2020届广西梧州市贺州市高三毕业班摸底调研考试数学（理）试题（解析版）

2020届广西梧州市贺州市高三毕业班摸底调研考试数学（理）试题


一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解出集合，利用交集的定义可得出集合.
【详解】
或，又，因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得出，利用复数的除法运算可得出复数.
【详解】
由得.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.
3．已知向量、都是单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用平面向量数量积的运算律可计算出的值.
【详解】
向量、都是单位向量，则，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，考查计算能力，属于基础题.
4．在等差数列{an}中，a2+a3＝1+a4，a5＝9，则a8＝（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】根据题意，应用基本量列出方程，即可求解.
【详解】
设数列的公差为，
则可得，
解得，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，属基础题.
5．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将代数式变形为，求出展开式的通项，利用的指数为，求出参数值，然后代入展开式通项可求得的系数.
【详解】
，
展开式通项为，
令，得，，则展开式中的系数为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了二项展开式中指定项的系数问题，考查计算能力，是基础题．
6．将函数y＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数f（x）的图象，则f（x）＝（ ）
A．sin2x B．﹣sin2x
C．sin（2x） D．﹣sin（2x）
【答案】D
【解析】根据“左加右减”的原则，对函数解析式进行变换即可.
【详解】
将函数y＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度后，
可得函数解析式为.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数图象的变换，属基础题.
7．在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长丈尺，圆周长为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺.”（注：丈等于尺），则这个问题中，葛藤长的最小值为（ ）
A．丈尺 B．丈尺 C．丈尺 D．丈尺
【答案】C
【解析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长尺，另一条直角边长（尺），利用勾股定理，可得结论．
【详解】
由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长尺，另一条直角边长（尺），

因此葛藤长的最小值为（尺），即为丈尺.
故选：C.
【点睛】
本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，正确运用圆柱的侧面展开图是关键．
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝2，则输出的T＝（ ）

A．8 B．﹣8 C．﹣56 D．﹣72
【答案】D
【解析】模拟执行程序框图中的程序，即可求得输出结果.
【详解】
模拟执行程序如下：
，满足，继续执行；
，满足，继续执行；
，满足，继续执行；
，满足，继续执行；
，满足，继续执行；
，不满足，输出.
故选：D.
【点睛】
本题考查循环结构的程序执行，属基础题.
9．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断.
【详解】
令，故可得
因为，故函数为奇函数，排除；
又因为，
故选：A.
【点睛】
本题考查函数图像的选择，涉及指数运算，属基础题.
10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，AB⊥BC，AB+BC＝4，若三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球为球O，则球O表面积的最小值为（ ）
A．17π B．18π C．19π D．20π
【答案】A
【解析】根据三棱柱的几何特点，找出球心，构造直角三角形，求解半径的最小值即可.
【详解】
根据题意，取中点为，过作的平行线，
交于，取中点为，作图如下：

因为三棱柱是直三棱柱，且底面为直角三角形，
故外接球的球心即为的中点.
则设外接球的半径为，则，.
为底面三角形的外接圆半径，
由勾股定理可得，以及，
容易得
由均值不等式可得，
当且仅当时取得最小值.
即的最小值为.
在直角三角形中，，
由上述推导可知，.
故.
故选：A.
【点睛】
本题考查三棱柱外球球半径的求解，涉及用均值不等式求解最值，属综合中档题.
11．已知函数满足，且当时，，则当时，方程的实数解的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件推出，函数为周期函数，求出函数的解析式，画出函数的图象，研究函数交点即可．
【详解】
函数满足，可得，，函数是以为周期的函数，
当时，，
当时，，
方程的实数解的个数也就是函数和y=− 图象的交点的个数．
在同一直角坐标系中作出这两个函数在区间上的图象，由图象得交点个数为，

因此，当时，方程的实数解的个数.
故选：D.
【点睛】
本题考查方程根的个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线上的一点，若线段与轴的交点恰好是线段的中点，，其中，为坐标原点，则双曲线的渐近线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用平面向量的数量积可知，根据中点坐标公式得出点坐标，代入双曲线方程得出、的关系，即可得出渐近线方程．
【详解】
是的中点，是的中点，，，，
，，故点的坐标为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，得，即，.
因此，双曲线的渐近线方程为.
故选：B.

【点睛】
本题考查了双曲线渐近线方程的求解，考查了平面向量数量积定义的应用，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.


二、填空题
13．某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：、、、，若低于分的人数是，则成绩不低于分的学生人数是___________.

