2020届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次联合模拟数学（理）试题（解析版）

2020届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次联合模拟数学（理）试题

一、单选题

1．设集合,则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先化简集合，再进行交集运算

【详解】

,

故选：B

【点睛】

本题考查集合的运算，熟练解二次不等式是关键，是基础题

2．设则的实部为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用复数的除法运算化简的形式，进而确定实部

【详解】

,实部为

故选:D

【点睛】

本题考查复数的运算，意在考查计算能力，是基础题

3．若则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用函数单调性判断A,特值法排除

【详解】

函数是减函数,由得,取,可知不成立

故选：A

【点睛】

本题考查不等式性质，考查函数单调性，特值排除是常见方法

4．函数的部分图像大致为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用奇偶性排除，利用函数值排除

【详解】

为偶函数,从而排除,而当时时,,排除,

故选：

【点睛】

本题考查函数图像的识别，结合奇偶性及特值排除是常见方法，是基础题

5．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用特殊元素及捆绑法得“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,利用古典概型求解即可

【详解】

“仁义礼智信”排成一排,任意排有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,故概率

故选：A

【点睛】

本题考查排列问题及古典概型，特殊元素优先考虑，捆绑插空是常见方法，是基础题

6．两个单位向量满足:,则的夹角的余弦值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用数量积运算求得再利用夹角公式运算

【详解】

故选：B

【点睛】

本题考查向量的数量积运算，意在考查计算能力，是基础题

7．已知的面积为,则（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用二倍角公式及平方关系求得，由面积公式求出，再由余弦定理求解即可

【详解】

因为,的面积为,又,所以,由余弦定理,得,,

故选：C

【点睛】

本题考查正余弦定理，考查面积公式，意在考查计算能力，是基础题

8．在三棱柱中,平面,则异面直线与所成角的余弦值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先证明平面再将棱柱可以补成长方体，连接,则是与所成角或其补角，利用余弦定理求解即可

【详解】

平面,

平面三棱柱可以补成长方体,连接,则是与所成角或其补角,

令,则,在中,由余弦定理得

故选：D

【点睛】

本题考查线面垂直的判定及性质，考查异面直线所成角，三棱柱补成四棱柱是常见方法

9．已知双曲线的右焦点为,渐近线为,过点的直线与的交点分别为.若,则（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将直线方程联立求得，利用两点间距离公式计算

【详解】

由题的方程为,过与垂直的直线的方程为,由联立得,由联立得

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线方程，考查直线交点及两点间距离，考查计算能力，是基础题

10．若在上是减函数,则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】化简，求得单调减区间，利用集合的包含关系求解

【详解】

，令，解得函数的单调减区间为,由题意知

故选：C

【点睛】

本题考查余弦函数的单调性，考查计算能力，是基础题

11．已知函数的定义域为,且满足,当时,则函数在区间上的零点个数为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别求出函数在，， ，的最值，进而由交点个数确定的范围

【详解】

当时,最大值为,

当时,

其最大值为,

当时,，在上是增函数,在上是减函数,,

当时,,最大值为,

当时, ,在上是增函数,在上是减函数,

又当时,的图像与直线有个交点,函数在区间上有个零点

故选：C

【点睛】

本题考查函数的单调性与最值，考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，是中档题，逐段分析函数最值是关键

12．已知过点的直线与抛物线交于点,线段AB的垂直平分线过点是抛物线的焦点,则的面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设方程为与抛物线联立利用韦达定理得中点为,利用垂直斜率乘积为-1，求得 再利用面积公式求解

【详解】

设方程为,显然,联立与

中点为,由条件知,,,,又的面积为：

故选：A

【点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系，考查垂直的应用，利用韦达定理得直线方程是关键，是中档题

二、填空题

13．某班有男生人,女生24人,现用分层抽样方法,从该班抽出人,则从女生中抽出的人数为_______.

【答案】

【解析】利用分层抽样成比例求解

【详解】

由分层抽样的性质得

故答案为：6

【点睛】

本题考查分层抽样的定义与性质，意在考查对定义的理解，是基础题

14．若曲线,在点处的切线过点,则实数的值为__________.

【答案】

【解析】求导得直线的斜率，利用点斜式求方程得a值

【详解】

切线方程为,切线过点

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的运算及几何意义，考查计算能力，是基础题

15．已知,则__________.

【答案】

【解析】切化弦结合平方关系得，再利用两角差的正切公式求解

【详解】

由得

故答案为：

【点睛】

本题考查切化弦及同角三角函数基本关系，考查两角差的正切公式，意在考查计算能力，是中档题

16．已知正方体的各棱长为,圆锥的底面圆是正方形的内切圆,顶点是正方形的中心,则圆锥的体积为 ____________,侧面积为___________.

