河北省“五个一名校联盟”2021届高三上学期第一次诊断考试 数学 (含答案)

河北省“五个一名校联盟”2021届高三第一次诊断考试

数学

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{y|y＝x2-2x，x∈R}，集合B＝{x|y＝ln（3-x）}，则A∩B＝

A．    B．[-1，0）    C．[-1，3）    D．[-1，＋∞）

2．已知复数z＝3＋4i，那么

A．    B．1    C．    D．

3．已知向量＝（1，0），＝（0，1），则向量与向量的夹角为

A．    B．    C．    D．

4．安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生a不去甲单位，医生b只能去乙单位，则不同的选派方式共有

A．18种    B．24种    C．36种    D．42种

5．在正四面体S-ABC中，点O为三角形SBC的垂心，则直线AO与平面SAC所成的角的余弦值为

A．    B．    C．    D．

6．在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝4上三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）构成正三角形ABC，那么

A．0    B．2    C．3    D．6

7．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，双曲线C的右支上有一点P满足|OP|＝|OF|＝2|PF|（点O为坐标原点），那么双曲线C的离心率为

A．2    B．    C．    D．

8．已知函数，若f（2a-1）＋f（a2-2）≤-2，则实数a的取值范围是

A．[-3，1]    B．[-2，1]    C．（0，1]    D．[0，1]

二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9．若函数f（x）＝tan2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，那么下列说法正确的是

A．函数g（x）的定义域为{，k∈Z}

B．函数g（x）在单调递增

C．函数g（x）图象的对称中心为，k∈Z

D．函数g（x）≤1的一个充分条件是

10．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1-（n＋1）an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是

A．数列{an}是公差为2的等差数列

B．满足Sn＜100的n的最大值是9

C．Sn除以4的余数只能为0或1

D．2Sn＝nan

11．已知a，b＞0且2a＋b＝1，则的值不可能是

A．7    B．8    C．9    D．10

12．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE沿着DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是

A．点A'到平面BCED的距离为3

B．直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为

C．A'D⊥BD

D．四棱锥A'-BCED的外接球半径为

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：

13．曲线f（x）＝e-2x＋x2在点（0，f（0））处的切线方程为________．

14．已知抛物线C：y2＝4x，直线l：x＝-1，过直线l上一动点P作抛物线的切线，切点分别为A，B，则以AB为直径的圆与直线l的位置关系是________．（用“相交”“相切”或“相离”填空）

15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：若一个正整数被3除余2且被5除余4，就称为“α数”，现有数列{an}，其中an＝2n-1，则数列{an}前2021项中“α数”有________个．

16．已知函数在定义域内没有零点，则a的取值范围是________．

四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在以下三个条件中任选一个：①sin2A＝sin2B＋sin2C-sinBsinC；②；③1-2sinBsin（A-C）＝cos2B；

并解答以下问题：

（1）若选________（填序号），求cosA的值；

（2）在（1）的条件下，若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．

18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝-8，S6＋a5＝1．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列bn＝2n＋1，求数列{|an|·bn}的前n项和Tn．

19．如图，在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是菱形，AB＝2，AA'＝3，且∠A'AB＝∠A'AD＝∠BAD＝60°．

（1）求证：平面A'BD⊥平面ABCD；

（2）求二面角B-A'C'-D的余弦值．

20．甲乙两人进行投篮比赛，每轮比赛由甲乙各投一次，已知甲投中的概率为，乙投中的概率为．每轮投篮比赛中，甲乙投中与否互不影响，按以下情况计分：都投中或者都不中双方都记0分；一方投中，而另一方未中，投中者得1分，未中者得-1分；若有人积2分，则此人获胜且比赛停止．

（1）比赛三轮后，甲积1分的概率是多少？

（2）若比赛至多进行五轮，问乙能获胜的概率是多少？

21．设函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋1存在两个极值点x1，x2，且x1∈[1，0]，x2∈[0，1]．

（1）求c的取值范围；

（2）证明：-1≤f（x2）≤1．

22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）和抛物线D：y2＝4x，椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆C上有一点P满足|PF1|︰|F1F2|︰|PF2|＝3︰4︰5，抛物线D的焦点为F2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过F2作两条互相垂直的直线l1和l2，其中直线l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交抛物线D于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．

河北省“五个一名校联盟”2021届高三第一次诊断考试

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C  2．B  3．D  4．A  5．B  6．D  7．C  8．A

二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9．BD  10．ABC  11．ABD  12．ABD

