2020届湖南省永州市高三一模（10月）数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.
【详解】
由解得，故.
故选B.
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）.
A.0 B. C. D.
【答案】B
【解析】化简复数为的形式，由此求得的虚部.
【详解】
依题意，故的虚部为.
故选B.
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查虚部的概念，属于基础题.
3．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，化简得原式，即可求解
【详解】
由题意，得
，故选A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及两角差的余弦公式的化简求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．设，则“”是“”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分别解对数不等式和指数不等式，求得题目所给两个条件的等价条件，由此判断出正确选项.
【详解】
由解得；由解得，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查指数不等式和对数不等式的解法，属于基础题.
5．已知实数，满足，则的最小值为（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】画出可行域，向下平移基准函数到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示，向下平移基准函数到可行域边界的位置，故的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
6．在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则这个样本的容量是（ ）.
A.20 B.30 C.40 D.50
【答案】C
【解析】设出中间小长方形的面积，也即频率，根据已知条件列方程，求得中间小长方形的面积，由此计算出样本容量.
【详解】
设中间小长方形的面积为，则其它小长方形面积之和为，故，解得，所以样本容量为.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查由频率分布直方图小长方形的面积关系计算频率，考查样本容量的计算，属于基础题.
7．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据双曲线离心率求得，进而求得，由此求得渐近线方程.
【详解】
由于双曲线离心率为，故，即，解得，故渐近线方程为.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查双曲线离心率，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
8．已知正方形的边长为2，点是的中点，，则向量（ ）.
A.1 B.5 C.7 D.
【答案】C
【解析】将表示为的线性和形式，再结合向量数量积的运算，求得的值.
【详解】
画出图像如下图所示，依题意可知是线段的中点，是线段的中点.故,.故.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查平面向量加法和减法运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
9．函数的大致图象为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用函数的奇偶性排除，利用函数的单调性排除，从而可得结果．
【详解】
，
，
为奇函数，其图象关于原点对称，故排除，
在上是增函数且，
在上是增函数且，
所以在是增函数，排除，故选A．
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
10．在中，，，所对应边分别为，，，已知，且，则的面积为（ ）.
A.1 B. C. D.
【答案】B
【解析】利用余弦定理化简求得，由此求得，再结合三角形面积公式求得三角形的面积.
【详解】
由余弦定理得，所以，由得.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分别计算出小等边三角形和大等边三角形的面积，再根据几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】
依题意可知小等边三角形的面积为.在三角形中，由余弦定理得，故大等边三角形的面积为.故在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是.
故选C.
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查等边三角形的面积公式，考查几何概型的计算，属于基础题.
12．已知，为椭圆：的左右焦点，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，，，则（ ）.
A.36 B.12 C.10 D.8
【答案】D
【解析】根据椭圆的对称性判断出是矩形，由此得到，根据三角形的面积，结合椭圆的定义求得的值，进而求得的值，从而求得的值.
【详解】
连接，根据椭圆的对称性可知是矩形，所以，即.根据椭圆的定义和三角形面积公式得，解得，所以，所以.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查勾股定理，考查方程的思想，考查椭圆的几何性质，属于基础题.
二、填空题
13．已知函数，则______.
【答案】1
【解析】先求得的值，进而求得的值.
【详解】
依题意，.
故填：.
【点睛】
本小题主要考查分段函数求函数值，考查指数运算和根式运算，属于基础题.
14．已知各项均为正数的等比数列满足，则______.
【答案】2
【解析】根据等比数列下标和的性质化简已知条件，由此求得的值.
【详解】
由等比数列下标和的性质可知，解得.
故填：.
【点睛】
本小题主要考查等比数列下标和的性质，考查运算求解能力，属于基础题.
15．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据正弦函数的单调递增区间求得的取值范围，这个取值范围包含区间，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由，解得，所以，，由于，故，所以.
故填：.
【点睛】
本小题主要考查已知三角函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
16．已知四面体的各棱长都为4，点是线段的中点，若球是四面体的外接球，过点作球的截面，则所得截面圆的面积取值范围是______.
【答案】
【解析】先求得外接球的半径，然后根据球的截面计算出最小的截面圆和最大的截面圆的面积，由此求得截面圆的面积取值范围.
【详解】
设等边三角形的外心为，正四面体外接球的球心为，高为.设球的半径为，由得，.过和作出球的截面图，是球的直径，，最小的截面圆圆心为，半径为，面积为.最大的截面圆圆心为，半径为，面积为.故截面圆的面积取值范围是.
