2020届陕西省宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理）试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点为则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求得复数，结合复数除法运算，求得的值.

【详解】

易知，则.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.

2．设全集U=R，集合，则（    ）

A．{x|-1 <x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1}

【答案】C

【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得

【详解】

由，解得或.

因为或，所以.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.

3．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ）

A．23 B．21 C．35 D．32

【答案】B

【解析】根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号.

【详解】

随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.

4．已知α，β是两平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确命题是（    ）

A．若m⊥α，n//α，则m⊥n B．若m//α，n//α，则m//n

C．若l⊥α，l//β，则α⊥β D．若α//β，lβ，且l//α，则l//β

【答案】B

【解析】根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.

【详解】

A．若，则在中存在一条直线，使得，则，又，那么，故正确；

B．若，则或相交或异面，故不正确；

C．若，则存在，使，又，则，故正确．

D．若，且，则或，又由，故正确．

故选：B

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.

5．函数的图象为C，以下结论中正确的是（    ）

①图象C关于直线对称；

②图象C关于点对称；

③由y =2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

A．① B．①② C．②③ D．①②③

【答案】B

【解析】根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.

【详解】

因为，

又，所以①正确.

，所以②正确.

将的图象向右平移个单位长度，得，所以③错误.

所以①②正确，③错误.

故选:B

【点睛】

本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.

6．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系.

【详解】

是偶函数，，

而，因为在上递减，

，

即．

故选:D

【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.

7．执行如下的程序框图，则输出的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.

【详解】

满足，执行第一次循环，，；

成立，执行第二次循环，，；

成立，执行第三次循环，，；

成立，执行第四次循环，，；

成立，执行第五次循环，，；

成立，执行第六次循环，，；

成立，执行第七次循环，，；

成立，执行第八次循环，，；

不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.

【点睛】

本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.

8．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】判断出已知条件中双曲线的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.

【详解】

两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°，双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为，B选项渐近线为，C选项渐近线为，D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（    ）

（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出．

【详解】

由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为

据题意得：， 解得2n＝12，

∴n24．

故选：C．

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（    ）

A．4π B．8π C． D．

【答案】B

【解析】由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积.

【详解】

根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则，那么.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.

11．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】方法一：设，利用抛物线的定义判断出是的中点，结合等腰三角形的性质求得点的横坐标，根据抛物线的定义求得，进而求得.

方法二：设出两点的横坐标，由抛物线的定义，结合求得的关系式，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得，进而求得.

【详解】

方法一：由题意得抛物线的准线方程为，直线恒过定点，过分别作于，于，连接，由，则，所以点为的中点，又点是的中点，

则，所以，又

所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为，

所以，所以．

方法二：抛物线的准线方程为，直线

由题意设两点横坐标分别为，

则由抛物线定义得

又    ①

    ②

由①②得.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.

12．已知函数，若则（    ）

A．f(a)<f(b) <f(c) B．f(b) <f(c) <f(a)

C．f(a) <f(c) <f(b) D．f(c) <f(b) <f(a)

【答案】C

【解析】利用导数求得在上递增，结合与图象，判断出的大小关系，由此比较出的大小关系.

【详解】

因为，所以在上单调递增；

在同一坐标系中作与图象，

，可得，故.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

二、填空题

13．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_____

【答案】2025

【解析】利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.

【详解】

依题意，令，解得，所以，则二项式的展开式的通项为：

令，得，所以的系数为.

故答案为：2025

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题.

14．函数在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是____

【答案】

【解析】根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得的取值范围.

【详解】

由二次函数的性质和复合函数的单调性可得

解得.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.

15．点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是____

【答案】

【解析】设是中点，根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点，由此求得，结合几何概型求得点取自三角形的概率.

【详解】

设是中点，因为，所以，所以三点共线且点是线段靠近的三等分点，

故，所以此点取自内的概率是．

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.

16．数列满足，则，_____.若存在n∈N使得成立，则实数λ的最小值为______

【答案】       

【解析】利用“退一作差法”求得数列的通项公式，将不等式分离常数，利用商比较法求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得的最小值.

【详解】

当时

两式相减得

所以

当时，满足上式

综上所述

存在使得成立的充要条件为存在使得，

设，所以，即，

所以单调递增，的最小项，即有的最小值为.

