2020届广西桂林市高三第一次联合调研考试数学（文）试题（解析版）

2020届广西桂林市高三第一次联合调研考试数学（文）试题  一、单选题1．已知集合，则(    )A． B．C． D．【答案】B【解析】利用指数函数的单调性求出集合B，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由，则.故选：B【点睛】本题考查了集合的角运算，同时考查了利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题.2．已知为虚数单位，复数，则（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】利用复数的除法运算化简，由此求得的模.【详解】因为，所以.故选：A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算和复数的模的求法，属于基础题.3．人体的体质指数（）的计算公式：体重身高（体重单位为，身高单位为）.其判定标准如下表：以上等级偏瘦正常超标重度超标  某小学生的身高为，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意可得，体重身高，代入数据即可求解.【详解】由题意得，体重身高，因为此人属于正常，所以所以此小学生的体重范围为，即体重范围为，故选：C【点睛】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想.4．已知向量与的夹角的余弦值为，且，则(    )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】利用向量的数量积即可求解.【详解】由向量与的夹角的余弦值为，且，则.故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的定义，需熟记定义，属于基础题.5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分不必要条件(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】利用空间线面位置关系的判定与性质定理即可得出.【详解】对于A，，则，故排除A；对于B，，则与相交或，故排除B；对于C，，则，故排除C；对于D，，则；反之，若，与的位置关系不确定，当时，或 ，故的一个充分不必要条件，故D正确；故选：D【点睛】本题主要考查直线、平面的平行与垂直的判断、充分条件与必要条件的判断等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、转化与化归能力，属于基础题.6．设满足约束条件，则目标函数的最大值为(    )A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，求出最大值即可.【详解】作出变量满足约束条件的可行域如图：由，可得，所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值.由得，结合可行域可知当动直线经过点时，目标函数取得最大值.故选：A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域、理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.7．将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】根据函数的图像变换规律即可得到.【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得，再把所得图象向上平移2个单位长度，可得.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的图像变换规律，掌握图像变换的原则是关键，属于基础题.8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代乙种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（    ）钱？A． B． C． D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为，公差为，则，即，解得，.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.9．已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】结合图像，判断函数的性质即可求解.【详解】从图像可知，函数为偶函数，对于A，，排除A；对于B，，排除B； 和其定义域均为，当从的右侧趋近时，，，即，结合图像排除D项，故选：C【点睛】本题考查了函数图像的识别，注意从函数的性质进行深入分析，考查了函数的性质，属于基础题.10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】利用圆台的结构特征求出其外接球的半径，再利用球的体积公式即可求解.【详解】由三视图知，该几何体是一个圆台，圆台的上底面半径为1，下底面半径为，圆台的高为，设圆台的外接球半径为，如图：则，解得，外接球的体积为.故选：B【点睛】本题考查了旋转体的外接球问题以及球的体积公式，需熟记公式，属于基础题.11．已知双曲线是的左右焦点，是双曲线右支上任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率为(    )A． B．3 C．2 D．【答案】B【解析】根据双曲线的定义可得，代入，利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线的定义知，当且仅当时取等号故选：B【点睛】本题考查了双曲线的定义以及基本不等式求最值，注意利用基本不等式时，验证等号成立的条件，属于基础题.12．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】令，可得，代入解析式可得，从而可得，只需，解不等式即可.【详解】令，即，又因为，所以，即，所以，即，因为函数有两个零点，则有两个零点，即与有两个交点，所以，即或，显然的解集为，无解，故选：D【点睛】本题考查了根据零点个数求参数的取值范围，注意数转化与化归思想的应用，属于基础题.  二、填空题13．已知，则________.【答案】【解析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式即可求解.【详解】，.故答案为：【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.14．已知等比数列中，，则________.【答案】【解析】利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由题意可得，解得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.15．