2020届广西南宁三中高三高考适应性月考（三）数学（理）试题（解析版）

2020届广西南宁三中高三高考适应性月考卷（三）

数学（理）试题

一、单选题

1．设表示整数集合中的质数的个数，设集合，，则（    ）.

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】可以求出集合B，然后进行交集的运算求出，从而可得出集合所含的质数，从而得出的值．

【详解】

解：∵，，

∴

∴集合中所含质数为：3，5，7，11，13，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，质数的定义，考查了计算能力，属于基础题．

2．设，是的共轭复数（注：的共轭复数为），则（    ）.

A． B． C．2 D．4

【答案】D

【解析】利用商的模等于模的商求得|z|，再由求解．

【详解】

解：∵，

∴|z|=||，

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．

3．设等差数列的前项和为，若，，则（    ）.

A．20 B．10 C．44 D．55

【答案】B

【解析】利用等差数列的前项和公式和通项公式列出方程组，求出，，由此能求出．

【详解】

解：∵等差数列的前项和为， ，

∴，

解得，，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查等差数列的第10项的求法，考查等差数列的性质、基本量等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

4．已知直线过椭圆的两个顶点，则椭圆的标准方程为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出椭圆的顶点坐标，顶点a，b，然后顶点椭圆的标准方程．

【详解】

解：因为直线过椭圆的两个顶点，

所以，，所以椭圆的标准方程为：．

故选：A

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．

5．圆内的曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线与轴围成的区域记为M的面积为，代入几何概率的计算公式可求．

【详解】

解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为，

曲线与轴围成的区域记为M的面积为，

由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题．

6．已知，，，则，，的大小关系是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．

【详解】

解：∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题.

7．函数的大致图象为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由及函数在特殊点处的导数的符号可得出正确选项．

【详解】

解：由，可排除A、D；

当时，，

，

当时，令，，

故为减函数，则，故，

所以即，故排除C，选B．

故选：B．

【点睛】

本题考查利用函数的性质确定函数图象，属于基础题．

8．已知在边长为3的菱形中，，点满足，则的值（    ）.

A． B．0 C． D．6

【答案】C

【解析】将用，向量表示，利用向量的数量积的运算律计算即可；

【详解】

解：如图：

；

∵边长为3的菱形ABCD中，，点E满足，

∴

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．

9．若，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知结合诱导公式及二倍角的余弦公式进行化简即可求解．

【详解】

解：若，

则

．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．

10．设所有棱长都为2的正三棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】连接上下底面的中心M，N，则MN得中点即为外接球球心，容易求得半径，面积．

【详解】

解：如图，M，N分别是上下底面正三角形的中心，

O为MN的中点，

易知O为外接球的球心，

ANADAB2；

在直角三角形ONA中，可得半径OA，

∴S球＝4π，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了三棱柱外接球，属于中档题．

11．已知直线，经过抛物线的焦点，，互相垂直，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（    ）.

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【解析】由题意可知直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为：y＝k（x），所以直线l2的斜率为，联立直线l1与抛物线方程，利用韦达定理以及抛物线的定义得到，|DE|1，|AB|，所以|AB|•|DE|2，再利用基本不等式即可求出|AB|•|DE|的最小值．

【详解】

解：由题意可知，焦点，准线方程为：，

显然直线l1的斜率存在且不为零，设直线l1的方程为：，

∵直线l1，l2互相垂直，∴直线l2的斜率为，

联立方程，消去y得：，

设D（x1，y1），E（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），

∴，

同理可得：，

由抛物线的定义可知，|DE|1，|AB|，

∴|AB|•|DE|24，当且仅当，即时，等号成立，

∴|AB|•|DE|的最小值为4，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及基本不等式的应用，属于中档题．

12．设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先对函数分和，运用二次函数的值域求法，可得的值域，运用一次函数的单调性求出函数的值域，由题意可得的值域包含在的值域内，可得a的不等式组，解不等式可得a的取值范围．

【详解】

解：∵，

当时，，

当时，，

由，即，，

∴

故，

又因为，且，．

由递增，可得，

对于任意，总存在，使得成立，

可得，

可得

∴．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想和集合的关系，是对知识点的综合考查，属于中档题．

二、填空题

13．设等比数列满足，，则________.

