2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（七） 数学（文）（解析版）

2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（七） 数学（文）（解析版）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{－1,2,3}，B＝{0,1,2,3,4}，则∁B(A∩B)＝(　　)
A．{0,4} B．{0,1,4} C．{1,4} D．{0,1}
答案　B
解析　由题意得A∩B＝{2,3}，所以∁B(A∩B)＝{0,1,4}．
2．已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则＝(　　)
A．8－6i B．8＋6i C．－8＋6i D．－8－6i
答案　B
解析　＝＝(6－8i)i＝8＋6i.
3．已知p：∀x∈R，x2＋2x＋a>0；q：2a<8.若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，3)
C．(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案　C
解析　p∧q为真，所以p为真，q为真，p为真⇒Δ＝4－4a<0⇒a>1；q为真⇒a<3，所以p∧q为真，得1 4．设x，y满足约束条件则下列不等式恒成立的是(　　)
A．x≥1 B．y≤1
C．x－y＋2≥0 D．x－3y－6≤0
答案　C
解析　作出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知A(3，－1)，B(0,2)，C(0，－3)．这样易判断x≥1，y≤1都不恒成立，可排除A，B；又直线x－3y－6＝0过点(0，－2)，这样x－3y－6≤0不恒成立，可排除D.故选C.


5．在△ABC中，CA⊥CB，CA＝CB＝1，D为AB的中点，将向量绕点C按逆时针方向旋转90°得向量，则向量在向量方向上的投影为(　　)
A．－1 B．1 C．－ D.
答案　C
解析　如图，以CA，CB为x，y轴建立平面直角坐标系，

则＝(1,0)，＝，且＝，所以向量在向量方向上的投影为＝＝－.
6．(2019·黑龙江哈尔滨三中二模)函数f(x)＝log2(x2－3x－4)的单调减区间为(　　)
A．(－∞，－1) B.
C. D．(4，＋∞)
答案　A
解析　由x2－3x－4＞0⇒(x－4)(x＋1)＞0⇒x＞4或x＜－1，所以函数f(x)＝log2(x2－3x－4)的单调减区间为(－∞，－1)，故选A.
7．从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标值，其频率分布表如下：
质量指标值分组
[10,30)
[30,50)
[50,70]
频率
0.1
0.6
0.3
则可估计这种产品该项质量指标值的方差为(　　)
A．140 B．142 C．143 D．144
答案　D
解析　＝20×0.1＋40×0.6＋60×0.3＝44，
所以方差为×[(20－44)2×1＋(40－44)2×6＋(60－44)2×3]＝144.
8．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出，则最后输出的结果等于(　　)

A．aN＋1 B．aN＋2 C．aN＋1－1 D．aN＋2－1
答案　D
解析　第一次循环：i＝1，a3＝2，s＝s3＝4；第二次循环：i＝2，a4＝3，s＝s4＝7；第三次循环：i＝3，a5＝5，s＝s5＝12；第四次循环：i＝4，a6＝8，s＝s6＝20；第五次循环：i＝5，a7＝13，s＝s7＝33；…；第N－1次循环：此时i＋2＝N＋1>N，退出循环，故输出s＝sN，归纳可得sN＝aN＋2－1.故选D.
9．(2019·资阳模拟)如图，平面α与平面β相交于BC，AB⊂α，CD⊂β，点A∉BC，点D∉BC，则下列叙述错误的是(　　)

A．直线AD与BC是异面直线
B．过AD只能作一个平面与BC平行
C．过AD只能作一个平面与BC垂直
D．过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行
答案　C
解析　根据异面直线的判定定理，知直线AD与BC是异面直线，所以A正确；根据异面直线的性质，知过AD只能作一个平面与BC平行，所以B正确；根据异面直线的性质，知过AD不一定能作一个平面与BC垂直，只有AD⊥BC时能，所以C错误；根据线面垂直与平行的判定定理，知过点D只能作唯一平面与BC垂直，但过点D可作无数个平面与BC平行，所以D正确．故选C.
10．(2019·济南摸底考试)函数f(x)＝sin2x－(cos2x－sin2x)的图象为C，则下列结论正确的是(　　)
①f(x)的最小正周期为π；
②对任意的x∈R，都有f＋f＝0；
③f(x)在上是增函数；
④由y＝2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
答案　C
解析　f(x)＝sin2x－(cos2x－sin2x)＝sin2x－cos2x＝2sin.f(x)的最小正周期T＝＝π，故①正确．f＝2sin＝2sin0＝0，即函数f(x)的图象关于点对称，即对任意x∈R，都有f＋f＝0成立，故②正确．③当x∈时，2x∈，2x－∈，所以f(x)在上是增函数，故③正确．④由y＝2sin2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2sin＝2sin的图象，故④错误．故正确的结论是①②③.选C.
11．如图，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是(　　)