【答案】       

【解析】由题意得底面半径及母线长，，再利用体积与表面积公式求解

【详解】

圆锥的高为,底面半径为 ,母线长为, 所以体积为

,侧面积为

故答案为：；

【点睛】

本题考查圆锥的性质，考查体积与表面积公式，考查计算能力，是基础题

三、解答题

17．如图,三棱锥中,是中点,

求证：平面

求二面角的正弦值

【答案】（1）见解析

（2）

【解析】（1）推导平面得，由得即可证明；

（2）)以为原点,方向为轴的正方向,过平行于的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,求得两个平面的法向量得二面角

【详解】

证明：是中点,

平面平面

平面

是边上中线,

平面,平面;

(2)以为原点,方向为轴的正方向,过平行于的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,则

设平面的一个法向量为,则

取,得

同样可求得平面的- -个法向量

面角的正弦值为

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，考查二面角的向量求法，考查推理能力及空间想象能力，是中档题

18．“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出份,统计得分绘出频率分布直方图如图.

(1)求出图中的值,并求样本中,答卷成绩在上的人数;

(2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取名,记成绩在分以上(含分)的人数为,求的分布列和期望.

【答案】（1）；60

（2）的分布列为

的数学期望为

【解析】（1）利用面积和为1求得进而求得频率则人数可求

（2）建立二项分布求得分布列及期望

【详解】

解:依题意,故

故成绩在上的频率为

答卷成绩在上的人数为

 由样本的频率分布直方图知成绩在分以上(含分)的频率为

依题意,

故,

所以的分布列为

的数学期望为

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，考查二项分布，熟练掌握二项分布是关键，是中档题

19．已知数列和满足

求证：是等比数列,是等差数列

求数列和的通项公式

【答案】（1）见解析

（2）

【解析】（1）解方程组得，并构造，即可证明

（2）利用（1）得，解方程组求得通项公式

【详解】

证明:

是首项为,公比为的等比数列,

······

是首项为,公差为的等差数列.

由知, 

【点睛】

本题考查利用递推关系证明等差与等比数列，考查变形求解能力，熟记等差与等比的定义与性质是关键，是中档题

20．已知椭圆的右焦点为,离心率为,直线被椭圆截得的弦长为

求椭圆的标准方程

若是椭圆上一点,是坐标原点,过点与直线平行的直线与椭圆的两个交点为,且,求的最大值

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）利用，得，设椭圆方程，与直线联立由弦长公式得c=1，方程可求

（2）过与直线平行的直线方程，与椭圆联立韦达定理得，向量坐标化得，代入椭圆方程，利用点在椭圆上整体代入得，结合基本不等式求最值即可

【详解】

设椭圆的焦距为,则

椭圆的方程化为

由得

由条件知

椭圆的方程为.

由知,过与直线平行的直线方程

由得

设,则

由点是椭圆上一点,得

,当且仅当时,取等号,

的最大值为

【点睛】

本题考查椭圆方程，考查弦长公式，考查向量坐标化及点在曲线上的综合运用，考查计算能力及整体代入思想，是难题

21．已知函数

若在处取得极值,求函数的单调区间

若是函数的两个极值点,且,求证：

【答案】（1）单调增区间为,单调减区间为

（2）见解析

【解析】（1）求导，由得，进而确定单调区间

（2）由,有两个极值点,得，利用根与系数的关系即可证明

【详解】

(1)的定义域为, ,

在处取得极值,

.

时,；时,

的单调增区间为,单调减区间为

,有两个极值点,

,

故得证

【点睛】

本题考查函数的极值与单调性，考查利用极值证明不等式，考查转化与化归能力，是中档题

22．

在平面直角坐标系中,圆的参数方程为（为参数）,过点且倾斜角为的直线与圆交于两点

当时,求的取值范围

若的中点为点,求点的轨迹的参数方程.

【答案】（1）

（2）（）

【解析】（1）讨论直线倾斜角,当时，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式求解

（2）利用,得的轨迹是以为直径的圆,去掉点，进而得参数方程

【详解】

圆的圆心为,半径为,

当时,直线的方程为到距离为,圆与相切，不合题意；

当时,设直线方程为即,

设到距离为,则，

又

即,

由及与圆相交知

过点与圆交于两点中点满足,

的轨迹是以为直径的圆,去掉点,

中点为,点的轨迹方程为(参数).

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的中点弦的几何性质，熟记几何性质是关键，是基础题

23．已知函数

当时,求不等式的解集

当时,不等式成立,求实数的取值范围

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）分类讨论去绝对值解不等式

（2）去绝对值分离参数求最值即可

【详解】

时,,

当时,不成立，

当时，，

当时,不等式成立，

的解集为

(2)当时，化为,，

，

，

在上是减函数，故；在上是增函数，故

,的取值范围是.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题求参数，注意分离参数是常见方法，是中档题