2020届广西梧州市贺州市高三毕业班摸底调研考试数学（文）试题（解析版）

2020届广西梧州市贺州市高三毕业班摸底调研考试数学（文）试题


一、单选题
1．设集合A＝{﹣1,0,1}，B＝{﹣1,1,3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1,0} B．{﹣1,1} C．{0,1} D．{1,3}
【答案】B
【解析】根据集合的交运算，即可求得结果.
【详解】
由集合的交运算，容易得.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的交运算，属基础题.
2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直接按照复数的乘法法则运算即可.
【详解】
.
故选：B
【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题.
3．已知向量，则＝（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【解析】先计算的坐标，再根据坐标求解模长即可.
【详解】
因为，
故可得，
故.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量模长的坐标求解，属基础题.
4．在等差数列{an}中，a2+a3＝1+a4，a5＝9，则a8＝（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】根据题意，应用基本量列出方程，即可求解.
【详解】
设数列的公差为，
则可得，
解得，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，属基础题.
5．若双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F的直线y（x﹣2）与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【答案】C
【解析】容易求得点的坐标，以及渐近线的斜率，据此列方程求解即可.
【详解】
令，则由y（x﹣2）可解的，故可得；
又因为直线y（x﹣2）与渐近线平行，故，
结合，解得，
故.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线方程中的求解，属基础题.
6．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，求得目标函数的最小值即可.
【详解】
根据题意，画出不等式组表示的平面区域如下图所示：

将目标函数z＝2x﹣3y整理化简为，其与直线平行，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点时取得最小值，
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查简单线性规划问题的求解，属基础题.
7．将函数y＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数f（x）的图象，则f（x）＝（ ）
A．sin2x B．﹣sin2x
C．sin（2x） D．﹣sin（2x）
【答案】D
【解析】根据“左加右减”的原则，对函数解析式进行变换即可.
【详解】
将函数y＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度后，
可得函数解析式为.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数图象的变换，属基础题.
8．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”（注：1丈等于10尺）（ ）
A．29尺 B．24尺 C．26尺 D．30尺
【答案】C
【解析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长（尺）
故选：C
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝2，则输出的T＝（ ）

A．8 B．﹣8 C．﹣56 D．﹣72
【答案】D
【解析】模拟执行程序框图中的程序，即可求得输出结果.
【详解】
模拟执行程序如下：
，满足，继续执行；
，满足，继续执行；
，满足，继续执行；
，满足，继续执行；
，满足，继续执行；
，不满足，输出.
故选：D.
【点睛】
本题考查循环结构的程序执行，属基础题.
10．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断.
【详解】
令，故可得
因为，故函数为奇函数，排除；
又因为，
故选：A.
【点睛】
本题考查函数图像的选择，涉及指数运算，属基础题.
11．已知α∈（0,），cos2α＝1﹣3sin2α，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用倍角公式进行整理化简，即可求得结果.
【详解】
因为cos2α＝1﹣3sin2α
由倍角公式可得
即
又因为α（0,），，
故，即.
由同角三角函数关系，容易得.
故选：D.
【点睛】
本题考查正余弦的倍角公式，以及同角三角函数关系，属综合基础题.
12．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，AB⊥BC，AB+BC＝4，若三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球为球O，则球O表面积的最小值为（ ）
A．17π B．18π C．19π D．20π
【答案】A
【解析】根据三棱柱的几何特点，找出球心，构造直角三角形，求解半径的最小值即可.
【详解】
根据题意，取中点为，过作的平行线，
交于，取中点为，作图如下：

因为三棱柱是直三棱柱，且底面为直角三角形，
故外接球的球心即为的中点.
则设外接球的半径为，则，.
为底面三角形的外接圆半径，
由勾股定理可得，以及，
容易得
由均值不等式可得，
当且仅当时取得最小值.
即的最小值为.
在直角三角形中，，
由上述推导可知，.
故.
故选：A.
【点睛】
本题考查三棱柱外球球半径的求解，涉及用均值不等式求解最值，属综合中档题.


