2020届吉林省吉林市高三上学期第一次调研考试数学（理）试题（解析版）

2020届吉林省吉林市高三上学期第一次调研测试数学（理）试题  一、单选题1．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据集合的交集运算即可求解。【详解】，  故选：D【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。2．函数的最小正周期是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函数的最小正周期，即可求解。【详解】，  故选：B【点睛】本题考查求三角函数的周期，属于基础题。3．已知向量，则（    ）A．-8 B．4 C．7 D．-1【答案】A【解析】由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】  故选：A【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.4．已知奇函数当时，，则当时，的表达式是(   )A． B． C． D．【答案】C【解析】设x<0，则−x>0，又当x>0时,f(x)=x(1−x)，故f(−x)=−x(1+x)，又函数为奇函数，故f(−x)=−f(x)=−x(x+1)，即f(x)=x(x+1)，本题选择C选项.5．若数列满足：且，则（    ）A． B．-1 C．2 D．【答案】B【解析】首先由递推关系得出、、、且数列的周期为即可求出.【详解】由且，则，， ，所以数列为周期数列，周期为，所以故选：B【点睛】本题考查数列周期性的应用，属于基础题.6．若，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.7．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.8．已知是不共线的向量，，若三点共线，则满足（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据平面向量的共线定理即可求解。【详解】由三点共线，则、共线，所以存在不为零的实数，使得 即 ，又因为是不共线的向量，所以，消解得故选：D    【点睛】本题考查平面向量的共线定理，需掌握共线定理的内容，属于基础题。9．若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据且在上为减函数可得，结合，再根据对数函数的图像特征，得出结论.【详解】由且在上为减函数，则，令， 函数的定义域为，，所以函数为关于对称的偶函数. 函数的图像，时是函数的图像向右平移一个单位得到的. 故选：D【点睛】本题考查复合函数的图像，可利用函数的性质以及函数图象的平移进行求解，属于基础题.10．等比数列的前项和为，若，,则（    ）A．510 B．255 C．127 D．6540【答案】B【解析】由等比数列的性质可得，由可得公比，，再由等比数列的求和公式即可求出【详解】由等比数列的性质可得，解得，又，    ，， 即，又，所以 由等比数列的求和公式  故选：B【点睛】本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题.11．已知向量满足，点在内，且，设，若，则（    ）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】根据题意由得，建立如图所示的直角坐标系，由，不妨设，，则，再利用正切的定义结合建立关于的等式，即可解出的值。【详解】 由得，建立如图所示的直角坐标系，，不妨设，， 由得， 故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算，属于基础题。12．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函数与方程的关系得：函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，再利用导数可得求出的单调区间，只需，即可求出【详解】因为函数为增函数，由函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，则，又，所以，则当时，，当时，，所以函数在为减函数，在为增函数， 要使的图像与直线有两个不同的交点，则需，即 所以， 所以 所以 所以 所以 即 又，所以 故选：A         【点睛】本题考查了函数的值域问题，解题时构造函数，利用转化思想，属于中档题.  二、填空题13．已知函数，则________.【答案】1【解析】根据解析式，先求，再求 即可。【详解】， ，，故答案为：1【点睛】本题主要考查函数的表示方法，分段函数求值，属于基础题。14．已知向量与的夹角为，，则_______.【答案】2【解析】=，所以，填2.15．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.【答案】1.5【解析】由题意设此等差数列的公差为，则求出首项即可得到答案。【详解】设此等差数列的公差为， 由题意即解得  所以夏至的日影子长为  故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，解题的关键把文字叙述转化为数学等式，属于基础题。16．已知函数 若，则________.【答案】【解析】由辅助角公式化简，再由得图像关于直线对称，利用正弦函数的性质得到，再由，得，由二倍角公式即可求解.    【详解】设，，所以，又因为，所以函数的图像关于直线对称，根据正弦函数的性质得到，因为，，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数以及辅助角公式、二倍角公式，属于中档题. 三、解答题17．是底部不可到达的建筑物，是建筑物的最高点，为测量建筑物的高度，先把高度为1米的测角仪放置在位置，测得仰角为45°，再把测角仪放置在位置，测得仰角为75°，已知米，在同一水平线上，求建筑物的高度。【答案】（）米【解析】在中，利用正弦定理求出，在求出即可求出.【详解】中，，（米）    因为所以（米）所以建筑物的高度为（）米【点睛】本题考查正弦定理在生活中的应用，把生活中的问题转化到三角形中进行求解，属于基础题。18．已知等差数列的公差,前项和为.,且成等比数列。(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为,求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）根据等差的通项公式与等比中项求出，代入等差数列的通项公式即可。利用裂项相消法求和以及放缩法即可证明。【详解】（1）由题意得：，得， 因为，所以，代入（1）式求得， 所以；（2）由（1）根据等差数列的求和公式可得，  【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题。19．在中，角，，的对边分别是，，.已知.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的面积.【答案】（I）；（II）【解析】（Ⅰ）由，利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可得，结合角的范围可得结果；（Ⅱ）由余弦定理可得，求出的值，利用三角形面积公式可得结果.【详解】（Ⅰ）∵，∴由正弦定理可得，，因为，∴，∴.∵，∴.（Ⅱ）∵，∴，∵，∴，∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20．设函数的正零点从小到大依次为……，，……，构成数列.（1）写出数列的通项公式，并求出数列的前项和；（2）设，求的值.【答案】（1），；（2）见解析【解析】（1）由函数的正零点，令即可求出，再有等差数列求和公式即可求出 （2）首先求出，再讨论的奇偶即可求解。【详解】（1） （2） 当时， 当时，【点睛】本题主要考查数列的通项公式、等差数列的求和公式以及求三角函数值，属于综合性题目。21．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值与最小值。【答案】（1）增区间是和；递减区间是 ；（2）最大值是77，最小值是【解析】（1）求函数的导数，求单调递增区间，求单调递减区间。（2）根据函数的单调性即可求出最值。【详解】（1） 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以的递增区间是和；递减区间是 （2）由（1）知，在上单调递增，在区间上单调递减 所以的极大值为极小值为-    又因为 ，所以的最大值是77，最小值是【点睛】本题考查了函数的导数求单调区间和最值，属于基础题。22．设函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，恒成立，求整数的最大值【答案】（1）；（2）最大值为2【解析】（1）把代入，求求导得出的斜率，代入点斜式方程即可求解。 （2）由，分离参数（）恒成立，设，求导得出的的范围，又，即可得到的最大值为2。【详解】当时，， 所以，因为  所以切线方程为，    整理得： （2），因为，所以（）恒成立设，则 ---------6分设则所以在上单调递增，又所以存在使得，时，；时，所以在上单调递减，上单调递增所以，又所以 当时， ，所以在上单调递增所以，即因为，所以，所以的最大值为2.【点睛】本题利用导数求切线方程以及求函数的最值，综合性比较强。