故答案为：(1).     (2).

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查数列单调性的判断方法，考查不等式成立的存在性问题的求解策略，属于中档题.

三、解答题

17．已知函数

（1）求f(x)的单调递增区间；

（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且A为锐角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.

（2）先由求得，利用正弦定理得到，结合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面积.

【详解】

（1）函数，

，

由，

得.

所以的单调递增区间为 .

（2）因为且为锐角，所以.

由及正弦定理可得，又，

由余弦定理可得，

解得， .

【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.

18．某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w取到最大值？

参考公式：

【答案】（1）（2）当时，年利润最大．

【解析】（1）方法一：令，先求得关于的回归直线方程，由此求得关于的回归直线方程.方法二：根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.

（2）求得w的表达式，根据二次函数的性质作出预测.

【详解】

（1）方法一：取，则得与的数据关系如下

，

，

，

.

，

，

关于的线性回归方程是即，

故关于的线性回归方程是.

方法二：因为，

，

，

，

，

所以，

故关于的线性回归方程是，

（2）年利润，根据二次函数的性质可知:当时，年利润最大．

【点睛】

本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题.

19．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB =2BC，点Q为AE的中点.

（1）求证：AC//平面DQF；

（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC与平面DQF所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）连接交于点，连接，通过证明，证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.

【详解】

（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以点为的中点，又因为为的中点，所以；

平面平面，

平面.

（2）解：，设，则，在中，，由余弦定理得：，

．

又，平面．．

平面．

如图建立的空间直角坐标系．

在等腰梯形中，可得．

则．

那么

设平面的法向量为，

则有，即，取，得．

设与平面所成的角为，则．

所以与平面所成角的正弦值为．

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20．已知椭圆C的离心率为且经过点

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点(0，2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B，以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上，求直线l的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及列方程，由此求得，进而求得椭圆的方程.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到，由此求得点的坐标，将的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线的斜率，由此求得直线的方程.

【详解】

（1）由椭圆的离心率为，点在椭圆上，所以，且

解得，所以椭圆的方程为．

（2）显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，设，由消去得，

所以，

由已知得，所以，由于点都在椭圆上，

所以，

展开有，

又，

所以，

经检验满足，

故直线的方程为.

【点睛】

本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.

21．已知函数.

（1）讨论函数f(x)的极值点的个数；

（2）若f(x)有两个极值点证明.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】（1）求得函数的定义域和导函数，对分成三种情况进行分类讨论，判断出的极值点个数.

（2）由（1）知，结合韦达定理求得的关系式，由此化简的表达式为，通过构造函数法，结合导数证得，由此证得成立.

【详解】

（1）函数的定义域为

得，

（i）当时；，

因为时，时，，

所以是函数的一个极小值点；

（ii）若时，

若，即时，，

在是减函数，无极值点.

若，即时，

有两根，

不妨设

当和时，，

当时，，

是函数的两个极值点，

综上所述时，仅有一个极值点；

时，无极值点；时，有两个极值点．

（2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且是方程的两根，

，则

所以

设，则，又，即，

所以

所以是上的单调减函数，

有两个极值点，则

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

22．在直角坐标系x0y中，把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.

【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）最小值为，此时

【解析】（1）由的参数方程消去求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得的直角坐标方程.

（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式，结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.

【详解】

（1）由题意知的参数方程为（为参数）

所以的普通方程为.由得，所以的直角坐标方程为.

（2）由题意，可设点的直角坐标为，

因为是直线，所以的最小值即为到的距离，

因为．

当且仅当时，取得最小值为，此时的直角坐标为即．

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.

23．已知f(x)=|x +3|-|x-2|

（1）求函数f(x)的最大值m；

（2）正数a，b，c满足a +2b +3c=m，求证：

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）利用绝对值三角不等式求得的最大值.

（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式证得不等式成立；方法二，利用“的代换”的方法，结合基本不等式证得不等式成立.

【详解】

（1）由绝对值不等式性质得

当且仅当即时等号成立，所以

（2）由（1）得.

法1：由柯西不等式得

当且仅当时等号成立，

即，所以 .

法2：由得，

，

当且仅当时“=”成立.

【点睛】

本小题主要考查绝对值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式，属于中档题.