二、填空题
13．有3名男同学和1名女同学共4位同学参加志愿者服务，从中选出2人，则选到女生的概率为_____．
【答案】
【解析】根据古典概型的概率计算公式即可求得结果.
【详解】
设三位男生为，女生为，
则从4名同学中选出2人，共有如下情况：
合计6种情况；
其中满足题意的有合计3种情况；
故满足题意的概率.
故答案为：.
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，属基础题.
14．在等比数列{an}中，a4＝4（a3﹣a2），a5＝﹣16，则a1＝_____．
【答案】﹣1
【解析】由等比数列的基本量，列出方程，求解即可得到结果.
【详解】
设等比数列的公比为，
则，，
故可得解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，属基础题.
15．曲线y＝ex﹣1+xlnx在点（1,1）处的切线方程为_____．
【答案】2x﹣y﹣1＝0
【解析】求导，得到函数在(1,1)处的导数，即为切线斜率，再用点斜式即可求得.
【详解】
因为y＝ex﹣1+xlnx，故
故当时，即过点的切线的斜率为；
故可得切线方程为，整理得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义，求解过曲线上一点的切线方程，属基础题.
16．已知椭圆的右顶点为A，左，右焦点为F1，F2，过点F2与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点为B．若|F1F2|＝2，|F2B|，则点F1到直线AB的距离为_____．
【答案】
【解析】根据已知信息，即可求得椭圆方程，再用点到直线的距离公式即可求得.
【详解】
根据题意，作图如下：

把x＝c代入椭圆方程可得y＝±，
∵|F1F2|＝2，|F2B|，
∴，解得a＝2，b．
不妨设B在第一象限，则A（2,0），B（1,），F1（﹣1,0）．
∴直线AB的方程为yx+3，即3x+2y﹣6＝0．
∴点F1到直线AB的距离为d．
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，涉及点到直线的距离公式的应用，属基础题.

三、解答题
17．某校为了了解高一新生是否愿意参加军训，随机调查了80名新生，得到如下2×2列联表

愿意
不愿意
合计
男
x
5
M
女
y
z
40
合计
N
25
80

（1）写出表中x，y，z，M，N的值，并判断是否有99.9%的把握认为愿意参加军训与性别有关；
（2）在被调查的不愿意参加军训的学生中，随机抽出3人，记这3人中男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考公式：
附：
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)M＝40，x＝35，z＝20，y＝20，N＝55，有99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关．(2)分布列见详解，E(ξ）.
【解析】（1）根据表格中数据，即可求得x，y，z，M，N的值，再计算，结合参考表格即可作出判断；
（2）列出ξ的取值，根据古典概型概率计算公式求得分布列，再根据分布列计算数学期望即可.
【详解】
（1）由表格数据可知：
M＝80﹣40＝40，
x＝40﹣5＝35，
z＝25﹣5＝20，
y＝40﹣20＝20，
N＝80﹣25＝55，
∵K213.09＞10.828，
∴有99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关．
（2）在被调查的不愿意参加军训的学生中，随机抽出3人，
记这3人中男生的人数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3，
P（ξ＝0），
P（ξ＝1），
P（ξ＝2），
P（ξ＝3），
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P






E（ξ）．
【点睛】
本题考查独立性检验中的计算，以及古典概型的概率计算，涉及离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，属综合中档题.
18．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b﹣c）（sinA+sinB+sinC）＝bsinA．
（1）求C；
（2）若a＝2，c＝5，求△ABC的面积．
【答案】（1）C．（2）．
【解析】（1）利用正弦定理将角化边，反凑余弦定理即可求得角；
（2）利用正弦定理，结合（1）中所求，求得，再利用面积公式即可求得.
【详解】
（1）∵
∴由正弦定理可得，
整理可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴由余弦定理可得cosC，
∵C（0,π），
∴C．
（2）∵a＝2，c＝5，C，
∴由正弦定理，可得，
可得sinA，
∵a＜c，A为锐角，
∴可得cosA，
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC
（），
∴S△ABCacsinB．
【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合基础题.
19．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点
（1）求证：EF∥平面A1DC1；
（2）若长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，夹在平面A1DC1与平面B1EF之间的几何体的体积为，求点D到平面B1EF的距离.

【答案】（1）证明见详解；（2）2．
【解析】（1）因为//，由线线平行，即可推证线面平行；
（2）先根据几何体的体积求解出长方体的高，再用等体积法求得点到面的距离即可.
【详解】
（1）证明：由题意，连接AC，如下图所示：

∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，
∵四边形ACC1A1是平行四边形，
∴AC∥A1C1，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1⊂平面A1DC1，
∴EF∥平面A1DC1，即证.
（2）由题意，设长方体的高为h．
∵22＝2，
∴hh．
∵S△BEF11，
∴S△BEFhhh．
∵22h＝4h，
∴4hhhh，
解得h＝2．
又∵EF，DE＝DF，
容易知S△DEF.
∴S△DEFB1B2．
∵EF，B1E＝B1F，
∴S△DEF．
设点D到平面B1EF的距离为d．
∵，
∴d，
解得d＝2．
∴点D到平面B1EF的距离为2．
【点睛】
本题考查由线线平行推证线面平行，以及用等体积法求点到平面的距离，属综合中档题.
20．已知函数f（x）＝aex﹣2x+1．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）＞0对x∈R成立，求实数a的取值范围
【答案】（1）极小值为3﹣2ln2，无极大值；（2）．
【解析】（1）求导，判断函数单调性，根据单调性求得极值；
（2）分离参数，构造函数，求解函数的最值，即可求得参数的范围.
【详解】
（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣2x+1，则f′（x）＝ex﹣2，
令f′（x）＜0，解得x＜ln2；令f′（x）＞0，解得x＞ln2；
故函数f（x）在（﹣∞,ln2）上递减，在（ln2,+∞）上递增，
故函数f（x）的极小值为f（ln2）＝2﹣2ln2+1＝3﹣2ln2，无极大值；
（2）f（x）＞0对x∈R成立，即为对任意x∈R都成立，
设，则a＞g（x）max
，
令g′（x）＞0，解得；令g′（x）＜0，解得；
故函数g（x）在递增，在递减，
∴，
故实数a的取值范围为．
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，以及根据恒成立问题求解参数的范围，本题采用了分离参数的方法.
21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为（0,1）
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）x2＝4y；（2）存在N（0,1）
【解析】（1）根据抛物线的交点坐标，即可得到，从而求得抛物线方程；
（2）根据抛物线与直线相切，求得切点的坐标，以及之间的等量关系，再求出点的坐标，从而写出圆的方程，再求圆恒过的定点即可.
【详解】
（1）由题意，，
所以p＝2，
∴抛物线C的方程为：x2＝4y；
（2）由得x2﹣4kx﹣4m＝0（），
由直线y＝kx+m与抛物线C只有一个公共点，
可得，解得m＝﹣k2，代入到（）式得x＝2k，
∴P（2k,k2），
当y＝﹣1时，代入到y＝kx﹣k2
得Q（），
∴以PQ为直径的圆的方程为：
，
整理得：，
若圆恒过定点，则，
解得，
∴存在点N（0,1），使得以PQ为直径的圆恒过点N．
【点睛】
本题考查由焦点坐标求抛物线的方程，以及抛物线中圆恒过定点的问题，属综合中档题.
22．已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）直线l与曲线C是否有公共点？并说明理由；
（2）若直线l与两坐标轴的交点为A，B，点P是曲线C上的一点，求△PAB的面积的最大值．
【答案】（1）没有交点，理由见详解；（2）3．
【解析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将直线的极坐标方程化为直角方程，联立方程组，根据的情况，求得两曲线的相交情况；
（2）由（1）中所求，容易得点的坐标，设点坐标为（3cosθ,sinθ），再将问题转化为三角函数值域的问题即可求得.
【详解】
（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），
转换为直角坐标方程为．
直线l的极坐标方程为，
整理得，
转换为直角坐标方程为x﹣y﹣6＝0，
联立方程组
消去，可得10y2+12y+27＝0，
由于△＝122﹣4×10×27＜0，所以直线与椭圆没有交点．
（2）直线的直角坐标方程为x﹣y﹣6＝0，
与x轴的交点A（6，0）与y轴的交点坐标为B（0，6），
所以|AB|，
设椭圆上点P的坐标为（3cosθ，sinθ），
所以点P到直线l的距离d
，
当时，，
则3．
【点睛】
本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程和直角方程之间的转化，以及利用参数法求解三角形面积的最值问题，属综合中档题.
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）当f（x）≤1，求实数a的取值范围．
【答案】（1）[2,+∞）；（2）0≤a≤4．
【解析】（1）将函数写成分段函数的形式，画出函数图像，数形结合求得不等式解集；
（2）将恒成立问题转化为求解绝对值不等式的最值问题，再利用绝对值三角不等式求得最值即可.
【详解】
（1）a＝1时，
函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣2|﹣1；
画函数f（x）的图象，如图所示；

由图象知，不等式f（x）≥0的解集为[2,+∞）；
（2）令f（x）≤1，得f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1≤1，
即|x﹣a|﹣|x﹣2|≤2（）；
设g（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|，
则g（x）≤|（x﹣a）﹣（x﹣2）|＝|﹣a+2|＝|a﹣2|，
当且仅当时，或时，取得最大值.
不等式（）可化为|a﹣2|≤2，
即﹣2≤a﹣2≤2，
解得0≤a≤4；
所以实数a的取值范围是0≤a≤4．
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解，以及利用绝对值三角不等式求解绝对值函数的最值，属综合基础题.