2020届湖南省郴州市高三第一次教学质量监测（12月） 数学（文）试题（解析版）

2020届湖南省郴州市高三第一次教学质量监测（12月） 数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据集合的交集运算法则直接求解.

【详解】

由题：集合，，

故选：A

【点睛】

此题考查集合的交集运算，属于简单题目，根据运算法则直接求解.

2．若复数为纯虚数，则实数（    ）．

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】根据复数运算法则化简，纯虚数，即实部为零，虚部不为零.

【详解】

由题：为纯虚数，

则解得：.

故答案为：D

【点睛】

此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要注意熟练掌握运算法则，弄清相关概念，纯虚数必须实部为零且虚部不为零.

3．若角的终边过点，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据角的终边过点求出，再根据正弦函数的奇偶性求出

【详解】

由题：角的终边过点，则，

由正弦函数是奇函数，所以.

故选：D

【点睛】

此题考查三角函数的定义，根据角的终边上的点求角的正弦值，再根据正弦函数的奇偶性求值，或者得出的终边上的点，根据三角函数定义求值也可.

4．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由于，，且，

故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除， 故选B．

【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除

5．在等比数列中，，是方程的根，则的值为（    ）．

A． B． C． D．或

【答案】C

【解析】根据等比数列的性质结合韦达定理求出：，讨论的符号即可求得.

【详解】

在等比数列中，，是方程的根，

由韦达定理：，

所以同为负数，等比数列所有偶数项符号相同，所以

根据等比数列的性质：，，

所以

故选：C

【点睛】

此题考查等比数列的性质，结合二次方程韦达定理解决项的关系.

6．定义域为的函数是偶函数，且对任意，．设，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，函数为偶函数且在单调递减，将所求函数值转化成的函数值进行比较即可.

【详解】

由题：对任意，

任取，因为，则，

即，所以函数在单调递减

函数是定义域为的偶函数，所以，

，所以

故选：A

【点睛】

此题考查通过函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，关键在于准确判断函数的单调性，将所求值转化到同一单调区间利用单调性比较大小.

7．已知向量，，且，则向量与夹角为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】即，代入坐标求出，根据向量夹角余弦值公式求解即可.

【详解】

由题：即，

解得：，，，

根据向量夹角的取值范围限制在

所以向量与夹角为

故选：C

【点睛】

此题考查通过向量的垂直关系求参数值，再求向量的夹角，对基本公式通式通法的考查.

8．下列结论中正确的个数是（    ）．

①在中，若，则是等腰三角形；

②在中，若 ，则

③两个向量，共线的充要条件是存在实数，使

④等差数列的前项和公式是常数项为0的二次函数．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】对每个命题逐一检验其正确性:

①：若，则或；

②:转化为证明其逆否命题：在中，若，则，结合正弦函数单调性可证；

③：若，不合命题的充要性，命题为假；

④：常数列不合题意.

【详解】

对于①：若，则或，即或

即是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；

对于②：证明其等价命题即其逆否命题：在中，若，则

当时，由正弦函数单调递增可得；

当时，，

所以原命题成立，所以该命题正确；

对于③：若，满足向量，共线，但不存在实数，使，所以该命题不正确；

对于④：常数列，通项公式，其前项和公式不是二次函数，所以该选项不正确，

综上：只有一个正确.

故选：B

【点睛】

此题考查对命题真假性的判断，涉及解三角形，向量，数列相关知识，此类问题涉及面广，考查全面，对综合能力要求较高.

9．郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】考虑基本事件总数时，按照指挥交通组选人，打扫街道组选人，计算基本事件总数，先计算甲乙在同一组的概率，其对立事件的概率即为所求.

【详解】

根据指挥交通组选人打扫街道组选人，基本事件总数为，

甲乙在同一组包含基本事件总数为2，其概率为，

其对立事件：“甲、乙不在同一组”

所以甲、乙不在同一组概率为

故答案为：C

【点睛】

此题考查古典概型，关键在于准确算出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，其中考查基本计数原理，解题中合理使用对立事件概率关系能降低解题难度.

10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（    ）．

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，代入双曲线和圆的方程，根据正方形关系，求解离心率.

【详解】

设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，

，

以为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则

代入可得：，

，两边同时除以得：

，，双曲线离心率

所以

故选：D

【点睛】

此题考查通过双曲线上的点的关系求解离心率，关键在于将题目所给条件转化成代数关系求解，构造齐次式解方程.

11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出点关于直线的对称点，所求问题即点到军营的最短距离.