【答案】
【解析】计算出总人数，再求出成绩不低于分的学生的频率，乘以总人数即可得到结果．
【详解】
根据题意，低于分的学生频率为，
又低于分的学生人数是，所以总人数为人，
根据频率分布直方图知成绩不低于分的学生频率为，
故成绩不低于分的学生人数是人.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的识别与应用，属于基础题．
14．曲线y＝ex﹣1+xlnx在点（1,1）处的切线方程为_____．
【答案】2x﹣y﹣1＝0
【解析】求导，得到函数在(1,1)处的导数，即为切线斜率，再用点斜式即可求得.
【详解】
因为y＝ex﹣1+xlnx，故
故当时，即过点的切线的斜率为；
故可得切线方程为，整理得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义，求解过曲线上一点的切线方程，属基础题.
15．已知椭圆的右顶点为A，左，右焦点为F1，F2，过点F2与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点为B．若|F1F2|＝2，|F2B|，则点F1到直线AB的距离为_____．
【答案】
【解析】根据已知信息，即可求得椭圆方程，再用点到直线的距离公式即可求得.
【详解】
根据题意，作图如下：

把x＝c代入椭圆方程可得y＝±，
∵|F1F2|＝2，|F2B|，
∴，解得a＝2，b．
不妨设B在第一象限，则A（2,0），B（1,），F1（﹣1,0）．
∴直线AB的方程为yx+3，即3x+2y﹣6＝0．
∴点F1到直线AB的距离为d．
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，涉及点到直线的距离公式的应用，属基础题.
16．已知数列满足，，若，则数列的首项的取值范围为___________.
【答案】
【解析】利用构造法求得，由可得出，可得，进而可求得的取值范围.
【详解】
，.
若，得，可知，此时，，数列是递减数列，不合乎题意；
若，得，则数列是以为公比的等比数列，
所以，，则，
，且，
即，
整理得，，则，
易知数列是单调递减数列，则，解得.
因此，数列的首项的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查利用构造法求数列通项，同时也考查了数列不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.

三、解答题
17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b﹣c）（sinA+sinB+sinC）＝bsinA．
（1）求C；
（2）若a＝2，c＝5，求△ABC的面积．
【答案】（1）C．（2）．
【解析】（1）利用正弦定理将角化边，反凑余弦定理即可求得角；
（2）利用正弦定理，结合（1）中所求，求得，再利用面积公式即可求得.
【详解】
（1）∵
∴由正弦定理可得，
整理可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴由余弦定理可得cosC，
∵C（0,π），
∴C．
（2）∵a＝2，c＝5，C，
∴由正弦定理，可得，
可得sinA，
∵a＜c，A为锐角，
∴可得cosA，
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC
（），
∴S△ABCacsinB．
【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合基础题.
18．某校为了了解高一新生是否愿意参加军训，随机调查了80名新生，得到如下2×2列联表

愿意
不愿意
合计
男
x
5
M
女
y
z
40
合计
N
25
80

（1）写出表中x，y，z，M，N的值，并判断是否有99.9%的把握认为愿意参加军训与性别有关；
（2）在被调查的不愿意参加军训的学生中，随机抽出3人，记这3人中男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考公式：
附：
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)M＝40，x＝35，z＝20，y＝20，N＝55，有99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关．(2)分布列见详解，E(ξ）.
【解析】（1）根据表格中数据，即可求得x，y，z，M，N的值，再计算，结合参考表格即可作出判断；
（2）列出ξ的取值，根据古典概型概率计算公式求得分布列，再根据分布列计算数学期望即可.
【详解】
（1）由表格数据可知：
M＝80﹣40＝40，
x＝40﹣5＝35，
z＝25﹣5＝20，
y＝40﹣20＝20，
N＝80﹣25＝55，
∵K213.09＞10.828，
∴有99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关．
（2）在被调查的不愿意参加军训的学生中，随机抽出3人，
记这3人中男生的人数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3，
P（ξ＝0），
P（ξ＝1），
P（ξ＝2），
P（ξ＝3），
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P






E（ξ）．
【点睛】
本题考查独立性检验中的计算，以及古典概型的概率计算，涉及离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，属综合中档题.
19．在长方体中，底面是边长为的正方形，是的中点，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接，利用中位线定理得出，再证明出四边形为平行四边形，可得出，进而得出，然后利用线面平行的判定定理可得出结论；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能计算出平面与平面所成二面角的余弦值，进而利用同角三角函数的基本关系可得出结果.
【详解】
（1）连接，、分别为、的中点，所以，
在长方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，，，
平面，平面，平面；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、、，

