陕西省西安中学2020届高三第六次模拟考试数学（文）试题
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数学（文）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合，，则( )
A. B. C D.
2.复数的共轭复数.
A. B. C. D.
3. 刘徽的割圆术是建立在圆面积论的基础之上的．他首先论证，将圆分割成多边形，分割越来越细，多边形的边数越多，多边形的面积和圆的面积的差别就越来越小了．如图，阴影部分是圆内接正12边形，现从圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 .
A. B. C. D.
4.设，则 .
A. B. C. D.
5.一动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此圆过定点 .
A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,0)
6. 已知函数的部分图象如上图所示，则的解析式可能为 .
A. B. C. D.
7. 设n%m表示自然数n被正整数m除所得余数， [x]表示不超过x的最大整数，如20%7=6，[3.14]=3.在图示框图中，若输入2049 ,则输出值为( ).
A. 15 B. 20 C. 45 D. 38
8.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前n项和，若，且则=( ).
A. 32 B. 31 C. 30 D. 29
9.一个正方体纸盒展开后如下图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成角为；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是( ) .
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③
10.的面积为，角的对边分别为,若,则的值是（ ）.
A. B. C. D.
11. 已知双曲线的左右焦点分别为,经过的直线分别交双曲线的左右两支于点，连接，若且，则该双曲线的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
12.已知,.定义集合,则的元素个数满足（ ）.
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知点是正方形的边的中点，若则的值为______.
14.设是等差数列的前项和，若则________．
15.已知若不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
16. 若某直线被两平行线所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为_______.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.（本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）;
（II）令, 求函数的定义域及不等式的解集.
18.（本小题满分12分）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩y如下表：
数学成绩 | 145 | 130 | 120 | 105 | 100 |
物理成绩 | 110 | 90 | 102 | 78 | 70 |
数据表明与之间有较强的线性关系．
（Ⅰ）求关于的线性回归方程；
（II）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（Ⅰ）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；
（III）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？
参考数据：回归直线的系数，．
，，．
19.（本小题满分12分）如图，六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，,沿进行翻折，得到的图形如图所示，且.
（Ⅰ）求证：；
（II）求证:点不在同一平面内；
（III）求翻折后所得多面体的体积．
20.（本小题满分12分）已知抛物线经过椭圆的两个焦点.
（Ⅰ） 求椭圆的离心率；
（II）设点,又为 与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线 上，求椭圆的方程.
21. （本小题满分12分）设函数
（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程;
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间;
（III）当时，若存在极值点,求证:
22．选考题（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，圆的方程为．
（Ⅰ）求出直角坐标系中的方程和圆心的极坐标；
（Ⅱ）若射线分别与圆与和直线交点（异于原点）,求长度．
23.选考题（本小题满分10分）已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）设实数,求证：.
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数学（文）答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | D | A | A | B | D | A | B | D | B | B | A |
二、填空题
13. 3 14. 8 15. [-4,3] 16. 和
三、解答题
17. （Ⅰ）
2分
6分
（Ⅱ），
函数的定义域为，
不等式的解集为.
12分
18. 解：（Ⅰ）由题意可知，
故．，故回归方程为．
5分
（Ⅱ）将代入上述方程，得．
8分
（III）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36．
抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人．
于是可以得到列联表为：
| 物理优秀 | 物理不优秀 | 总计 |
数学优秀 | 24 | 6 | 30 |
数学不优秀 | 12 | 18 | 30 |
总计 | 36 | 24 | 60 |
于是，
因此在犯错误概率不超过的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．
12分
19. （Ⅰ）在等腰梯形ADEF中，作于M，则，，
．连接AC，则，
，，，；
，平面ADEF.
4分
（Ⅱ）设G为CD中点，则易知ABGD为平行四边形，故BG∥AD,又EF∥AD,所以FE∥BG,于是
由Ⅰ知，平面ADEF，而平面ABCD，E,F,B,G共面，而C显然不在此平面内，所以点不在同一平面内.
7分
（III）由Ⅰ知，平面ADEF，而平面ABCD，平面平面ADEF．
，平面ABCD，
．
12分
20. （Ⅰ）因为抛物线经过椭圆的两个焦点， 所以，即，由得椭圆的离心率.
5分
（Ⅱ）由（1）可知，椭圆的方程为
联立抛物线的方程得，
8分
解得：或（舍去）,所以 ，即，所以的重心坐标为. 因为重心在上，所以，得.所以.
12分
21.（Ⅰ）当时，. 从而切线斜率，切线方程为，即.
3分
（Ⅱ）当时，.令，则可.于是，知在区间上递减，在上递增.从而. 所以，函数的单调区间为.
7分
（III），由题设得函数有正零点，设为，即.
由 知，知在区间上递减，在上递增，所以于是，即.
10分
于是.
12分
22. （Ⅰ） 直线的直角坐标系方程为，
2分
圆心（0,2）的极坐标为.
5分
（Ⅱ） .
10分
23. （Ⅰ）不等式解集.
5分
（Ⅱ） ，
于是， 即，
所以，.
