2020届陕西省西安中学高三第三次模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省西安中学高三第三次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.

【详解】

解：，，，故选A．

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.

2．在复平面上，复数对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】化简复数，判断对应点的象限.

【详解】

，对应点为在第一象限.

故答案选A

【点睛】

本题考查了复数的计算，属于简单题.

3．“”是“直线：与直线：垂直”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】试题分析：由题意得，直线与直线垂直，则，解得或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，故选A．

【考点】两条直线的位置关系及充分不必要条件的判定．

4．已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为（    ）．

A．1 B．6 C．7 D．6或7

【答案】B

【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．

【考点】等差数列的性质.

5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】

解：当时，，，满足进行循环的条件，

当时，，满足进行循环的条件，

当时，，满足进行循环的条件，

当时，，不满足进行循环的条件，

故输出的n值为4，

故选：B．

【点睛】

本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

6．若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（   ）

A．9 B．4 C． D．

【答案】A

【解析】圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得的最小值．

【详解】

圆标准方程为，圆心为，半径为，

直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴，，

又，

∴，当且仅当，即时等号成立．

∴的最小值是9．

故选：A．

【点睛】

本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“1”的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值．

7．若等比数列{an}，前n项和Sn，且a2a3=2a1，为a4与2a7的等差中项，则S4=（　）

A．29 B．30 C．31 D．33

【答案】B

【解析】∵数列是等比数列，，∴．∵与的等差中项为，∴，故有，∴，∴，∴，则，故选B.

8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设外接球半径为，球心到底面的距离为，根据球心到四个顶点距离相等列出方程，再用球的体积公式计算外接球体积。

【详解】

设外接球半径为，设球心离底面的距离为，

则，

解得：.

所以外接球的体积为.

故选：A

【点睛】

本题考查三视图和外接球体积的公式，属于中档题。

9．在中，角所对的边分别为，若则的面积的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知式子和正弦定理可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac≤16，代入三角形的面积公式可得最大值．

【详解】

∵在△ABC中，

∴（2a﹣c）cosB＝bcosC，

∴（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，

∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，

约掉sinA可得cosB＝，即B＝，

由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，

∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，

∴△ABC的面积S＝acsinB＝ac≤

故选A．

【点睛】

本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．

10．函数的图象大致为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当时，函数，由函数的单调性，排除；当时，函数，此时，代入特殊值验证，排除，只有正确.

【详解】

当时，函数，

由函数在上递减，

可得在上递减，排除；

当时，函数，此时，

而选项的最小值为2 ，故可排除，只有正确，故选B.

【点睛】

本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

11．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（    ）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A．互联网行业从业人员中90后占一半以上

B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的

C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

【答案】D

【解析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，即可求解.

【详解】

在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；

在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的，所以是正确的；

在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；

在D中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，所以是错误的.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

12．设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于x的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知中可以得到函数是一个周期函数，且周期为4，将方程恰有4个不同的实数解，转化为函数的与函数的图象恰有4个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围.

【详解】

∵对于任意的，都有，

∴函数是一个周期函数，且.

又∵当时，，且函数是定义在R上的偶函数，

若在区间内关于x的方程恰有4个不同的实数解，

则函数与（）在区间上有四个不同的交点，如下图所示：

又，

则对于函数，

由题意可得，当时的函数值小于1，

即，

由此解得：，

∴a的范围是

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题.

二、填空题

13．已知，是夹角为的两个单位向量.则和的夹角的余弦值为______.

【答案】

【解析】根据，为基向量表示出的与，利用向量夹角公式，计算出夹角的余弦值.

【详解】

设与的夹角为，

因为，

，

，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查应用向量的数量积求向量的夹角，向量模的计算，属于基础题.