【详解】

由题点和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧，

设点关于直线的对称点，

中点在直线上，

解得：，即，设将军饮马点为，到达营区点为，则总路程，要使路程最短，只需最短，即点到军营的最短距离，即点到区域的最短距离为：

故选：B

【点睛】

此题结合中国优秀传统文化内容考查点关于直线对称问题，以及圆外的点到圆上点的最小距离，对数形结合思想要求较高.

12．已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，实数的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数没有零点，即函数的导函数恒为正或恒为负，即在定义域内单调，只有唯一实根，即，可得可得在定义域内单调递增，在上的单调递增，利用导函数恒大于等于零即可求解.

【详解】

函数没有零点，即函数或恒成立，即在定义域内单调，则只有唯一实根，设该实根为（为常数），

，即，

所以在定义域内单调递增，所以在上的单调递增，

恒成立，

恒成立

，恒成立

所以

所以

故选：B

【点睛】

此题考查通过导函数讨论函数单调性问题，涉及方程的根，不等式恒成立求参数范围问题，综合性比较强.

二、填空题

13．已知函数，______．

【答案】6

【解析】根据分段函数依次求解，再求的值即可.

【详解】

由题，

故答案为：6

【点睛】

此题考查分段函数求值问题，根据分段函数解析式，依次求值即可.

14．已知，满足约束条件，若的最大值是______．

【答案】10

【解析】作出可行域，求出顶点坐标，对目标函数表示直线进行平移，依据截距的最值求出最大值.

【详解】

作出可行域如图所示，解出顶点坐标

平移目标函数表示的直线，直线截距越大，即越大，

由图可得当直线过时直线截距最大，此时取得最大值10.

故答案为：10

【点睛】

此题考查线性规划问题，关键在于准确作出可行域，求出顶点坐标，通过平移直线求得最值.

15．设数列满足，，，则______．

【答案】16

【解析】根据，，求出数列的通项公式即可.

【详解】

由题：，，

，，

两式相减：

当时，

所以所以.

故答案为：16

【点睛】

此题考查通过数列前项和与通项的关系求解通项公式再求具体项的问题，关键在于根据弄清题目所给限制条件，注意适用范围，避免出错.

16．在中，，，，为外一点，满足，则三棱锥的外接球的半径为______．

【答案】

【解析】取中点，连接，通过计算得出，平面，即为所在平面与球形成截面圆的圆心，球心在线段上，列方程组即可求解.

【详解】

取中点，连接，

在中，，，，所以为直角三角形，

所以，为所在平面与球形成截面圆的圆心，

又因为

所以，

在中，，所以，与相交，

则平面，则球心在上，

设球的半径

在中，

解得：

故答案为：

【点睛】

此题考查通过三棱锥特征求其外接球半径大小的问题，关键在于弄清几何特征，寻找等量关系，找出球心位置，建立方程组求解半径，平常学习中有必要积累常见几何体外接球半径求法.

三、解答题

17．某经销商从某养殖场购进某品种河蟹，并随机抽取了 100只进行统计，按重量分类统计，得到频率分布直方图如下：

（1）记事件为“从这批河蟹中任取一只，重量不超过120克”，估计；

（2）试估计这批河蟹的平均重量；

（3）该经销商按有关规定将该品种河蟹分三个等级，并制定出销售单价如下：

试估算该经销商以每千克至多花多少元（取整）收购这批河蟹，才能获利？

【答案】（1）；（2）104g；（3）至少元

【解析】（1）由频率分布直方图求前四个小矩形面积之和即重量不超过120克的频率即为概率的估计值；

（2）根据频率分布直方图性质，每组小矩形面积乘以该组中间值，再求和即为平均数；

（3）根据三个等级个数求出总售价，由（2）计算出总重量，再计算出平均成本，要求成本不超过售价才能获利.

【详解】

（1）由频率直方图可知：河蟹的重量不超过的频率，

∴估计．

（2）由题估计平均重量为：．

（3）设该经销商收购该批河蟹每千克至多元，由（2）可知该100只河蟹的总重量为

由图可知特级河蟹有只

，一级河蟹有只，

二级河蟹有只，

∴，而，

∴经销商以每千克至多花163元收购这批河蟹，才能获利

【点睛】

此题考查频率分布直方图相关数据求法，并根据数据作出决策，要求准确掌握频率分布直方图的众数，中位数，平均数的求法，计算准确无误.

