2020届湖南省郴州市湘南中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2020届湖南省郴州市湘南中学高三上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．集合，，则是（    ）

A．， B． C． D．

【答案】D

【解析】化简集合 ，进而求交集即可.

【详解】

∵，，

∴，

故选：D

【点睛】

本题考查交集的概念及运算，考查二次函数的值域及一次函数的定义域，属于基础题.

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用诱导公式得到和，计算得到答案.

【详解】

；

故选：

【点睛】

本题考查了诱导公式的应用，属于简单题.

3．函数f(x)=的零点所在的一个区间是

A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）

【答案】B

【解析】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B。

【考点】本试题主要考查了函数零点的问题的运用。

点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间。

4．设，，，则  （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据指、对数的单调性直接将的范围求出来，然后再比较大小.

【详解】

因为，所以；；；

所以，

故选：D.

【点睛】

指对数比较大小，常用的方法是：中间值分析法（与比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.

5．要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ）

A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位

C．向左平移 个单位 D．向右平移个单位

【答案】C

【解析】y＝cos2x向左平移个单位得y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋1)，选C项．

6．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C．不存在 D．

【答案】B

【解析】先将命题“”的任意与存在互换，再将结论否定即可解.

【详解】

的否定为，的否定为

，∴命题“”的否定

是.

故选：B.

【点睛】

考查全称命题的否定，对全称命题的否定除了要对结论进行否定外，还要对全称量词作相应变化.

7．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（  ）

A．0 B． C．1 D．

【答案】B

【解析】试题分析：，令，则倾斜角为.

【考点】导数的几何意义.

8．已知函数，若，则            （    ）

A．3 B．4 C．5 D．25

【答案】A

【解析】,,

.

故选A.

9．设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集为 (    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】本题首先可以根据函数是奇函数将转化为，再根据“函数在上为单调递减函数且”判断出函数的函数值的正负，最后即可得出结果。

【详解】

因为函数是奇函数，

所以，即，

因为奇函数在上为单调递减函数，且，

所以奇函数在上为单调递减函数，且，

所以奇函数在上是正值，在上是负值，

在上是正值，上是负值，

所以在上满足大于等于0，故选A。

【点睛】

本题主要考察函数的单调性，对奇函数的相关性质的理解是解决本题的关键，奇函数有，考查推理能力，考查化归思想，是中档题。

10．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（     ）

A．0 B．0或 C．或 D．0或

【答案】D

【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数的值.

详解：因为，所以周期为2，作图如下：

由图知，直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点时直线 点A(1,1)或与相切，即或

选D.

点睛：

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

11．奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0、g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b等于(　　)

A．14 B．10 C．7 D．3

【答案】B

【解析】试题分析：，即当时，而此时时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由个交点，，所以共个，即，而当时，即，而时，与轴有个交点，当时，有0个交点，所以，所以．

【考点】函数的图像

【方法点睛】此题考查根据图像解决复合函数实根个数的问题，属于中档习题，如果会看这两个图像，此题本身不难，对于方程，先看有和三个值使，对于复合函数来说，就是，和对应几个的值，所以该看的图像了，时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由个交点，，所以共个，对于是先看函数，然后再看函数．

12．已知函数，若,且 ，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.

详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，

则当时，得，即，

则满足，

则，即，则，

设，则，

当，解得，当，解得，

当时，函数取得最小值，

当时，；

当时，，

所以，即的取值范围是，故选A.

点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.

二、填空题

13．，则______________.

【答案】1

【解析】利用赋值法即可得到结果.

【详解】

∵，

∴，

故答案为：.

【点睛】

本题考查求函数值，考查赋值法，考查对应法则的理解，属于基础题.

14．曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.

【详解】

由，得，

则曲线在点处的切线的斜率为，

则所求切线方程为，即.

【点睛】

求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.

15．已知， 是夹角为的两个单位向量，＝－2，＝k＋，若 ·＝0，则实数k的值为________．

【答案】

【解析】解：因为为两个夹角为的单位向量，，

所以即为

16．已知函数，则不等式的解集是______.