14．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ= ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．

【答案】

【解析】试题分析：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为，面积为，故飞镖落在阴影区域的概率．

【考点】几何概率．

15．双曲线（，）的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为________．

【答案】

【解析】因为双曲线的渐近线是，所以圆心到渐近线的距离，即，解之得，应填答案 ．

点睛：解答本题的关键是建立参数的方程，求解时先求出圆心坐标，与双曲线的渐近线方程，然后运用直线与圆相切建立方程，进而求得离心率为．

16．如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有______填上所有正确命题的序号

，

，

截面PQMN，

异面直线PM与BD所成的角为．

【答案】

【解析】由截面是正方形出发，利用线面平行的判定和性质，可以推出，,从而得到平面,异面直线与所成的角和与所成角相等为，，不一定是中点从而不一定相等．

【详解】

解：在四面体中，截面是正方形，，平面，平面，平面．

平面平面，，可得平面．

同理可得平面，．

，．

由，

是异面直线与所成的角，且为．

由上面可知：，．

，，

而，，

．

综上可知：都正确．

故答案为．

利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可得出．

【点睛】

本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于基础题．

三、解答题

17．已知向量，.

（1）若函数，当时，求的值域；

（2）若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，，求的值.

【答案】（1）（2）1

【解析】（1）利用倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理后，利用了三角函数图象和性质即可求得其值域；

（2）由已知及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理可求，由已知利用余弦定理可求的值，进而可求B，结合（1）利用特殊角的三角函数值即可计算得解.

【详解】

（1），.

，

，

，

，

.

（2），可得：，

，由正弦定理可得：，

又，可得：，

∴由余弦定理可得：，可得：，

.

【点睛】

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，三角函数图象和性质，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题.

18．如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（I）证明平面；

（II）求四面体的体积.

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．

试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.

又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因为平面，为的中点，

所以到平面的距离为.

取的中点，连结.由得，.

由得到的距离为，故.

所以四面体的体积.

【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．

19．某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

（1）从这5天中任选2天，求这2天发芽的种子数均不小于25的概率；

（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】（1）（2）；（3）所得到的线性回归方程是可靠的.

【解析】用列举法求的基本事件数，计算所求的概率值；

由数据计算、的值，求出回归系数，写出线性回归方程；

利用回归方程计算、8时的值，验证误差是否满足条件即可.

【详解】

（1）由题意，m、n的所有取值范围有：

，，，，，

，，，，共有10个；

设“m、n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件有

，，，

所以，

故事件A的概率为；

（2）由数据得，，

，

；

所以y关于x的线性回归方程为；

当时，，，

当时，，.

所得到的线性回归方程是可靠的.

【点睛】

本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是中档题.

20．设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.

【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或.

【解析】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程.

试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.

所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.

（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.

所以，直线的方程为，或.

【考点】直线与椭圆综合问题

【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.

21．已知函数.

（I）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.

试题解析：（I）的定义域为.当时，

，

曲线在处的切线方程为

（II）当时，等价于

设，则

，

（i）当，时，，故在上单调递增，因此；

（ii）当时，令得

.

由和得，故当时，，在单调递减，因此.

综上，的取值范围是

【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性

【名师点睛】求函数的单调区间的方法：

（1）确定函数y＝f（x）的定义域；

（2）求导数y′＝f′（x）；

（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的直角坐标方程；

（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围．

【答案】(1)；（2）.

【解析】试题分析：（1）原式化为，利用极坐标与直角坐标互化公式用 即可得结果；（2）将直线的参数方程与椭圆的直角坐方程联立，利用直线参数方程的几何意义及韦达定理即可得结果.

试题解析：（1） .

（2）因为点在椭圆的内部，故与恒有两个交点，即，将直线的参数方程与椭圆的直角

坐标方程联立，得，整理得

，则.

23．已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若存在满足，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）以为分界点分段讨论解不等式。（2）原不等式可化为，由绝对值不等式求得的最小值小于3，解得参数.

【详解】

当时，，

当时，不等式等价于，解得，即；

当时，不等式等价于，解得，即；

当时，不等式等价于，解得，即．

综上所述，原不等式的解集为或．

由，即，

得，

又，

，即，

解得．所以。

【点睛】

对于绝对值不等式的求解，我们常用分段讨论的方法，也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论，要注意分段时不重不漏，分段结果是按先交后并做运算。