a＝3.
(另解：由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB代入条件变形即可)6分
(2)在△ABC中，A＝，a＝3，由余弦定理得，9＝b2＋c2＋bc，因为b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－2＝(b＋c)2，所以(b＋c)2≤9，即(b＋c)2≤12，所以b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时，等号成立．
故当b＝c＝时，△ABC周长的最大值为3＋2.12分
18．(2019·广东潮州二模)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
解 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，
这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，
所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝.5分
(2)X可能的取值为400,500,800，6分
并且P(X＝800)＝，P(X＝500)＝，P(X＝400)＝1－－＝，故X的分布列如下：
X
400
500
800
P
故E(X)＝400×＋500×＋800×＝506.25.12分
19．(2019·湖南长沙长郡中学一模)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD＝λBC，AD∥BC，∠BCD＝90°，M为线段PB上一点．
(1)若λ＝，则在线段PB上是否存在点M，使得AM∥平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；
(2)已知PA＝2，AD＝1，若异面直线PA与CD成90°角，二面角B－PC－D的余弦值为－，求CD的长．
解 (1)延长BA，CD交于点E，连接PE，则PE⊂平面PCD，若AM∥平面PCD，由平面PBE∩平面PCD＝PE，AM⊂平面PBE，则AM∥PE，2分
由AD＝BC，AD∥BC，则＝＝，故点M是线段PB上靠近点P的一个三等分点.4分
(2)∵PA⊥AD，PA⊥CD，AD∩CD＝D，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
则PA⊥平面ABCD，5分
以点A为坐标原点，以AD，AP所在的直线分别为y轴、z轴，过点A与平面PAD垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设CD＝t，
则P(0,0,2)，D(0,1,0)，C(t,1,0)，B，则＝，＝(t,1，－2)，＝(－t,0,0)，7分
设平面PBC和平面PCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
由n1⊥，n1⊥，得
即令x1＝1，则z1＝，
故n1＝.
同理可求得n2＝(0,2,1)，9分
则cosθ＝，则＝，
解得t＝±2(负值舍去)，
故t＝2.∴CD＝2.12分
20．(2018·北京高考)(本小题满分12分)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
解 (1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.3分
(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)．
设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．
由得x2＋4kx－4＝0.4分
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.
直线OM的方程为y＝x.
令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－.
同理得点B的横坐标xB＝－.7分
设点D(0，n)，则＝，
＝，
·＝＋(n＋1)2
＝＋(n＋1)2
＝＋(n＋1)2
＝－4＋(n＋1)2.9分
令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3).12分
21．(2019·山东潍坊一模)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln x－ax－x(a∈R)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设函数g(x)＝emx＋x2－mx(x>0，m∈R)，若存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，证明：g(x1·x2)
所以x＝ea，当0
所以f(x)在(0，ea)上单调递减，在(ea，＋∞)上单调递增，
所以f(x)极小值＝f(ea)＝－ea，
所以函数f(x)的极小值为－ea，无极大值.4分
(2)证明：g′(x)＝memx＋2x－m＝m(emx－1)＋2x，
当m>0时，由于x>0，所以emx>1，emx－1>0，
即g′(x)>0，
当m<0时，由于x>0，所以emx<1，emx－1<0，
即g′(x)>0，
当m＝0时，g′(x)＝2x>0，综上，g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，6分
故只须证明x1x2
即证ln x1＋ln x2<2×－2，
即ln x1＋ln x2－2×<－2，即
<－2，
即<－2，
即<－2，
即ln ·<－2，
即ln ·<－2.9分
不妨设x1>x2，t＝>1，即证ln t·<－2，
ln t>－2×，即证ln t＋2×>0，
设h(t)＝ln t＋2×(t>1)，
则h′(t)＝＋2×
＝－＝>0，
故h(t)在(1，＋∞)上单调递增．
因而h(t)>h(1)＝0，即ln t＋2×>0，因此结论成立.12分
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为＋y2＝1，曲线C2的参数方程为(φ为参数)，曲线C3的方程为y＝xtanα，曲线C3与曲线C1，C2分别交于P，Q两点．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)求|OP|2·|OQ|2的取值范围．
解 (1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，即ρ2＝，2分
由(φ为参数)，消去φ，
即得曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入化简，
可得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.5分
(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝α.6分
由(1)得|OP|2＝，|OQ|2＝4sin2α，
即|OP|2·|OQ|2＝＝，8分
因为0<α<，所以0
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－5|－|x＋3|.
(1)解关于x的不等式f(x)≥x＋1；
(2)记函数f(x)的最大值为m，若a>0，b>0，ea·e4b＝e2ab－m，求ab的最小值．
解 (1)当x≤－3时，由5－x＋x＋3≥x＋1，得x≤7，所以x≤－3；当－3
(2)因为|x－5|－|x＋3|≤|x－5－x－3|＝8，所以函数f(x)的最大值m＝8.6分
因为ea·e4b＝e2ab－8，所以a＋4b＝2ab－8.
又a>0，b>0，所以a＋4b≥2＝4，当且仅当a＝4b时，等号成立，7分
所以2ab－8－4≥0，即ab－4－2≥0.
所以有(－1)2≥5.8分
又>0，所以≥1＋或≤1－(舍去)，
ab≥6＋2，即ab的最小值为6＋2.10分
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