【答案】

【解析】利用等比数列满足，，列出方程组，求出，，进而求出．

【详解】

解：∵等比数列满足，，

∴，解得，，

∴．

故答案为：.

【点睛】

本题考查等比数列的第4项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

14．若函数为偶函数，则________.

【答案】1

【解析】根据题意，求出的表达式，结合函数奇偶性的定义可得，变形分析可得答案．

【详解】

解：根据题意，函数，则，

若函数为偶函数，则，

即，

变形可得，解可得；

故答案为：1．

【点睛】

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的奇偶性的定义，属于基础题．

15．随机变量服从正态分布，若，则________.

【答案】

【解析】根据正态分布的密度函数图象关于直线x＝μ轴对称，即可求得．

【详解】

解：根据题意，正态分布的密度函数图象关于直线轴对称，

∵，∴．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及运用函数图象对称性解决概率问题，属于基础题．

16．胶囊酒店是一种极高密度的酒店住宿设施，起源于日本，是由注模塑胶或玻璃纤维制成的细小空间，仅够睡眠使用.空间内电视、照明灯、电源插座等设备齐全，洗手间及淋浴设施需要共享，其特点是使捷、价格便宜，多适用于旅客.如图为一胶囊模型，它由一个边长为2的等边圆柱（其轴截面为正方形）和一个半球组成，则它的内接正四棱锥的表面积为________.

【答案】

【解析】画出图形，利用求出正四棱锥的表面积即可．

【详解】

解：由题意可知几何体的直观图如图：

正四棱锥的底面边长为：，棱锥的高为：3．斜高为：，

底面面积为：，侧面积为：．

所以正四棱锥的表面积为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查几何体的内接体，正四棱锥的表面积的求法，是基本知识的考查，属于中档题．

三、解答题

17．等差数列的前项和为，，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）先设等差数列的公差为，然后结合题干根据等差数列的通项公式和求和公式列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可得到数列的通项公式；（2）由第（1）题的结果计算出数列的通项公式，然后利用裂项相消法计算出前n项和．

【详解】

解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则，

整理，得，

解得.

∴．

（2）由（1）知， ，

∴，

∴

【点睛】

本题主要考查等差数列的基础知识，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，逻辑思维能力和数学运算能力．属于中档题．

18．为研究家庭收入和食品支出的关系，随机抽取了个家庭的样本，得到数据如下表所示.

10个家庭的月收入额与食品支出额数据（单位：百元）

参考数据：，，，，.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

（1）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.一个家庭或个人收入越少，用于购买生存性的食物的支出在家庭或个人收入中所占的比重就越大对一个国家而言，一个国家越穷，每个国民的平均支出中用来购买食物的费用所占比例就越大.恩格尔系数达59%以上为贫困，50~59%为温饱，40~50%为小康，30~40%为富裕，低于30%为最富裕.根据上述样本数据，请估计这个国家达到最富裕（恩格尔系数30%）的家庭比例；

（2）建立（支出）关于（收入）的回归方程（系数精确到0.01），并解释及的现实生活意义.

【答案】（1）20%（2），解释见解析

【解析】（1）根据恩格尔系数的定义算出10个家庭的恩格尔系数，其中系数低于30%的家庭有5个，从而算出最富裕家庭的比例；

（2）结合表格中数据和、的公式计算出回归方程的系数即可得解．

【详解】

解：（1）由题意可知，

10个家庭的恩格尔系数如下表所示：

所以样本中达到最富裕的家庭有5个，

估计这个国家达到最富裕的家庭比例为.

（2），，

所以，

故

所以y关于x的回归方程为.

