2021届山西省晋中市高三下学期3月适应性考试（二模）数学（理）试题（解析版）

绝密★启用前

试卷类型：B

晋中市2021年3月高三适应性调研考试

数学（理科） 

（本试卷考试时间120分钟，满分150分）

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）．

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，则等于（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知复数z满足，则（    ）

A．    B．    C．3    D．

3．已知向量，且，则m的值为（    ）

A．    B．2    C．4    D．或4

4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，,，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（    ）

A．2    B．    C．3    D．

6．已知，则（    ）

A．    B．    C．    D．

7．已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足则（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

8．定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为（    ）

A．    B．    C．    D．

9.已知长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，E是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

10．已知双曲线的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线交于点A（A在第一象限内），以为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．2

11．设，其中，若对任意的恒成立，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．对任意的有成立

C．的单调递增区间是

D．存在经过点的直线与函数的图象不相交

12．若存在实数x，y满足，则（    ）

A．    B．0    C．1    D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设x，y满足则的最小值是_______，最大值是_________．

14．曲线与直线相切，则______．

15．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则_______．

16．如图所示，在平面四边形中，，在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则的面积为__________．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

（一）必考题（共60分）

17．（12分）设是各项都为正的单调递增数列，已知，且满足关系式：，．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．（12分）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥，如图所示，其中，点E，F，G分别是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

19．（12分）为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有6个白球、2个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取3次．已知抽出1个白球减10元，抽出1个红球减30元，如果前两次减免之和超过30元即停止抽奖，否则抽取第三次．

（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；

（2）求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望．

20．（12分）设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若满足，求证：直线l经过定点．

21．（12分）已知函数（…是自然对数的底数）．

（1）若在内有两个极值点，求实数a的取值范围；

（2）时，计论关于x的方程的根的个数．

（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）点P的极坐标为，设直线l与曲线C的交点为A，B，且的中点为Q，求线段的长．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

2021年3月高三适应性调研考试

数学（理科）答案

1．解析：由题意得集合或，又因为，所以或，故选D．

答案：D

2．解析：因为，所以．故选D．

答案：D

3．解析：根据题意，得，由，得，解得或．故选D．

答案：A

4．解析：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，其中有3个面涂色的小正方体共有8个，只有2个面涂色的小正方体共有12个，只有1个面涂色的小正方体共有6个，所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为．故选C．

答案：C

5．解析：设四棱柱的底面梯形的高为的中点分别为，所求的水面高为h，则水的体积，所以，故选B．

6．解析：因为，所以，从而可得，故选A．

答案：A

7．解析：设，则，①

由，知，所以，②

联立①②解得，故选D．

答案：D

8．解析：设，则为奇函数，且在上为增函数，所以不等式等价于，即，亦即，可得，解得，故选B．

答案：B

9．解析：如图，因为在三棱锥中，平面且为直角三角形，所以外接球球心是的中点，不妨设球的半径为R，则，所以球的表面积.故选B．

答案：B

10．解析：如图，因为，所以点F在圆上，又，所以，而，所以是等腰三角形，所以，所以，所以，故选A．

答案：A

11．解析：，又，由题意对任意的恒成立，且，所以对任意的恒成立，即恒成立，由基本不等式可知，所以，此时，

所以．

对于A选项，，，所以，故A错误；

对于B选顼，因为，所以不妨令，解得，当时，，所以是的对称中心，故B正确；

对于C选项，由，知，故C不正确；

对于D选项，由题知，要使经过点的直线与函数的图象不相交，则此直线与横轴平行，又的振幅为，所以直线必与的图象有交点，故D不正确．

答案：B

12．解析：令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以．

令，则，当且仅当时取等号，

又，所以，所以．

答案：C

13．解析：如图所示，不等式组满足的平面区域为阴影部分所示区域，设，当经过点时，取到最小值；当经过点时，取到最大值．

答案：

14．解析：设切点为，则，切线的斜率，解得．

答案：1

15．解析：由得，所以圆心，半径为1，所以，所以．

答案：

16．解析：∵，∴在等腰直角中，在中，由余弦定理得，又已知，∴，又∵，∴，∴，作分别交于点F，E（图略），∵，E，F分别为线段的中点，∴，∴．

答案：

17．解：（1）因为，所以，

即，

又是各项为正的单调递增数列，所以，                 3分

所以是首项为2，公差为2的等差数列，

所以，所以．           6分

（2），            8分

所以

               10分

．                  12分

18．解：（1）证明：根据已知得，又G为的中点，所以，         1分

因为，G为的中点，所以，           2分

又，所以平面．          3分

又因为，所以平面．         4分

（2）因为，所以平面，取中点H，连接，则平面，又，所以以H为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，           5分

则，

所以．        6分

设平面的法向量为，

则即

令，得．          8分

设平面的法向量为，

则即

令，得．        10分

所以，所以二面角的余弦值为．       12分

19．解：（1）若顾客所获得的减免金额为40元，则第一次抽白球、第二次抽红球或第一次抽红球、第二次抽白球．     2分

求得顾客所获得的减免金额为40元的概率为．         5分

（2）某顾客所获得的减免金额X可能为30,40,50,60．            6分

，           7分

，       8分

，           9分

．              10分

所以X的分布列为

           11分

．

所以某顾客所获得的减免金额的数学期望为．         12分

20．解：（1）由题意得，，所以．             3分

所以椭圆C的方程为．                4分

（2）证明：设，则，

．

所以，

整理得．①          7分

由得，       8分

则．             9分

代入①整理得，               11分

所以直线l的方程为，即直线l恒过定点．            12分

21．解：（1）由题意可求得，

因为在内有两个极值点，所以在内有两个不相等的变号根，

即在上有两个不相等的变号根．           1分

设，则，

①当时，，

所以在上单调递增，不符合条件．          2分

②当时，令得，

当，即时，，

所以在上单调递减，不符合条件；          3分

当，即时，，

所以在上单调递增，不符合条件；         4分

当，即时，在上单调递减，上单调递增，

若要在上有两个不相等的变号根，则，解得．      5分

综上所述，．           6分

（2）设，

令，则，所以在上单调递增，在上单调递减．

（ⅰ）当时，，则，所以．

因为，所以，因此在上单调递增．      7分

（ⅱ）当时，，则，所以．

因为，所以，因此在上单调递减．       8分

综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时，，

当，即时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0，       9分

当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，     10分

当，即时，

①当时，，要使，可令，即；

②当时，，要使，

可令，即，

所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2．           11分

综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，

当时，关于x的方程根的个数为1，

当b时，关于x的方程根的个数为2．             12分

22．解：（1）由题意可知在曲线C中，，则，得曲线C的直角坐标方程为；      2分

因为，可得直线l的直角坐标方程为．          4分

（2）已知点P的直角坐标为，设直线l的参数方程为代入曲线C的普通方程得，          6分

设A，B对应参数为，则Q对应的参数为，             8分

故．              10分

23．解：（1）当时，不等式即为，            1分

法一：当时，可得，解得，则；       2分

当时，可得，即，所以；         3分

当时，可得，解得，则．         4分

综上可得，原不等式的解集为．               5分

法二：根据绝对值的几何意义可得不等式的解集为．             5分

（2）当时，若不等式对任意的恒成立，即为，

又             6分

当时，；              7分

当时，；              8分

当时，．           9分

故，则，即a的取值范围是．                10分