2020-2021学年山西省运城市高一（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山西省运城市高一（下）3月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设向量AB→=−3,2，AC→=1,−2，则BC→=( )
A.1,1B.4,−4C.2,0D.−4,4

2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=30∘，B=45∘，a=2，则b=( )
A.6B.2C.3D.26

3. 与向量a→=1,2平行的单位向量为( )
A.13,23B.33,63
C.63,33或−63,−33D.33,63或−33,−63

4. 已知两个力F1，F2的夹角为90∘，它们的合力大小为103N，合力与F2的夹角为60∘，那么F2的大小为( )
A.5NB.10NC.53ND.203N

5. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，如果sinB+sinCsinB−sinA=sinAsinB−sinC，则C=( )
A.π3B.π2C.π6D.2π3

6. 已知向量m→=2,0 ，n→=22,−22，则( )
A.|m→|=|n→|B.m→−n→//n→
C.m→−n→⊥n→D.m→与n→的夹角为3π4

7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2−bc，且A=2B，则△ABC为( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

8. 已知非零向量量a→与b→的夹角为120∘，|a→|=2，则|a→+λb→|λ∈R的最小值为( )
A.23B.72C.433D.3

9. 一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20∘的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40∘的方向航行了16海里到达海岛C．若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为( )
A.北偏东50∘，83B.北偏东70∘，12
C.北偏东70∘，83D.北偏东50∘，12

10. 若钝角△ABC三边长分别是a,a+1,a+2a∈N∗，则△ABC中最大角的余弦值为( )
A.−34B.−23C.−13D.−14

11. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acsC−ccsA=c，则sinA+3cs2C的取值范围是( )
A.(0,2]B.1,3C.(3,2]D.−3,0

12. 梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，DC=1，AD=2，∠DAB=45∘，点E在线段BD上，点F在线段AC上，且BE→=12BD→，CF→=13CA→，则AE→⋅DF→=( )
A.23B.43C.−23D.−43
二、填空题

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2asinB=3b，则A=________．

已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=2，且a→+b→⊥a→，则a→与b→的夹角为________.

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，b=6，B=120∘，则c=________．

锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a−bc=sinC−sinBsinA+sinB，且a=3，则△ABC周长的取值范围是________.
三、解答题

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsinA+3acsB=0．
(1)求B；

(2)若b=27，c=2a，求a．

已知向量a→=3,−4，b→=1,2．
(1)设向量a→与b→的夹角为θ，求sinθ；

(2)若向量ma→−b→与向量a→+b→垂直，求实数m．

某地帆赛举行之前，为确保赛事安全，海事部门举行安保海上安全演习．为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为2千米的两个观察点C，D，在某天10:00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC=30∘，6分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60∘，∠BCD=45∘，∠ADB=60∘，求船的速度是多少千米/分钟．


在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(4,0)，B(a,b)，C(−1,2)，D(ksinθ,t)(0≤θ≤π2).
(1)若AB→⊥OC→，且|AB→|=|OC→|，求|OB→|；

(2)若向量AD→与向量OC→共线，当k>2，且tsinθ的最大值为2时，求OA→⋅OD→.

已知向量m→=csA,sinB，n→=csB,−sinA，m→⋅n→=cs2C，其中A，B，C为△ABC的内角，a，b，c为角A，B，C的对边．
(1)求C；

(2)若2c=a+b，且abcsC=18，求c．

△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2−c2=3b，且sinAcsC=3csAsinC.
(1)求b；

