2020届高考冲刺高考仿真模拟卷（三） 数学（理）（解析版）

2020高考仿真模拟卷(三)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合P＝{(x，y)|y＝k}，Q＝{(x，y)|y＝2x}，已知P∩Q＝∅，那么k的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(1，＋∞)
答案　C
解析　由P∩Q＝∅可得，函数y＝2x的图象与直线y＝k无公共点，所以k∈(－∞，0]．
2．“(綈p)∨q为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　(綈p)∨q为真命题包括以下三种情况：p假q真、p假q假、p真q真；p∧(綈q)为假命题包括以下三种情况：p假q真、p假q假、p真q真；所以“(綈p)∨q为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的充要条件．
3．欧拉公式 eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知eai为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　eai＝cosa＋isina是纯虚数，所以cosa＝0，sina≠0，所以a＝kπ＋，k∈Z，所以2a＝2kπ＋π，k∈Z，sin2a＝0，所以＝＝＝＋i，在复平面内对应的点位于第一象限．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是(　　)


A．①② B．②④
C．②③ D．①④
答案　D
解析　从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；
从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；
从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况．
5．(2019·陕西西安八校4月联考)已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中，x3的系数为56，则实数a的值为(　　)
A．6或－1 B．－1或4
C．6或5 D．4或5
答案　A
解析　因为(x＋1)6(ax－1)2＝(x＋1)6(a2x2－2ax＋1)，所以(x＋1)6(ax－1)2的展开式中x3的系数是C＋C(－2a)＋Ca2＝6a2－30a＋20，∴6a2－30a＋20＝56，解得a＝6或－1.故选A.
6．(2019·内蒙古呼伦贝尔统一考试一)函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最大值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
答案　B
解析　函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝sin＝sin的图象，则－＋φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝，f(x)＝sin，由题意x∈，得2x＋∈，∴sin∈，∴函数f(x)＝sin在区间的最大值为.故选B.
7．已知sinα－cosα＝，则cos＋sin＝(　　)
A．0 B．
C．－ D．
答案　C
解析　依题意，sin＝；因为－＝，
故α＋＝＋，则cos＝cos＝－sin＝－；
而－＝π，故＝π＋，
故sin＝－sin＝－，
故cos＋sin＝－.
8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若|PF|＝5，则△PFK的面积为(　　)
A．4 B．5
C．8 D．10
答案　A
解析　由抛物线的方程y2＝4x，可得
F(1,0)，K(－1,0)，准线方程为x＝－1，
设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，即x0＝4，
不妨设P(x0，y0)在第一象限，则P(4,4)，
所以S△PKF＝|FK|·|y0|＝×2×4＝4.
9．如图，△GCD为正三角形，AB为△GCD的中位线，AB＝3AE，BC＝3BF，O为DC的中点，则向量，夹角的余弦值为(　　)

A． B．－
C．－ D．
答案　B
解析　解法一：以O为坐标原点，DC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如图所示，设△GCD的边长为4，则A(－1，)，E，B(1，)，C(2,0)，F，

＝，＝，
·＝－，||＝，||＝，
cos〈，〉＝＝－.
解法二：设△GCD的边长为4，连接OE，OA，如图，易得△ADO为正三角形，∠OAE＝60°，AO＝2，AE＝，由余弦定理得OE＝，同理得EF＝，OF＝，∴∠EFO＝60°，∴cos〈，〉＝cos120°＝－.


10．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4×100米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：
甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；
丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；
王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
答案　C
解析　由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意，故跑第三棒的人是丙．
11．已知点P为双曲线－＝1(a>b>0)右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有S△IPF1－S△IPF2≥S△IF1F2成立，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．(1,2)
C．(0,3] D．(1,3]
答案　D
解析　设△PF1F2的内切圆的半径为r，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
S△IPF1＝|PF1|·r，
S△IPF2＝|PF2|·r，
S△IF1F2＝·2c·r＝cr，
由题意，得|PF1|·r－|PF2|·r≥cr，
故c≤(|PF1|－|PF2|)＝3a，
故e＝≤3，又e>1，
所以双曲线的离心率的取值范围是(1,3]．
12．已知函数f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－x＋，若对任意给定的m∈[0,2]，关于x的方程f(x)＝g(m)在区间[0,2]上总存在唯一的一个解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．
C．(0,1)∪{－1} D．(－1,0)∪
答案　B
解析　f′(x)＝6ax2－6ax＝6ax(x－1)，
①当a＝0时，f(x)＝1，g(x)＝，
显然不可能满足题意；
②当a>0时，f′(x)＝6ax(x－1)，
x，f′(x)，f(x)的变化如下：

又因为当a>0时，g(x)＝－x＋是减函数，
对任意m∈[0,2]，g(m)∈，
由题意，必有g(m)max≤f(x)max，且g(m)min>f(0)，
故解得≤a＜1；
③当a<0时，g(x)＝－x＋是增函数，不符合题意．
综上，a∈.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为________．