【答案】

【解析】当当时，利用导数知识可知在上单调递增，分类讨论解不等式即可.

【详解】

当时，，，

∴在上单调递增，

由不等式可得：

或

解得：或，

故答案为：

【点睛】

本题考查分段函数的图象与性质，考查利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础．

三、解答题

17．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，，，成等比数列，求证：为等边三角形．

【答案】见解析

【解析】通过A、B、C成等差数列，且a、b、c成等比数列，得和，结合正弦定理以及余弦定理即可证明△ABC为等边三角形；

【详解】

由，，成等差数列，得  ①．

因为，，为的内角，所以  ②．

由①②，得  ③，

由，，成等比数列，得  ④．

由余弦定理及③，可得．

将④代入，可得，即，因此，从而有  ⑤．

由②③⑤，得，所以为等边三角形．

【点睛】

本题考查判断三角形的形状，也考查了正弦定理以及余弦定理和等差，等比数列的基本知识的应用，属于中档题.

18．在锐角三角形中，内角的对边分别为且．

（1）求角的大小；

（2）若，，求 △的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理及，便可求出，得到的大小；（2）利用（1）中所求的大小，结合余弦定理求出的值，最后再用三角形面积公式求出值.

【详解】

（1）由及正弦定理，得.

因为为锐角，所以.

（2）由余弦定理，得，

又，所以，

所以.

【考点】正余弦定理的综合应用及面积公式.

19．已知．

（1）若的解集为，求的值；

（2）若对任意的，恒成立，求实数的范围．

【答案】（1）－（2）

【解析】(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.

由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.

由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.

(2)∵x>0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.

20．函数

（1）当 时，求函数在 上的值域；

（2）是否存在实数 ，使函数在递减，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1） （2）不存在

【解析】试题分析：（1）函数为单调递减函数,根据单调性求值域（2）由复合函数单调性可得,根据函数最值可得,解得,根据函数定义域知无意义 ,所以不存在.

试题解析：解：（1）由题意：，

令，所以，所以函数的值域为；        

（2）令，则在上恒正，，在上单调递减，，即  

又函数在递减，在上单调递减，

，即 ， 又函数在的最大值为1，，

即，    与矛盾，不存在.

21．已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；

（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；

（3）当，且时，证明：.

【答案】（1）0；（2）的单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为；（3）证明见解析.

【解析】（1）求导得到，代入计算得到答案.

（2）求导得到，的变化情况表，得到单调区间和极值.

（3）证明等价于，设，求导得到函数单调递增，计算最小值得到证明.

【详解】

（1）函数的定义域为，所以.

又曲线在点处的切线与直线平行，

所以，即.

（2）令，得，当变化时，，的变化情况如下表：

由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是，

所以在处取得极大值，的极大值为.

（3）当时，.由于，要证，

只需证明，令，则.

因为，所以，故在上单调递增，

当时，，即成立．

故当时，有，即.

【点睛】

本题考查了函数的切线，单调区间，极值，证明恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.

22．某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个型零件和1个型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个型零件或者3个型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一种型号的零件.设加工型零件的工人数为名.

（1）设完成、型零件加工所需的时间分别为、小时，写出与的解析式；

（2）当取何值时，完成全部生产任务的时间最短？

【答案】（1）（，且）；（，且）；（2）为了在最短时间内完成生产任务，应取32.

【解析】（1）分别计算得到和，再计算定义域得到答案.

（2）根据和的大小关系得到，分别计算函数的最小值得到答案.

【详解】

（1）生产150件产品，需加工型零件450个，

则完成型零件加工所需时间（，且）.

生产150件产品，需加工型零件150个，

 则完成型零件加工所需时间（，且）.

（2）设完成全部生产任务所需时间为小时，则为与的较大者.

令，即，解得.

所以，当时，；当时，.   

故.

当时，，故在上单调递减，

则在上的最小值为（小时）；                    

当时，，故在上单调递增，

则在上的最小值为（小时）；           

∵，∴在上的最小值为.

∴.

为了在最短时间内完成生产任务，应取32.

【点睛】

本题考查了函数的应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.