(2)若a=4，c=2，D为BC的中点，E，F分别为边AB，AC上的点（不包括端点），且∠EDF=120∘，求△DEF面积的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山西省运城市高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：BC→=AC→−AB→=1,−2−−3,2=4,−4．
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ A=30∘，B=45∘，a=2，
∴ 由正弦定理可得asinA=bsinB，
则 b=asinBsinA=2sin45∘sin30∘=2×2212=2.
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
单位向量
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
设出向量，即可得出答案.
【解答】
解：设与向量a→=(1,2)平行的单位向量为e1→=λa→=λ,2λ，且e1→=1，
即λ2+2λ2=1，解得λ=±33，
故e1→=33,63或e1→=−33,−63.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
向量的模
向量在物理中的应用
平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设F1，F2的对应向量分别为OA→，OB→，
以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，如图，
则OC→=OA→+OB→为对应力F1，F2的合力，
∴ F1，F2的夹角为90∘，
∴ 四边形OACB是矩形，
在Rt△OBC中，∠COB=60∘， |OC→|=103N，
∴ |OB→|=|OC→|cs60∘=53N．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ sinB+sinCsinB−sinA=sinAsinB−sinC，
由正弦定理可得b+cb−a=ab−c，
整理得：c2=a2+b2−ab，
由余弦定理可得csC=12．
∵ 0∴ C=π3．
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ m→=2,0，n→=22,−22，
∴ |m→|=2，|n→|=222+222=1，
∴ |m→|≠|n→|，故A错误；
∵ m→−n→=22,22，
∴ m→−n→与n→不平行，故B错误；
又m→−n→⋅n→=0，C正确；
∵ cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=22 ，
又⟨m→,n→⟩∈0,π，
∴ m→与n→的夹角为π4，D错误．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
三角形的形状判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由余弦定理csA=b2+c2−a22bc=12，
∴ A=π3.
又B=12A=π6，
∴ C=π2，故△ABC为直角三角形．
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：|a→+λb→|2=|a→|2+2λa→⋅b→+λ2|b→|2
=4−2λ|b→|+λ|b→|2
=λ|b→|−12+3≥3，
当且仅当λ|b→|=1时等号成立，
∴ |a+λb→|≥3，当且仅当λ|b→|=1时等号成立．
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：据题意知，在△ABC中，
∠ABC=20∘+40∘=60∘，AB=8海里，BC=16海里，
∴ AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cs∠ABC
=82+162−2×8×16×12=192，
∴ AC=83海里，
又16sin∠CAB=83sin60∘，
∴ sin∠CAB=1，
∴ ∠CAB=90∘，
∴ 航行的方向和路程分别为北偏东70∘，83海里．
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由a+a+1>a+2，解得a>1．
∵ a+2>a+1>a，△ABC为钝角三角形，
∴ 边a+2所对的角是钝角，设为A．
则csA=a2+a+12−a+222aa+1<0，
解得−1又∵ a∈N∗，a>1．
∴ a=2，
∴ △ABC的三边长为2，3，4，
最大角的余弦值csθ=22+32−422×2×3=−14．
故选D．
11.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由正弦定理可得sinAcsC−csAsinC=sinC，
即sinA−C=sinC，
∵ 0∴ A−C=C，即A=2C.
∵ △ABC为锐角三角形，
可得0<2C<π2，0∴ sinA+3cs2C=sin2C+3cs2C=2sin2C+π3，
∵ π6∴ 12∴ 1<2sin2C+π3<3.
故选B．
12.
【答案】
A
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：AC→=AD→+DC→=AD→+14AB→，
CF→=13CA→=−13(AD→+14AB→)，
