2020届陕西省西安中学高三第二次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省西安中学高三第二次模拟数学（理）试题


一、单选题
1．设全集U＝R，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,即．
,,．故D正确．试题分析：1集合的运算；2指数函数的值域．
【考点】
2．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可知，解得，又，从而得解.
【详解】
由数列为等差数列，可知.
所以，有.
所以.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了等差数列性质，属于基础题.
3．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．150 B．200 C．300 D．400
【答案】C
【解析】求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．
【详解】
∵，，
所以，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．
故选C．
【点睛】
本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
4．给出下列四个结论：
①若命题，，则；
②集合满足：，则符合条件的集合的个数为3；
③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”；
④设复数满足，为虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据特称命题的否定形式，可判断①；根据集合的子集的个数计算公式，可分析②；由“若p，则q”的否定形式，可判断③；，用复数的除法运算化简，计算，继而判断对应的点所在的象限.
【详解】
选项①，若命题，，则，由特称命题的否定形式，正确；
选项②，集合满足：，由子集的个数计算公式，符合条件的集合的个数为个，不正确；
选项③，命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”，正确；
选项④，，为虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，不正确.
故选：B
【点睛】
本题考查了特称命题的否定，子集的个数，逆否命题，复数的除法运算，几何意义等知识点，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
5．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线与圆有两不同交点，即是直线与圆相交，根据圆心到直线的距离小于半径，即可求出结果.
【详解】
圆的圆心为，半径为；
因为直线与圆有两个不同交点，
所以直线与圆相交，
因此，圆心到直线的距离，所以，解得；
求其充分条件即是求其子集，根据选项易得，只有A符合；
故选A
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，几何法是常用的一种作法，属于基础题型.
6．图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在上的单调性即可得出结论．
【详解】
显然是偶函数，图象关于轴对称，
当时，，
显然当时，，
当时，，而，
所以，
∴在上恒成立，
∴在上单调递减．
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．
7．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由对数的换底公式可以得出，通分再结合不等式的性质ab<0,求出的不等关系.
【详解】
因为，，
所以，
所以，所以，所以选B.
【点睛】
本题考查了对数的换底公式和不等式的性质，解题的关键在于得出ab<0,属于中档题.
8．已知等比数列的前项和，则（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】D
【解析】时，可得,,,由求出
的值，从而可得与的值，进而可得结果.
【详解】
因为，所以时，，
两式相减，可得,，
,,
因为是等比数列，
所以，
所以，

所以，故选D.
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本道题结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到

三棱锥P-ABC即为该几何体，结合题意可知AB=4，AC=2，高h为2，故体积为
，故选C。
【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图，计算体积关键抓住，即可，难度中等。
10．设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为( ).
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本道题设,利用双曲线性质,计算x，结合余弦定理，计算离心率，即可．
【详解】
结合题意可知,设
则结合双曲线的性质可得,
代入,解得,所以,
对三角形运用余弦定理,得到
,解得
故选B.
【点睛】
本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x，即可，难度偏难．
11．若函数的图象过点，在下列结论中：
（1）函数是周期函数 （2）函数关于直线对称
（3）函数关于点对称中心 （4）函数的最大值是
则正确结论的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据函数的图像过，求出，可得，再利用余弦函数的图像和性质，以及导数工具，分析得出结论.
【详解】
由函数的图象过点，可得：

故：
，故（1）正确；，故函数关于直线对称，（2）正确.
,函数关于点对称中心,故（3）正确.
令，因此在单调递增，单调递减，单调递增，u=1时函数的最大值是2,故（4）不正确.
故选：C
【点睛】
本题考查了导数和三角函数的综合应用，考查了学生转化与划归，概念理解，数学运算的能力，属于较难题.
12．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先根据函数的特点，构造关于的二次方程，研究函数的单调性和极值，并据此作出函数的图像，然后换元，最后根据二次函数的零点分布确定a的取值范围.
【详解】
由得，令
由，因此函数在单调递增，单调递减，且当时，，则的图像如图所示：

，令，则，
数形结合可知，二次方程的一根必在内，另一根或，或.
当时，，不满足题意,
当时，，不满足题意，
当时，则由二次函数的图像有：
.
故选：B
【点睛】
本题考查了零点的综合应用，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.


二、填空题
13．在三棱锥中，底面，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为___．
【答案】
【解析】由题意，在三棱锥中，可得，进而求得三棱锥的外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解。
【详解】
由题意，在三棱锥中，底面，，，，
可得，
故三棱锥的外接球的半径，
则其表面积为.
【点睛】
本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径。
14．若非零向量满足，则__________．
【答案】1
【解析】先由表示出的数量积，再由向量模的公式即可求解.
【详解】
因为非零向量满足，所以，即，
所以，因此.
故答案为1
【点睛】
本题主要考查向量的数量积和向量模的计算，熟记数量积的运算公式和向量模的公式即可求解，属于基础题型.
15．直线与曲线在第一象限围成封闭图形的面积为，则的展开式中，的系数为____________．
【答案】20
【解析】用定积分表示围成的图形的面积，然后计算求出a的值，根据二项式定理展开的公式将二项式定理展开，令x的幂的系数为1，从而求出r，从而得解.
【详解】
两个函数在第一象限的交点为，所以曲线与直线在第一象限所围成的图形的面积是：，
则：的展开式的通项公式为：
由，
则展开式中的系数为：
故答案为：20
【点睛】
本题考查了二项式定理和定积分的综合运用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
16．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；
丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是_．
【答案】甲
【解析】做出由四人的预测表，然后分析四个人的话，能够求出结果．
【详解】
由四人的预测可得下表：
中奖人
预测结果
甲
乙
丙
丁
甲
✔
✖
✖
✖
乙
✔
✖
✔
✔
丙
✖
✖
✔
✔
丁
✖
✔
✖
✔

1）若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意
2）若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意
3）若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意
4）若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意
故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确．
故答案为甲．．
【点睛】
本题考查学生的逻辑推理能力，是中档题．

三、解答题
17．的内角、、的对边分别为，，，点为的中点，已知，，.