故填：.
【点睛】
本小题主要考查正四面体外接球半径的计算，考查过球内一点球的截面面积的取值范围的求法，考查空间想象能力，考查运算求解能力，属于中档题.
三、解答题
17．某企业为了提高企业利润，从2014年至2018年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额（单位：万元）与年利润增长量（单位：万元）的数据如表：
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
投资金额/万元 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 8.0 |
年利润增长量/万元 | 6.0 | 7.0 | 9.0 | 11.0 | 12.0 |
（1）记年利润增长量投资金额，现从2014年至2018年这5年中抽出两年进行调查分析，求所抽两年都是万元的概率；
（2）请用最小二乘法求出关于的回归直线方程；如果2019年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元，试估计该企业在2019年的年利润增长量为多少？
参考公式：，；
参考数据：，.
【答案】（1）； （2）该企业在该年的年利润增长量大约为15.4万元.
【解析】（1）利用列举法列举出年中抽出两年的基本事件总数，然后求得其中两年都是的基本事件数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
（2）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并将代入回归直线方程，求得年利润增长量的估计值.
【详解】
（1）2014年至2018年的分别记为：，，，，，
抽取两年的基本事件有：
，，，，，，，，，，共10种，
其中两年都是的基本事件有：，，，共3种，
故所求概率为.
（2），，
则，
所以回归直线方程为，将代入上述方程得，
即该企业在该年的年利润增长量大约为15.4万元.
【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算，考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.
18．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得数列的通项公式.
（2）先求得，然后利用裂项求和法求得.
【详解】
（1）设数列的公差为，则
，解得，，.
（2）由（1）知，
，
.
【点睛】
本小题主要考查基本元的思想求解等差数列通项公式和前项和公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.
19．如图1，等腰中，，，点，，为线段的四等分点，且.现沿，，折叠成图2所示的几何体，使.
（图1）
（图2）
（1）证明：平面；
（2）求几何体的体积.
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】（1）通过证明平面、平面来证得平面平面，由此证得平面.
（2）将所求几何体分割成三棱柱和三棱锥两个部分，根据棱柱和棱锥的体积计算公式，计算出相应的体积，再相加求得几何体的体积.
【详解】
（1）由，可知四边形是棱形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面，
又平面，所以平面.
（2）连接，，取的中点，连接，，
则，
由图1知，所以，，
所以平面，平面，
又，所以几何体为直三棱柱，平面.
由图1，直角三角形中，，，所以，
所以，
由，知三角形为正三角形，则，
所以.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查不规则几何体体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20．已知抛物线：的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于3.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，求的最小值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，求出线段中点坐标即圆心坐标以及半径，由此写出的表达式，进而求得的最小值.
【详解】
（1）由题意得抛物线的准线方程为，
点到焦点的距离等于3，，解得，
抛物线的方程为.
（2）由题知直线的斜率存在，
设，，直线的方程为，
由，消去得，
所以，，
所以，
所以的中点的坐标为，
，
所以圆的半径为.
在等腰中，
，
当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
21．已知函数.
（1）求的极值；
（2）若，，求证：.
【答案】（1）详见解析； （2）详见解析.
【解析】（1）先求得函数的定义域和导函数，根据两种情况，分类讨论函数的单调区间，由此求得函数的极值.
（2）先求得的表达，利用的一阶导数以及二阶导数，证得的最小值为正数，由此证得成立.
【详解】
（1），
当时，恒成立，则在上单调递减，无极值；
当时，令，得；令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
有极小值为,无极大值
（2）当时，，
，令，则，
所以在上单调递增.
又，，
所以，使得，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，
又函数在上是单调减函数，
所以，
故.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求函数的极值，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与轴交于点，与曲线交于，两点，且，求实数的值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）利用，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，写出判别式和韦达定理，利用直线参数的几何意义，结合列方程，解方程求得的值.
【详解】
（1）曲线的极坐标方程可化为，
将，代入上式得，即.
（2）将直线的参数方程代入得
，化简得，
由得，
，，
，
所以.
【点睛】
本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义计算弦长，考查运算求解能力，属于中档题.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）利用零点分段法将函数表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集；
（2）将不等式分离常数得到，利用零点分段法求得，由此求得.
【详解】
（1）
当时，无解；
当时，由得，解得；
当时，恒成立，则；
综上所述，不等式的解集为.
（2）不等式恒成立，
恒成立.
当时，；
当时，；
当时，，
，
，即实数的取值范围.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