BE→=12BD→=12(AD→−AB→)，
AE→=AB→+BE→=12AD→+12AB→，
DF→=DC→+CF→=14AB→+CF→
=14AB→−13(AD→+14AB→)
=−13AD→+16AB→，
AE→⋅DF→=12AD→+12AB→⋅−13AD→+16AB→
=−16AD→2+112AB→−112AD→⋅AB→=23．
故选A．
二、填空题
【答案】
π3或2π3
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据正弦定理得2sinAsinB=3sinB，
∵ 0∴ sinA=32，
∴ A=π3或2π3.
故答案为：π3或2π3．
【答案】
3π4
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→+b→⊥a→，
∴ (a→+b→)⋅a→=a→2+a→⋅b→
=|a→|2+|a→|⋅|b→|cs⟨a→,b→⟩
=2+22cs⟨a→,b→⟩=0，
∴ cs⟨a→,b→⟩=−22.
又⟨a→,b→⟩∈0,π，
∴ a→与b→的夹角为3π4．
故答案为：3π4．
【答案】
−5+692
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a=5，b=6，B=120∘，
由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsB，
∴ 62=52+c2+5c，
即c2+5c−11=0．
∵ c>0，
∴ c=−5+52−4×1×−112=−5+692．
故答案为：−5+692．
【答案】
(3+3,33]
【考点】
正弦定理
余弦定理
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由正弦定理可得a−bc=sinC−sinBsinA+sinB=c−ba+b，
∴ a2−b2=c2−bc
可得b2+c2−a2=bc，
∴ csA=b2+c2−a22bc=12.
∵ 0∴ A=π3，
由正弦定理可得bsinB=csinC=asinA=2，
∴ b=2sinB，c=2sinC，
b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sinπ−A−B
=2sinB+2sin2π3−B=23sinB+π6．
∵ △ABC为锐角三角形，
则 0∴ π3∴ 32则3<23sinB+π3≤23.
因此，△ABC周长的取值范围是(3+3,33]．
故答案为：(3+3,33]．
三、解答题
【答案】
解：(1)由正弦定理有：sinBsinA+3sinAcsB=0，
由0∴ sinB=−3csB，即tanB=−3.
由0(2)由余弦定理知：a2+c2−2accsB=b2，
又b=27，c=2a，csB=−12，
∴ 7a2=28，
可得a=2．
【考点】
正弦定理
同角三角函数基本关系的运用
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由正弦定理有：sinBsinA+3sinAcsB=0，
由0∴ sinB=−3csB，即tanB=−3.
由0(2)由余弦定理知：a2+c2−2accsB=b2，
又b=27，c=2a，csB=−12，
∴ 7a2=28，
可得a=2．
【答案】
解：(1)csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|
=3−832+−42×22+12
=−55×5=−55，
∴ sinθ=1−cs2θ=1−−552=255.
(2)若向量ma→−b→与向量a→+b→垂直，则ma→−b→⋅a→+b→=0，
即ma→2+m−1a→⋅b→−b→2=0，
∵ a→2=32+−42=25，a→⋅b→=3−8=−5，b→2=12+22=5，
∴ 25m−5m−1−5=0，解得：m=0．
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
同角三角函数间的基本关系
平面向量的坐标运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|
=3−832+−42×22+12
=−55×5=−55，
∴ sinθ=1−cs2θ=1−−552=255.
(2)若向量ma→−b→与向量a→+b→垂直，则ma→−b→⋅a→+b→=0，
即ma→2+m−1a→⋅b→−b→2=0，
∵ a→2=32+−42=25，a→⋅b→=3−8=−5，b→2=12+22=5，
∴ 25m−5m−1−5=0，解得：m=0．
【答案】
解：由已知条件可得Rt△BCD中，CD=2，CD=BD，
∴ BD=2，BC=22．
在△ACD中，∠CAD=45∘，∠ADC=30∘，CD=2，
由正弦定理ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，
∴ AC=2.
在△ACB中，根据余弦定理可得AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cs∠ACB，
则AC=2，BC=22，∠ACB=60∘，
∴ AB=6，
∴ v=66，即船的速度是66千米/分钟．
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知条件可得Rt△BCD中，CD=2，CD=BD，
∴ BD=2，BC=22．
在△ACD中，∠CAD=45∘，∠ADC=30∘，CD=2，