，，，，
设平面的法向量为，
由，令，可得，得，
设平面的法向量为，
由，令，得，得，
设平面与平面所成二面角的大小为，
，则.
【点睛】
本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为（0,1）
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）x2＝4y；（2）存在N（0,1）
【解析】（1）根据抛物线的交点坐标，即可得到，从而求得抛物线方程；
（2）根据抛物线与直线相切，求得切点的坐标，以及之间的等量关系，再求出点的坐标，从而写出圆的方程，再求圆恒过的定点即可.
【详解】
（1）由题意，，
所以p＝2，
∴抛物线C的方程为：x2＝4y；
（2）由得x2﹣4kx﹣4m＝0（），
由直线y＝kx+m与抛物线C只有一个公共点，
可得，解得m＝﹣k2，代入到（）式得x＝2k，
∴P（2k,k2），
当y＝﹣1时，代入到y＝kx﹣k2
得Q（），
∴以PQ为直径的圆的方程为：
，
整理得：，
若圆恒过定点，则，
解得，
∴存在点N（0,1），使得以PQ为直径的圆恒过点N．
【点睛】
本题考查由焦点坐标求抛物线的方程，以及抛物线中圆恒过定点的问题，属综合中档题.
21．已知函数，是实数.
（1）当时，求证：在定义域内是增函数；
（2）讨论函数的零点个数.
【答案】（1）证明见解析；（2）只有一个零点.
【解析】（1）求出，证明出当时，对任意的恒成立，即可得出结论；
（2）由得出，设，其中，然后利用导数讨论函数的单调性，根据单调性和函数值的情况分析根的情况．
【详解】
（1）函数的定义域为，且，
令，则，令.
当时，；当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，即对任意的恒成立.
因此，函数在定义域上为增函数；
（2）由，可得，
设，其中，则，
令，，则，令.
当时，；当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，
对任意的，，即函数在上单调递增，
当时，，当时，.
对任意的，直线与函数的图象有且只有一个交点.
因此，函数有且只有一个零点.
【点睛】
本题证明单调性需要分析二阶导数，这是高考试题的一个趋势，第二问分离参数法使得运算量大大减少，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
22．已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）直线l与曲线C是否有公共点？并说明理由；
（2）若直线l与两坐标轴的交点为A，B，点P是曲线C上的一点，求△PAB的面积的最大值．
【答案】（1）没有交点，理由见详解；（2）3．
【解析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将直线的极坐标方程化为直角方程，联立方程组，根据的情况，求得两曲线的相交情况；
（2）由（1）中所求，容易得点的坐标，设点坐标为（3cosθ,sinθ），再将问题转化为三角函数值域的问题即可求得.
【详解】
（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），
转换为直角坐标方程为．
直线l的极坐标方程为，
整理得，
转换为直角坐标方程为x﹣y﹣6＝0，
联立方程组
消去，可得10y2+12y+27＝0，
由于△＝122﹣4×10×27＜0，所以直线与椭圆没有交点．
（2）直线的直角坐标方程为x﹣y﹣6＝0，
与x轴的交点A（6，0）与y轴的交点坐标为B（0，6），
所以|AB|，
设椭圆上点P的坐标为（3cosθ，sinθ），
所以点P到直线l的距离d
，
当时，，
则3．
【点睛】
本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程和直角方程之间的转化，以及利用参数法求解三角形面积的最值问题，属综合中档题.
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）当f（x）≤1，求实数a的取值范围．
【答案】（1）[2,+∞）；（2）0≤a≤4．
【解析】（1）将函数写成分段函数的形式，画出函数图像，数形结合求得不等式解集；
（2）将恒成立问题转化为求解绝对值不等式的最值问题，再利用绝对值三角不等式求得最值即可.
【详解】
（1）a＝1时，
函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣2|﹣1；
画函数f（x）的图象，如图所示；

由图象知，不等式f（x）≥0的解集为[2,+∞）；
（2）令f（x）≤1，得f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1≤1，
即|x﹣a|﹣|x﹣2|≤2（）；
设g（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|，
则g（x）≤|（x﹣a）﹣（x﹣2）|＝|﹣a+2|＝|a﹣2|，
当且仅当时，或时，取得最大值.
不等式（）可化为|a﹣2|≤2，
即﹣2≤a﹣2≤2，
解得0≤a≤4；
所以实数a的取值范围是0≤a≤4．
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解，以及利用绝对值三角不等式求解绝对值函数的最值，属综合基础题.