三、填空题：

13．2x＋y-1＝0  14．相切  15．134  16．（，＋∞）

四、解答题：

17．解：（1）若选①，sin2A＝sin2B＋sin2C-sinBsinC，

由正弦定理可得：a2＝b2＋c2-bc，

再由余弦定理可得：．

若选②，由二倍角公式，

．

若选③，由1-2sinBsin（A-C）＝cos2B，

可得sinBsin（A-C）＝＝sin2B．

即sin（A-C）＝sinB，

即A-C＝B或A-C＝π-B（舍），所以可得A-C＝B，

而A＋B＋C＝π，所以，则cosA＝0．

（2）若选①或②，由余弦定理a2＝b2＋c2-2bccosA，

把，a＝2代入可得：4＝b2＋c2-bc≥bc，可得bc≤4，

当且仅当b＝c时等号成立，

又因为A为三角形内角，可得sinA＞0，则，

则，即S的最大值为，

若选③，由勾股定理a2＝b2＋c2，即4＝a2＋b2≥2bc，可得bc≤2，当且仅当b＝c时等号成立．

则，即S的最大值为1．

18．解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，由题意可知：

6a1＋15d＋a1＋4d＝1，其中a1＝-8，解得：d＝3，

则an＝-8＋3（n-1）＝3n-11．

（2）由（1）可知当n＝1，2，3时，an＜0，|an|＝-an，

当n≥4时，an＞0，|an|＝an，

当n＝1，2，3时，可知：T1＝32，T2＝72，T3＝104，

当n≥4时，可知：Tn＝104＋a4b4＋…＋anbn，即：

Tn＝104＋（3×4-11）·25＋…＋（3n-11）·2n＋1，两边乘以2可得：

2Tn＝2×104＋（3×4-11）·26＋…＋（3n-11）·2n＋2，

两式做差，整理可得：Tn＝（3n-14）·2n＋2＋264，

综上可得：．

19．解：（1）证明：过A'向底面作垂线，设垂足为O，

过O分别向AD，AB作垂线，垂足分别为E，F，连接A'E和A'F，易得A'O⊥AD，OE⊥AD，A'O∩OE＝O，所以AD⊥平面A'OE，

所以AD⊥A'E，同理AB⊥A'F．

在Rt△A'AE和Rt△A'AF中，∠A'AB＝∠A'AD＝60°，所以，，

在Rt△OAE和Rt△OAF中，∠OAE＝∠OAF＝30°，

可解得：，所以O在∠DAB的平分线AC上，

又，所以O既为AC中点，又在BD上，AC∩BD＝O，

又A'O平面A'BD，A'O⊥平面ABCD，所以平面A'BD⊥平面ABCD；

（2）方法一：

由（1）可知OA'，OA，OB两两垂直，分别以OA，OB，OA'所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（，0，0），B（0，1，0），A'（0，0，），D（0，-1，0），C'（，0，），

设平面BA'C'的法向量为＝（x，y，z），则，

即，可取z＝1，则＝（0，，1），

同理可解得平面DA'C'的一个法向量为＝（0，，1），

则，

由图可知该二面角为锐二面角，故二面角B-A'C'-D的余弦值是．

方法二：由（1）可知：平面A'BD⊥平面ABCD，又AC⊥BD，AC平面ABCD，

所以AC⊥平面A'BD，又AC∥A'C'，

所以A'C'⊥平面A'BD，

则∠BA'D即为二面角B-A'C'-D的平面角；

由（1）可知：，A'B＝A'D＝，BD＝2，

由余弦定理可得：，

所以二面角B-A'C'-D的余弦值是．

20．解：（1）在一轮比赛中，甲积1分记为事件A，其概率为，

甲积0分记为事件B，其概率为P（B）＝，

甲积-1分记为事件C，其概率为，

三轮比赛后，甲积1分记为事件D，则P（D）＝P（ABB＋BAB＋BBA＋CAA＋ACA）

＝P（ABB）＋P（BAB）＋P（BBA）＋P（CAA）＋P（ACA）＝．

（2）乙两轮获胜记为事件E，则P（E）＝P（CC）＝；

乙三轮获胜记为事件F，则P（F）＝P（BCC＋CBC）＝P（BCC）＋P（CBC）＝；

乙四轮获胜记为事件G，则

P（G）＝P（BBCC＋BCBC＋CBBC＋ACCC＋CACC）＝P（BBCC）＋P（BCBC）＋P（CBBC）＋P（ACCC）＋P（CACC）＝；

乙五轮获胜记为事件H，则P（H）＝P（BBBCC＋BBCBC＋BCBBC＋CBBBC＋BACCC＋BCACC

＋ABCCC＋CBACC＋ACBCC＋CABCC＋ACCBC＋CACBC）＝．

综上：若比赛至多进行五轮，则乙能获胜的概率是．

21．解：（1）f'（x）＝3x2＋2bx＋c，由题意可知，f'（x）＝3x2＋2bx＋c＝0有两个不同的根x1、x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[0，1]，

则，解得：-3≤c≤0，

即c的范围为[-3，0]．

（2）由题意可知，，所以，

所以，

，令，求导可得：，

可知g（x）在[0，1]上单调递减，则，

即，又由-3≤c≤0，所以-1≤f（x2）≤1得证．

22．解：（1）由题意可知，抛物线D：y2＝4x的焦点为（1，0），所以椭圆C的半焦距c＝1，

又椭圆C有一点P满足|PF1|︰|F1F2|︰|PF2|＝3︰4︰5，

所以椭圆C的离心率，所以a＝2，，

则求得椭圆C的方程是．

（2）当直线AB的斜率不存在时，直线PQ即为x轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件；

当直线AB的斜率为0时，A，B为椭圆长轴两端点，直线PQ⊥x轴，|PQ|＝4，

四边形APBQ的面积S＝4×2＝8；

当直线AB的斜率k≠0时，设直线AB的方程为y＝k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立直线AB与椭圆C：，

消去y可得：（3＋4k2）x2-8k2x＋4k2-12＝0，

则，．

则弦长

，

设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立直线PQ与抛物线D：，

消去y可得：x2-（4k2＋2）x＋1＝0，则x3＋x4＝4k2＋2，

由抛物线的定义，弦长|PQ|＝x3＋x4＋2＝4k2＋2＋2＝4（k2＋1），

由于AB⊥PQ，则四边形APBQ的面积，

令3＋4k2＝t＞3，则，

即，令，求导可得：，

可知x＞3时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，则g（x）＞g（3）＝8，

综上可知，当直线AB斜率k＝0时，四边形APBQ面积有最小值8．