已知函数，使得成立的实数的取值范围为_________.【答案】【解析】首先求出，令，利用导数研究的单调性，从而可得 ，进而可得在区间上单调递增，由，借助单调性即可求解.【详解】，令，则时，单调递减，当，单调递增，，从而在区间上单调递增，又.故答案为：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用单调性解不等式，属于中档题.16．已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为________.【答案】【解析】根据题意求出，设出直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立消求交点的横坐标，由，可得，代入交点的横坐标即可求解.【详解】椭圆，则，，则，即，所以 根据题意可得直线的斜率存在，设直线的斜率为，直线的方程为： 则，消可得，解得设，因为，所以，整理可得 由， 代入可得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题. 三、解答题17．在锐角中，内角所对的边分别为，已知.（1）求证：；（2）若，求的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用正弦定理边化角可得，再利用两角和的正弦公式以及三角形的性质即可求解. （2）利用同角三角函数的基本关系可得，再利用余弦定理结合（1）即可得出，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）证明：由正弦定理有得，有得，由，可得，由正弦定理得（2）由题意有由余弦定理有，得，代入，解得：故的面积为【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，需熟记定理与公式，属于基础题.18．某学校在学期结束，为了解家长对学校工作的满意度，对两个班的100位家长进行满意度调查，调查结果如下： 非常满意满意合计A301545B451055合计7525100 （1）根据表格判断是否有的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系？（2）用分层抽样的方法从非常满意的家长中抽取5人进行问卷调查，并在这5人中随机选出2人进行座谈，求这2人都来自同一班级的概率？附： 【答案】（1）没有；（2）.【解析】（1）根据列联表求出观测值，再结合附表利用独立性检验的基本思想即可求解.（2）记A班抽取的非常满意的家长为；B班抽取的非常满意的家长为1,2,3，选取选出2人，列出基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由表格得所以没有的把握认为观众的满意程度是否与所在班级有关系.（2）记A班抽取的非常满意的家长为；B班抽取的非常满意的家长为1,2,3，则选取选出2人共有，共10种可能，其中来自同一个班级的有共4种可能，这2人都来自同一班级的概率为【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想、古典概型的概率计算公式，属于基础题.19．如图，在长方体中，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连相交于点，连，证出，从而证出，再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）利用等体法即可求解.【详解】（1）证明：如图，连相交于点，连， 四边形为平行四边形，可得平面，平面，平面（2）由题知，平面，是点到平面的距离.又平面，设点到平面的距离为则 解得.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、等体法求点到面的距离以及三棱锥的体积公式，属于基础题.20．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，记函数在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】（1）当时， 的增区间为；当时，的增区间为，减区间为；（2）.【解析】（1）首先求出函数的定义域，再求出，讨论的取值即可求解. （2）分类讨论当时或当时，利用导数求出函数的最值即可求解.【详解】（1）函数的定义域为①当时，，函数的增区间为②当时，令可得，故函数的增区间为，减区间为；（2）由，可得函数的区间单调递减，在区间单调递增有由①当时，，有记，故此时函数单调递减，即故此时的取值范围为②当时，，有记，故此时函数单调递增， 即故此时的取值范围为由上知的取值范围为.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用、在求函数最值中的应用，考查了分类讨论的思想，属于难题.21．已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）利用圆与抛物线的对称性可知，点在抛物线和圆上，代入方程即可求解.（2）设直线的方程为，点的坐标分别为，将抛物线与直线联立，分别消，再利用韦达定理可得两根之和、两根之积，根据向量数量积的坐标运算可得，的面积为即可求解.【详解】（1）由圆及抛物线的对称性可知，点既在抛物线上也在圆上，有：，解得故抛物线的标准方程的（2）设直线的方程为，点的坐标分别为.联立方程，消去后整理为，可得，联立方程，消去后整理为，可得，，得由有，， ，可得的面积为 可得，有或联立方程解得或，又由，故此时直线的方程为或联立方程，解方程组知方程组无解.故直线的方程为或【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，属于难题.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）消参可得直线的普通方程，由 可求出曲线的直角坐标方程.（2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式即可求解.【详解】（1）直线的普通方程为曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为（2）曲线的参数方程为设点的坐标为故的最小值为.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.23．设，且.（1）求证：；（2）若，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用基本不等式和不等式的可加性，以及完全平方式，即可得证.（2）利用完全平方式和不等式的可加性，以及基本不等式，即可证出.【详解】（1）由 ，（当且仅当时取等号）故有（2）由，有故当时，.【点睛】本题考查了不等式的证明，考查了基本不等式以及不等式的性质，属于中档题.