（1）求角的大小和的长；
（2）设的角平分线交于，求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanC，结合范围C∈（0，π），可求C的值，由余弦定理可得BD的值．
（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，可求∠DBC，可得S△DBC，利用三角形的面积公式可求S△BCES△CED，代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，即可解得S△CED的值．
【详解】
（1）∵由题意可得：sinC+1﹣2sin20，
∴sinC+cos（A+B）＝0，
又A+B＝π﹣C，
∴sinC﹣cosC＝0，可得tanC，
∵C∈（0，π），
∴C，
∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3+4﹣21，
解得：BD＝1，
（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，
∴∠DBC，
∴S△DBCBD•BC，
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠BCE＝∠DCE，
在△CEB和△CED中，S△BCE，
S△CED，
可得：，
∴S△BCES△CED，
∴代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，（1）S△CED，
∴S△CED（2）＝23．

【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想的应用，属于中档题．
18．在四棱锥中，，．
（1）若点为的中点，求证：平面；
（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.
【详解】
(Ⅰ)取的中点为，连结，.
由已知得，为等边三角形，.
∵，，
∴，
∴，∴.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵为的中点，为的中点，∴∥.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵，∴平面∥平面.
∵平面，∴∥平面.

(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.
∵平面平面，，
∴平面，，.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.
则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).
易知平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，，∴，
∵，，∴.
令，得，∴，
∴.
设二面角的大小为，则.
【点睛】
本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.
19．某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，该校全体学生的成绩均在，按照，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图（1）所示，样本中分数在内的所有数据的茎叶图如图（2）所示．根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（3）．

分数



可能被录取院校层次
专科
本科
重本


图（3）
（1）求和频率分布直方图中的，的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；
（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中为重本的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1），，；（2） （3）分布列见解析，
【解析】（1）结合茎叶图中分数在70~80的人数以及频率分布直方图中对应的频率，计算得到n，x，y的值；
（2）先利用古典概型计算从该校高三年级学生中任取1人为重本的概率，该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件服从二项分布，利用公式计算即得解；
（3）随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式计算即得解.
【详解】
解：（1）由题意可知，样本容量，
解得，．
（2）成绩能被重点大学录取的人数为人，
抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是，
故从该校高三年级学生中任取1人为重本的概率为．
记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为；
则．
（3）成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数人，故随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，；；
；；
故随机变量的分布列为

0
1
2
3







随机变量的数学期望．
【点睛】
本题考查了统计与概率综合，考查了学生数学应用，综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
20．已知函数(为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)若，，试求函数极小值的最大值.
【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是； （2）1.
【解析】（I）计算导函数，构造函数，判定单调性，得到的单调性，即可。（II）得到的解析式，结合导函数判定单调性，得到极小值，构造函数，结合导函数，计算该函数的极值，即可。
【详解】
(Ⅰ)易知，且.
令，则，
∴函数在上单调递增，且.
可知，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
(Ⅱ)∵，∴.
由(Ⅰ)知，在上单调递增，
当时，；当时，，则有唯一解.
可知，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴函数在处取得极小值，且满足.
∴.
令，则.
可知，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴.
∴函数极小值的最大值为1.
【点睛】
本道题考查了利用导函数判定原函数的单调性，考查了利用导函数计算极值，关键懂得构造新函数作为辅助条件，即可，难度偏难。
21．设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）； （2）见解析.
【解析】（I）结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示，结合三角形相似，证明结论，即可．
【详解】
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，，
∴椭圆的方程可设为.
易求得，∴点在椭圆上，∴，
解得，∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由(Ⅰ)知，，
，∴.
当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，
∴，即.
联立直线和椭圆的方程得，
∴，得.
∵，
∴，

，
∴.
综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.
在中，由与相似得，为定值.
【点睛】
本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．
22．在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线，（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知与，的公共点分别为，，，当时，求的值．
【答案】（1）的极坐标方程为：；的极坐标方程为： （2）
【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；
（2）将代入，的极坐标方程，求得的表达式，代入，即得解.
【详解】
（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系代入曲线
得，
即：；
所以曲线的极坐标方程为：；
又曲线（为参数）．
利用消去参数得，
将直角坐标与极坐标互化关系：
代入上式化简得，
所以曲线的极坐标方程为：．
（2）∵与曲线，的公共点分别为，，
所以将代入及
得，，
又，∴，
∴，∴，．
【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设，若的最小值为，求的值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】(1)代入解析式,结合x的不同范围，去绝对值，计算x的范围，即可．（2）得到解析式，结合单调性，计算最小值，计算a，即可．
【详解】
(Ⅰ)，即 或 ，
∴实数的取值范围是.
(Ⅱ)∵，∴，∴，
易知函数在时单调递减，在时单调递增，
∴.
∴，解得.
【点睛】
本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．