答案　50 m
解析　根据三角形内角和为180°，所以∠BAC＝30°，
由正弦定理＝，得＝.
解得AB＝50 m.
14．(2019·广东广州综合测试一)已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f＝________.
答案　
解析　由题意得f(2)＝8＋alog32＝6，变形得alog32＝－2，
则f＝3＋alog3＝－alog32＝.
15．已知实数x，y满足约束条件则sin(x＋y)的取值范围为________(用区间表示)．
答案　
解析　作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分所示)．
设z＝x＋y，作出直线l：x＋y＝z，

当直线l过点B时，z取得最小值；当直线l过点A时，z取得最大值，所以≤x＋y≤，所以sin(x＋y)∈.
16．(2019·广东测试二)圆锥Ω的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角大小为180°的扇形．正四棱柱ABCD－A′B′C′D′的上底面的顶点A′，B′，C′，D′均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则圆锥的高为________，此正四棱柱的体积的最大值为________．
答案　2　
解析　设圆锥的母线长为l，圆锥底面周长为2π×2＝4π＝π×l，
∴l＝4，∴圆锥的高为＝2.

设正四棱柱ABCD－A′B′C′D′的底面边长为2a，高为h，则＝，即2－a＝h，正四棱柱的体积V＝4a2h＝4a2(2－a)，设f(a)＝4a2(2－a)，f′(a)＝4a(4－3a)，令f′(a)＝0得a＝，当00，当a>，f′(a)<0，故f(a)的最大值为f＝.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若数列{logan}是公差为－1的等差数列，且a2＋2是a1，a3的等差中项．
(1)证明：数列{an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若Tn是数列的前n项和，且Tn 解　(1)证明：依题意，logan＋1－logan＝－1，
故log＝－1，故＝3；2分
故数列{an}是公比为3的等比数列．
因为2(a2＋2)＝a1＋a3，故2(3a1＋2)＝a1＋9a1，4分
解得a1＝1，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.6分
(2)依题意，＝，故数列是以1为首项，
为公比的等比数列，8分
故Tn＝＋＋＋…＋＝1＋＋…＋＝＝<，10分
故M≥，即实数M的取值范围为.12分
18．(2019·湖南师大附中考前演练五)(本小题满分12分)在五边形AEBCD中，BC⊥CD，CD∥AB，AB＝2CD＝2BC，AE⊥BE，AE＝BE(如图1)．将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图2)．

(1)求证：平面ABE⊥平面DOE；
(2)求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小．
解　(1)证明：由题意AB＝2CD，O是线段AB的中点，则OB＝CD.又CD∥AB，则四边形OBCD为平行四边形，又BC⊥CD，则AB⊥OD，因AE＝BE，OB＝OA，则EO⊥AB，2分
又EO∩DO＝O，则AB⊥平面EOD，
又AB⊂平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD. 4分

(2)由(1)易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，△EAB为等腰直角三角形，O为线段AB的中点，且AB＝2CD＝2BC，则OA＝OB＝OD＝OE，
取CD＝BC＝1，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)，则＝(－1,0,0)，＝(0，－1,1)，设平面ECD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得平面ECD的一个法向量n＝(0,1,1)，因为OD⊥平面ABE，则平面ABE的一个法向量为＝(0,1,0)，8分
设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，
则cosθ＝|cos〈，n〉|＝＝，
因为θ∈(0,90°)，所以θ＝45°，故平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为45°. 12分
19．(2019·东北三省四市一模)(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1的短轴端点为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.

(1)求动点N的轨迹方程；
(2)求四边形MB2NB1的面积的最大值．
解　(1)解法一：设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)，
∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，
∴直线NB1：y＋3＝－x，　①
直线NB2：y－3＝－x，　②2分
①×②得y2－9＝x2，
又∵＋＝1，∴y2－9＝x2＝－2x2，
整理得点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0).6分
解法二：设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)，
∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，
∴直线NB1：y＋3＝－x，　①
直线NB2：y－3＝－x，　②2分
由①②解得又＋＝1，
∴x＝－，故代入＋＝1得＋＝1.
∴点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0).6分
解法三：设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)，
则直线NB1：y＝－x－3，　①
直线MB1与椭圆C：＋＝1的交点M的坐标为.2分
则直线MB2的斜率为kMB2＝＝－.
∴直线NB2：y＝2kx＋3，　②
由①②解得，点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0).6分
(2)解法一：设N(x1，y1)，M(x0，y0)(x0≠0)．
由(1)解法二得x1＝－，
四边形MB2NB1的面积
S＝|B1B2|(|x1|＋|x0|)＝3×|x0|＝|x0|，9分
∵0 解法二：由(1)解法三得四边形MB2NB1的面积
S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)
＝3×＝
＝≤，
当且仅当|k|＝时，S取得最大值.12分
20．(2019·吉林长春质量监测二)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex＋bx－1(b∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝ln x有两个实数根，求实数b的取值范围．
解　(1)由题可得f′(x)＝ex＋b，
当b≥0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当b<0时，当x≥ln (－b)时，f′(x)>0，f(x)在(ln (－b)，＋∞)上单调递增；
当x (2)令g(x)＝ex＋bx－1－ln x，g′(x)＝ex＋b－，易知g′(x)单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为x0，g′(x0)＝0，即e＋b－＝0，则b＝－e，故若有g(x)有两个零点，需满足g(x0)<0，
即ex0＋bx0－1－ln x0＝ex0＋x0－1－ln x0＝e－ex0－ln x0<0，7分
令h(x)＝ex－exx－ln x，则h′(x)＝－exx－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又h(1)＝0，所以e－ex0－ln x0<0的解集为(1，＋∞)，
由b＝－e，所以b<1－e.9分
又当b<1－e时，ex＋bx－1－ln x>x＋bx－ln x，
则g(eb)>eb＋beb－ln eb＝(b＋1)eb－b，
令t(x)＝(x＋1)ex－x＝(x＋1)(ex－1)＋1，
由于x<1－e，所以x＋1<2－e<0，ex<1，所以(x＋1)(ex－1)>0，
故t(x)＝(x＋1)ex－x>0，所以g(eb)>0，故g(eb)g(x0)<0，g(x)在(0，x0)上有唯一零点，另一方面，在(x0，＋∞)上，当x→＋∞时，
由ex增长速度大，所以g(x)>0，综上有b<1－e.12分
21．(2019·福建厦门第一次(3月)质检)(本小题满分12分)某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图(如图1)：