A. B.
C. D．2
答案　C
解析　设抛物线C：y2＝4x的准线为l1：x＝－1.
直线y＝k(x＋1)(k>0)恒过点P(－1，0)，
过点A，B分别作AM⊥l1于点M，BN⊥l1于点N，
由|AM|＝2|BN|，所以点B为|AP|的中点．

连接OB，则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，
点B的横坐标为，所以点B的坐标为.
把代入直线l：y＝k(x＋1)(k>0)，
解得k＝.
12．已知函数f(x)＝－8cosπ，则函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和为(　　)
A．6 B．7 C．9 D．12
答案　A
解析　设函数h(x)＝，则h(x)＝＝的图象关于x＝对称，

设函数g(x)＝8cosπ，由π＝kπ，
k∈Z，可得x＝－k，k∈Z，令k＝－1可得x＝，所以函数g(x)＝8cosπ，也关于x＝对称，由图可知函数h(x)＝＝的图象与函数g(x)＝8cosπ的图象有4个交点，所以函数f(x)＝－8cosπ在x∈(0，＋∞)上的所有零点个数为4，所以函数f(x)＝－8cosπ在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和为4×＝6.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
答案　
解析　设等比数列的公比为q，又a1＝1，则an＝a1qn－1＝qn－1.
∵S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，
即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，
∴S4＝＝.
14．在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝kx＋与圆x2＋y2＝1相交的概率为________．
答案　
解析　由圆心到直线的距离d＝<1，得k>或k<－，所以所求概率为P＝.
15．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF＝16，则双曲线C的离心率为________．
答案　
解析　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为16，所以2a＝16，a＝8，
设F(－c,0)，双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，
可得|MF|＝＝b，即有|OM|＝＝a，
由S△OMF＝16，可得ab＝16，
所以b＝4.
又c＝＝＝4，
所以a＝8，b＝4，c＝4，
所以双曲线C的离心率为＝.
16．△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b＝sin，a＝1，D是以BC为直径的圆上一点，则|AD|的最大值为________．
答案　＋1
解析　由b＝sin，a＝1，
得b＝asin，由正弦定理，
得sinB＝sinAsin.
∴sin(A＋C)＝sinAsin，
∴sinAcosC＋cosAsinC
＝sinA，
∴sinAcosC＋cosAsinC＝sinAsinC＋sinAcosC，
∴cosAsinC＝sinAsinC，
∵sinC≠0，∴sinA＝cosA，∴tanA＝1，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
如图，作出△ABC的外接圆，当直线AD经过△ABC外接圆的圆心且垂直于BC时，|AD|最大．

设BC的中点为O，此时，|OA|＝＝＝＝，
∴|AD|＝|OA|＋|OD|＝＋＝＋1.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n＋2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)Sn＝n2＋n＋2，①
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)＋2；②
①－②得an＝2n，当n＝1时，a1＝4，
an＝(n∈N*).5分
(2)由题意，bn＝7分
当n＝1时，T1＝；8分
当n≥2时，
Tn＝＋×＝＋×＝，易知T1＝符合此式.11分
故Tn＝.12分
18．(2019·四川百校冲刺模拟)(本小题满分12分)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是棱AB的中点．

(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)若E是棱BB1的中点，求三棱锥C－AA1E的体积与三棱柱A1B1C1－ABC的体积之比．
解　(1)证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD，
∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，
∴四边形AA1C1C是平行四边形，2分
∴O是AC1的中点，又D是棱AB的中点，
∴OD∥BC1，又OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD.4分

(2)设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，则三棱柱A1B1C1－ABC的体积V＝S△ABC·h，
又V＝VC1－ABB1A1＋VC－ABC1，VC－ABC1＝VC1－ABC＝S△ABC·h＝，∴VC1－ABB1A1＝，7分
∵CC1∥BB1，CC1⊄平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，
∴CC1∥平面ABB1A1，
∴VC－ABB1A1＝VC1－ABB1A1＝， 9分
∵S△A1AE＝S平行四边形AA1B1B，
∴VC－AA1E＝VC－ABB1A1＝×＝，
∴三棱锥C－AA1E的体积与三棱柱A1B1C1－ABC的体积之比为.12分
19．(2019·辽宁葫芦岛二模)(本小题满分12分)伴随着科技的迅速发展，国民对“5G”一词越来越熟悉，“5G”全称是第五代移动电话行动通信标准，也称第五代移动通信技术，2017年12月10日，工信部正式对外公布，已向中国电信、中国移动、中国联通发放了5G系统中低频率使用许可.2019年2月18日上海虹桥火车站正式启动5G网络建设．为了了解某市市民对“5G”的关注情况，通过问卷调查等方式对该市300万人口进行统计分析，数据分析结果显示：约60%的市民“掌握一定5G知识(即问卷调查分数在80分以上)”将这部分市民称为“5G爱好者”．某机构在“5G爱好者”中随机抽取了年龄在15～45岁之间的100人按照年龄绘制成以下频率分布直方图(如图所示)，其分组区间为(15,20]，(20,25]，(25,30]，(30,35]，(35,40]，(40,45]．