18．在中，角、、所对的边分别为、、，且向量与向量共线．

（1）求角的大小；

（2）若，且，，求三角形的面积．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据向量共线的坐标表示，即可列出等式结合正弦定理，求解未知数；

（2）根据向量关系求出线段长度，由余弦定理求出三角形边长，即可计算面积.

【详解】

（1）∵向量与向量共线共线，

∴，由正弦定理可得，

∴．∵，∴．

又∵，∴．

（2）∵，且，，∴，，

在中，由余弦定理有，

即，解得，或（舍去），

故．

【点睛】

此题考查解三角形，结合向量共线的坐标表示，建立等量关系结合正弦定理求角，根据余弦定理求边，计算面积.

19．如图，在五棱锥中，平面，，，，，，．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角是，求五棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）平面可得，通过计算证明，即可证明；

（2）结合第一问结论找出线面角，通过角度计算长度，即可求出锥体体积.

【详解】

（1）在三角形中，∵，，，

∴，

∴，∴，∴．

由得．又平面，面，故．

又，∴平面．

（2）由（1）知平面平面，∴就是直线与平面所成角，

∴，得，∴．

，，，，

直角梯形中，，

所以，

梯形面积．

故五棱锥的体积．

【点睛】

此题考查线面垂直的证明和通过线面角的大小求线段长度，再求锥体体积，考查通式通法，属于中档题.

20．设为圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段上的一点，且满足．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点作直线与曲线相交于，两点，设为坐标原点，当的面积最大时，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用相关点法设坐标，，，通过代换关系即可求出轨迹方程；

（2）设直线的方程与椭圆方程联立，整理成二次方程，结合韦达定理，表示出三角形的面积，利用函数关系求面积的最值.

【详解】

（1）依题意可设，，

∵，∴．又，∴，

∴点的轨迹为椭圆，方程为．

（2）由题：要形成三角形，则直线倾斜角不能为0，

设的方程为，，，

则有，

联立方程组消去并整理得，

∴，∴．

令，则有．

∴当，即时面积最大，此时的方程为．

【点睛】

此题考查利用相关点求轨迹方程，直线与椭圆形成图形中，结合韦达定理讨论三角形面积的最值问题，考查解析几何的通式通法，对综合能力要求较高.

21．已知函数．

（1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值；

（2）若，求证：．

【答案】（1）或；（2）见解析

【解析】（1）利用导函数求出曲线在处切线，表示出切线与坐标轴围成三角形面积即可求解；

（2）需证明的不等式通过作差转化成证明，利用导函数单调性求出最小值即可得证.

【详解】

（1），则为切线斜率．

又，∴切点为．∴曲线在处切成方程为．

当时，，当时，（易知）

则切线与坐标轴围成三角形面积为．

∴得．

所以或．

（2）法一：时，

要证的不等式为，即．

令，则．

易知递增，，，∴仅有一解且，即．

当时，，递减；当时，，递增．

从而最小值为∴，故原不等式成立．

法二：时，要证的不等式为．令，则．

故问题化为证不等式恒成立．时，

令，则，当时，，递减；

当时，，递增．∴，从而原不等式成立．

【点睛】

此题考查通过导函数求在某点处的切线，通过导函数证明不等式，其中用到隐零点问题解法，常用方法作差构造新函数，若能考虑换元法由经典不等式讨论最值会更加简单.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

（2）设点在曲线上，求点到直线距离的最小值与最大值．

【答案】（1）曲线：，直线：；（2）最小值为，最大值为2

【解析】（1）通过参数方程与普通方程的转化方法和直角坐标方程与极坐标方程之间的转化方法化简即可；

（2）用点的参数方程表示坐标，利用点到直线的距离公式表示出距离，再利用函数关系求最值.

【详解】

（1）由，

曲线的普通方程：

由得，

，直线的直角坐标方程．

（2）设点到直线的距离为

．

∵，，，，

∴点到直线距离的最小值为，最大值为2．

【点睛】

此题考查参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程之间的转化，通过参数方程求点到直线距离的最值问题，注意考虑参数的取值范围限制条件，避免范围取错.

23．设，．

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意的，使得，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）利用零点分段讨论的方法求解不等式即可；

（2）对任意的，使得，只需即可，结合绝对值不等式性质求出两个函数的最值，解不等式即可.

【详解】

（1）将化为：

，或，或，

解得，或，或．

解集为或．

（2）∵，，

由题意得，只需即可，

∴得，

∴．

【点睛】

此题考查利用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式性质求绝对值最值间的大小关系，考查绝对值三角不等式，以及不等式恒成立求参数范围.