产品的质量指数在[50,70)的为三等品，在[70,90)的为二等品，在[90,110]的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5,3.5,5.5(单位：元)，以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．
(1)求每件产品的平均销售利润；
(2)该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i＝1，2,3,4,5)数据做了初步处理，得到的散点图(如图2)及一些统计量的值．
i
i
(ui－)(vi－)
(ui－)2
16.30
24.87
0.41
1.64
表中ui＝ln xi，vi＝ln yi，＝i，＝i，
根据散点图判断，y＝a·xb可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程．
①建立y关于x的回归方程；
②用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？(收益＝销售利润－营销费用，取e4.159＝64)
参考公式：对于一组数据：(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ .
解　(1)设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5,3.5,5.5，
由直方图可得一、二、三等品的频率分别为0.4,0.45,0.15，2分
所以P(ξ＝1.5)＝0.15，P(ξ＝3.5)＝0.45，P(ξ＝5.5)＝0.4，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
1.5
3.5
5.5
P
0.15
0.45
0.4
则E(ξ)＝1.5×0.15＋3.5×0.45＋5.5×0.4＝4，故每件产品的平均销售利润为4元. 4分
(2)①由y＝a·xb得，ln y＝ln (a·xb)＝ln a＋bln x，
令u＝ln x，v＝ln y，c＝ln a，则v＝c＋bu，
由表中数据可得，＝＝＝0.25，
则＝－ ＝－0.25×＝4.159，
所以＝4.159＋0.25u，7分
即ln ＝4.159＋0.25ln x＝ln ，
因为e4.159＝64，所以＝64x，故所求的回归方程为y＝64x.9分
②设年收益为z万元，则z＝[E(ξ)]y－x＝256x－x，10分
设t＝x，f(t)＝256t－t4，
则f′(t)＝256－4t3＝4(64－t3)，
当t∈(0,4)时，f′(t)>0，f(t)在(0,4)上单调递增，当t∈(4，＋∞)时，f′(t)<0，f(t)在(4，＋∞)上单调递减．所以，当t＝4，即x＝256时，z有最大值为768，
即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.12分
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ＝.
(1)试判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)若直线θ＝(ρ∈R)与直线l交于点A，与曲线C交于M，N两点，求|AM|·|AN|的值．
解　(1)曲线C的普通方程为x2＋(y－)2＝7，
圆心C(0，)，半径r＝，2分
直线l的普通方程为x＋y－2＝0，3分
∵圆心C到直线l的距离
d＝＝ ∴直线l与圆C相交.5分
(2)曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ－4＝0，
将θ＝代入ρ＝，得ρ＝1，7分
将θ＝代入ρ2－2ρsinθ－4＝0得ρ2－3ρ－4＝0，
则ρ1＝4，ρ2＝－1.8分
∴|AM|＝ρ1－ρ＝3，|AN|＝ρ－ρ2＝2，9分
∴|AM|·|AN|＝3×2＝6.10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝ln (|x－2|＋|ax－a|)(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的值域；
(2)若∀x∈R，都有f(x)＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝ln (|x－2|＋|x－1|)，
∵|x－2|＋|x－1|≥|(x－2)－(x－1)|＝1，3分
∴ln (|x－2|＋|x－1|)≥ln 1＝0，即函数f(x)的值域为[0，＋∞).5分
(2)由f(x)＋1≥0，即ln (|x－2|＋|ax－a|)≥－1，
得|x－2|＋|ax－a|≥，
令g(x)＝|x－2|＋|ax－a|，
则函数g(x)的最小值g(x)min＝{g(1)，g(2)}min，7分
∴只需满足9分
解得a≤－或a≥，
故实数a的取值范围是∪.10分