(1)求频率分布直方图中的a的值；
(2)估计全市居民中35岁以上的“5G爱好者”的人数；
(3)若该市政府制定政策：按照年龄从小到大，选拔45%的“5G爱好者”进行5G的专业知识深度培养，将当选者称为“5G达人”，按照上述政策及频率分布直方图，估计该市“5G达人”的年龄上限．
解　(1)依题意，得(0.014＋0.04＋0.06＋a＋0.02＋0.016)×5＝1，所以a＝0.05.3分
(2)根据题意，全市“5G爱好者”有300×60%＝180(万人)，4分
由样本频率分布直方图可知，35岁以上“5G爱好者”的频率为(0.02＋0.016)×5＝0.18，5分
据此可估计全市35岁以上“5G爱好者”的人数为180×0.18＝32.4(万人).6分
(3)样本频率分布直方图中前两组的频率之和为(0.014＋0.04)×5＝0.27＜45%，8分
前3组频率之和为(0.014＋0.04＋0.06)×5＝0.57＞45%，10分
所以年龄上限在25～30之间，不妨设年龄上限为m，由0.27＋(m－25)×0.06＝0.45，得m＝28.
所以估计该市“5G达人”的年龄上限为28岁.12分
20．(2019·湖南长郡中学一模)(本小题满分12分)已知动点G(x，y)满足 ＋ ＝4.
(1)求动点G的轨迹C的方程；
(2)若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，|AB|＝1，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN(O为坐标原点)为平行四边形．若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
解　(1)由已知，得动点G到点P(－，0)，E(，0)的距离之和为4，且|PE|＝2＜4，2分
∴动点G的轨迹为椭圆，且a＝2，c＝，∴b＝1，
∴动点G的轨迹C的方程为＋y2＝1.4分
(2)由题意，知直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为y＝kx＋t，
∵|AB|＝1，∴2＋t2＝1，即＋t2＝1，　① 6分
联立得(4k2＋1)x2＋8ktx＋4(t2－1)＝0,
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，
∵四边形OMQN为平行四边形，
∴Q，8分
∴2＋2＝1，
整理，得4t2＝4k2＋1，　②10分
将①代入②可得4k4＋k2＋1＝0，该方程无解，故这样的直线不存在. 12分
21．(2019·河北五个一名校联盟第一次诊断)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)令g(a)＝，若对任意的x＞0，a＞0，恒有f(x)≥g(a)成立，求实数k的最大整数．
解　(1)此函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；2分
当a＞0，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞0，x∈(0，a)时，f(x)单调递减，x∈(a，＋∞)时，f(x)单调递增.4分
(2)由(1)，知f(x)min＝f(a)＝ln a＋1，∴f(x)≥g(a)恒成立，则只需ln a＋1≥g(a)恒成立，
则ln a＋1≥＝k－5－，
即ln a＋≥k－6, 6分
令h(a)＝ln a＋，则只需h(a)min≥k－6，
∵h′(a)＝－＝，
∴a∈(0,2)时，h′(a)＜0，h(a)单调递减，
a∈(2，＋∞)时，h′(a)＞0，h(a)单调递增，∴h(a)min＝h(2)＝ln 2＋1，10分
即ln 2＋1≥k－6，∴k≤ln 2＋7，∴k的最大整数为7.12分
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
(2)若直线l经过点M(1,0)且与曲线C交于A，B两点，求|AB|.
解　(1)对于曲线C：ρ＝，可化为ρsinθ＝.
把互化公式代入，得y＝，即y2＝4x，为抛物线．(可验证原点也在曲线上)5分
(2)根据已知条件可知直线l经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为x＋y＝1.
由消去x并整理得y2＋4y－4＝0，7分
令A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4.
所以|AB|＝·
＝×＝8.10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；
(2)若关于x的不等式f(x) 解　(1)由f(x)－f(x＋1)≤1可得|2x－1|－|2x＋1|≤1.所以或
或2分
于是x≥或－≤x<，即x≥－，4分
所以原不等式的解集为.5分
(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．
由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋2x＋1|＝2，8分
当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈时等号成立，故m>2.
所以m的取值范围是(2，＋∞).10分