由正弦定理ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，
∴ AC=2.
在△ACB中，根据余弦定理可得AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cs∠ACB，
则AC=2，BC=22，∠ACB=60∘，
∴ AB=6，
∴ v=66，即船的速度是66千米/分钟．
【答案】
解：(1)AB→=a−4,b，OC→=−1,2，
∵ AB→⊥OC→，
∴ 4−a+2b=0．
又∵ |AB→|=|OC→|，
∴ a−42+b2=5，
∴ 2b2+b2=5，
∴ b=±1．
∴ a=6,b=1或a=2,b=−1
∴ |OB→|=37或5．
(2)AD→=ksinθ−4,t，
∵ AD→与向量OC→共线，
∴ t=−2ksinθ+8．
∴ tsinθ=−2ksinθ+8sinθ=−2ksinθ−2k2+8k，
∵ k>2，
∴ 1>2k>0，
∴ 当sinθ=2k时，tsinθ取最大值8k．
由8k=2，得k=4，此时θ=π6，OD→=2,4，
∴ OA→⋅OD→=4,0⋅2,4=8．
【考点】
向量的模
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积
向量的共线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)AB→=a−4,b，OC→=−1,2，
∵ AB→⊥OC→，
∴ 4−a+2b=0．
又∵ |AB→|=|OC→|，
∴ a−42+b2=5，
∴ 2b2+b2=5，
∴ b=±1．
∴ a=6,b=1或a=2,b=−1
∴ |OB→|=37或5．
(2)AD→=ksinθ−4,t，
∵ AD→与向量OC→共线，
∴ t=−2ksinθ+8．
∴ tsinθ=−2ksinθ+8sinθ=−2ksinθ−2k2+8k，
∵ k>2，
∴ 1>2k>0，
∴ 当sinθ=2k时，tsinθ取最大值8k．
由8k=2，得k=4，此时θ=π6，OD→=2,4，
∴ OA→⋅OD→=4,0⋅2,4=8．
【答案】
解：(1)m→⋅n→=csAcsB−sinAsinB=csA+B，
对于△ABC，A+B=π−C，0∴ csA+B=−csC，
∴ m→⋅n→=−csC．
又∵ m→⋅n→=cs2C，
∴ cs2C=−csC，csC=12，C=π3．
(2)∵ 2c=a+b，abcsC=18，
∴ ab=36．
由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC=a+b2−3ab
∴ c2=4c2−3×36，c2=36，
∴ c=6．
【考点】
平面向量数量积
两角和与差的余弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)m→⋅n→=csAcsB−sinAsinB=csA+B，
对于△ABC，A+B=π−C，0∴ csA+B=−csC，
∴ m→⋅n→=−csC．
又∵ m→⋅n→=cs2C，
∴ cs2C=−csC，csC=12，C=π3．
(2)∵ 2c=a+b，abcsC=18，
∴ ab=36．
由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC=a+b2−3ab
∴ c2=4c2−3×36，c2=36，
∴ c=6．
【答案】
解：(1)由正余弦定理及sinAcsC=3csAsinC，
得a⋅a2+b2−c22ab=3⋅b2+c2−a22bc⋅c ，
化简得2a2−c2=b2.
又a2−c2=3b，
∴ 23b=b2，
解得b=0（舍）或b=23．
(2)如图，
由(1)可得a2=b2+c2，
∴ △ABC为直角三角形，且B=60∘，C=30∘，
设∠BDE=θ,θ∈0∘,60∘，则∠CDF=60∘−θ，
在△BDE中，由正弦定理得：BDsin∠BED=DEsinB，
即 2sin60∘+θ=DE32 ，∴ DE=3sin60∘+θ，
在△CDF中，由正弦定理得：CDsin∠CFD=DFsinC，
则2sin90∘−θ=DF12，∴ DF=1csθ，
所以S△DEF=12⋅DE⋅DF⋅sin∠EDF=34sin60∘+θ⋅csθ，
=323cs2θ+2sinθ⋅csθ=32sin2θ+60∘+3，
当θ=15∘时，sin2θ+60∘=1，S△DEF min=32+3=6−33，
故△DEF的面积的最小值为6−33．
【考点】
余弦定理
正弦定理
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由正余弦定理及sinAcsC=3csAsinC，
得a⋅a2+b2−c22ab=3⋅b2+c2−a22bc⋅c ，
化简得2a2−c2=b2.
又a2−c2=3b，
∴ 23b=b2，
解得b=0（舍）或b=23．
(2)如图，
由(1)可得a2=b2+c2，
∴ △ABC为直角三角形，且B=60∘，C=30∘，
设∠BDE=θ,θ∈0∘,60∘，则∠CDF=60∘−θ，
在△BDE中，由正弦定理得：BDsin∠BED=DEsinB，
即 2sin60∘+θ=DE32 ，∴ DE=3sin60∘+θ，
在△CDF中，由正弦定理得：CDsin∠CFD=DFsinC，
则2sin90∘−θ=DF12，∴ DF=1csθ，
所以S△DEF=12⋅DE⋅DF⋅sin∠EDF=34sin60∘+θ⋅csθ，
=323cs2θ+2sinθ⋅csθ=32sin2θ+60∘+3，
当θ=15∘时，sin2θ+60∘=1，S△DEF min=32+3=6−33，
故△DEF的面积的最小值为6−33．