的现实意义为收入每增加1百元，估计支出增加的值；的现实意义为用于购买生存性的食物的最少支出．

【点睛】

本题考查概率和回归方程的求法，考查学生数据分析的能力和运算能力，属于中档题．

19．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：MN平面EFBD，AK平面EFBD，进而得到平面AMN平面EFBD．

（2）求出平面平面EFBD的法向量，根据两个法向量夹角公式，可得直线AF与平面BEFD所成角的正弦值．

【详解】

解：（1）证明：如图1，连接B1D1，EN，

∵M、N分别是A1B1，A1D1的中点，∴MND1B1，

又∵DD1BB1且DD1＝BB1，

∴DBB1D1为平行四边形，得D1B1DB，∴MNDB，

∵MN⊄平面BDEF，BD⊂平面BDEF，

∴MN平面BDEF，

∵在正方形A1B1C1D1中，M，F分别是棱A1B1，D1C1的中点，

∴MFA1D1且MF＝A1D1，

又∵A1D1AD 且A1D1＝AD，∴MFAD且 MF＝AD，

∴四边形ABEN是平行四边形，∴AMDF，

又∵AM⊄平面BDEF，DF⊂平面BDEF，∴AM平面BDEF，

∵AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，

∴平面AMN平面DBEF．

（2）如图，以B为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，

则B（0，0，0），E（0，2，4），D（4，4，0），A（4，0，0），F（2，4，4）

，，.

设平面BDFE的法向量为

所以，，

∴直线AF与平面BEFD所成角的正弦值为．

【点睛】

本题考查空间向量知识的运用，考查线面角、面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

20．已知椭圆，椭圆的长轴长为4，离心率为，若直线与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：的面积为定值，并求此定值.

【答案】（1）（2）证明见解析；定值为

【解析】（1）由长轴长及离心率和a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；

（2）将直线与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，由（1）可得的值，进而可得k，m的关系，求出弦长AB，及O到直线的距离，代入面积公式可证得面积为定值．

【详解】

解：（1）由题意可得，，，解得：，，

所以椭圆的标准方程为：.

（2）由（1）得：设，，因为，

即

联立直线与由的方程：，整理可得：，，，，

∴，

由可得：可得，

所以弦长

，

到直线的距离，

所以，

所以可证：的面积为定值，且此定值为．

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．

21．已知函数.

（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

（2）若函数有两个不同的零点，，求证：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；

（2）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．

【详解】

解：（1）∵，函数在区间上单调递增

∴在恒成立，

∴，

∴；

（2）证明：不妨设，

∵，∴， ，

可得， ，

要证明，即证明，也就是证，

∵，∴即证明：，

即，

令，则，于是．

令，，则，

故函数在上是增函数，∴，

即成立．

∴原不等式成立．

【点睛】

本题考查函数的单调性的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，转化思想的应用，属于较难题．

22．在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，椭圆的参数方程为，（为参数）.

（1）求直线的参数方程和椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆相交于，两点，求线段的长.

【答案】（1）直线的参数方程；椭圆的标准方程是（2）

【解析】（1）根据题意，将直线的方程变形可得，写出参数方程的形式即可，将椭圆的方程变形可得，整理即可得答案；

（2）根据题意，设A，B对应的参数分别为，，将直线的方程与椭圆的方程联立可得，求出，的值，又由，即可得答案．

【详解】

解：（1）根据题意，已知直线l的方程为，即，

其参数方程为，（t为参数），

椭圆C的参数方程为（θ为参数），则有，

变形可得，即椭圆C的标准方程为；

（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，设A，B对应的参数分别为，，

椭圆C的标准方程为，变形可得，

又由直线l的参数方程为，则有，变形可得，

则，，

则．

【点睛】

本题考查参数方程的应用，涉及直线、椭圆的参数方程与普通方程的互化，属于中档题．

23．已知函数的最小值为（其中）.

（1）求的值；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）12（2）

【解析】（1）对化简，对绝对值号进行分类讨论，求出的最小值，求出m；

（2）由，利用柯西不等式求出即可．

【详解】

解：（1）的最小值为（其中）当时，，

当时，，

当时，，

图象如下：

，，

故，故；

（2）由，

由柯西不等式得，，当且仅当时，即时取等号，

故的最小值为3．

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求法，柯西不等式求最值问题，考查运算能力和变换技巧，属于中档题．